2019年全国卷3理科数学试题及参考答案(含部分选填详解)

(,(
A.1
B.
C.2
D.2
.
2019年全国卷3理科数学试题及参考答案(WORD版含部分选填详解)
理科数学全国丙卷理科数学
理科数学
考试时间：120分钟
题型单选题填空题简答题总分
得分
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合A={x,y)|x2+y2=1}B={x,y)y=x}，则A I B中元素的个数为()
A.3
B.2
C.1
D.0
2．设复数z满足(1+i)z=2i，则z=()
2
22
3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图
根据该折线图，下列结论错误的是()
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4.(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为()
A.-80
B.-40
C.40
D.80
=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆6．设函数f(x)=cos x+⎪，则下列结论错误的是()
C.f(x+π)的一个零点为x=π⎛π
D.f(x)在 ,π⎪单调递减
A.π
B.3π
5.已知双曲线C:2019年全国卷3理科数学试题及参考答案(WORD版含部分选填详解) x2y25
-
a2b22
x2y2
+=1有公共焦点，则C的方程为()
123
x2y2x2y2x2y2x2y2
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
810455443
⎛π⎫
⎝3⎭
A.f(x)的一个周期为2π
B.y=f(x)的图像关于直线x=8π对称
3
⎫
6⎝2⎭
7．执行右面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为()
A.5
B.4
C.3
D.2
8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
ππ
C.D.
424
9.等差数列{a
n }的首项为1，公差不为0.若a
2
，a
3
，a
6
成等比数列，则{a
n
}前6项的和为
（）
A.-24
B.-3
C.3
D.8
6 3 2
13. 若 x, y 满足约束条件 ⎨ x + y - 2 ≤ 0 ，则 z = 3x - 4 y 的最小值为__________.
⎪ y ≥ 0 15.设函数 f (x ) = ⎨ f x - ⎪ > 1 的 x 的取值范围是_________。

10.已知椭圆 C : x 2
y 2 + a 2 b 2
= 1(a > b > 0) 的左、右顶点分别为 A 1，A 2，且以线段 A 1A 2 为直径的
圆与直线 b x - ay + 2ab = 0 相切，则 C 的离心率为（ ）
A. B. C. D .
3 3 3
1 3
11.已知函数 f (x ) = x 2 - 2 x + a (e x -1 + e - x +1 )有唯一零点，则 a =（
）
1 1 1 A. -
B.
C.
D . 1
2
3
2
12. 在矩形 ABCD 中，AB =1，AD =2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若 uuur uuur uuur
AP = λ AB + μ AD ，则 λ + μ 的最大值为（
）
A. 3
B. 2 2
C. 5 D . 2
二、填空题 （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
⎧ x - y ≥ 0 ⎪
⎩
14. 设等比数列 {a
n
}满足
a 1
+ a = -1, a - a = -3 ，则 a = _______.
2 1
3 4
⎧ x + 1, x ≤ 0
⎩2x , x > 0
则满足 f (x ) +
⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭
16.a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a ， b 都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 30°角； ②当直线 AB 与 a 成 60°角时，AB 与 b 成 60°角； ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°； ④直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60°；
其中正确的是________。

（填写所有正确结论的编号）
三、简答题（综合题）（本大题共7小题，共70分）
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积.
18.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货
量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把
四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角
D–AE–C的余弦值．
20.（12分）
已知抛物线C:y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径
的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.
（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n ， 1 + ⎪ 1 + ⎪ ... 1 + ⎪ < m ，求 m 最小值. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 1 的参数方程为 ⎨
（t 为参数），直线 l 2 的参数方程为
y = kt, ⎪⎩
21.（12 分）已知函数 f (x ) = x - 1 - a ln x .
（1）若 f (x ) ≥ 0 ，求 a 的值；
⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭⎝ 22 ⎭ ⎝ 2n ⎭
22． 选考题：共 10 分。

请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分。

⎧ x = 2 + t, ⎩
⎧ x = -2 + m
⎪
⎨ m y =
k
（m 为参数）.设 l 1 与 l 2 的交点为 P ，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C.
（1）写出 C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l : ρ (cos θ + sin θ ) - 2 = 0 ， 3
M 为 l 3 与 C 的交点，求 M 的极径.
23.选考题：共 10 分。

请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分。

已知函数 f （x ）=│x +1│–│x –2│.
（1）求不等式 f （x ）≥1 的解集；
（2）若不等式 f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求 m 的取值范围.
∴ S = ⎪⎪ π ⨯1 = 2 ⎭ 4 ，∴ AB = ，
则 AB = (0, - 1), AD = (2, 0 ) ，
2 ∴ μ + λ = cos θ - sin θ + 2 = cos (θ + ϕ ) + 2 ≤ 3
15. 画出 f (x ) 及 f x - ⎪ 的图像知 f (x ) 及 f x - ⎪ 都是 R 1 ⎫ 2 ⎭ 上的单调递增函数，故 f (x ) + f x - ⎪ 也是 R 上的单调递
参考答案
单选题
1. B
2. C
3. A
4. C
5. B
6. D
7. D
8. B
9. A 10. A 11. C 12. A
精选题目详解：
A
B
8．如图所示，易知 O A = 1, OB =
⎛ 3 ⎫2 3π ，选 B
⎝
1 3
2 2
O
11． f (x ) = (x - 1)2 - 1 + a (e x -1 + e - x +1
)
令 g (x ) = (x - 1)2，则 g (x ) 在 (-∞, 1)上单调递减，在 (1, + ∞ ) 上单调递增；
令 h (x ) = (e x -1 + e - x +1 )
，则由均值不等式得， h (x ) 在 (-∞, 1)上单调递减，在 (1, + ∞ ) 上单
调递增；
故当 a > 0 时， f (x ) 在 (-∞, 1)上单调递减，在 (1, + ∞ ) 上单调递增； ∴ f (1) = -1 + 2a = 0
∴ a = 1 2
> 0 满足题意，结合选项知选 C
12. 建立如图所示的平面直角坐标系，
uuur uuur
y
由等面积法可知，圆的半径为 4
故圆的方程为 x 2 + y 2 =
5
2 5
，
A D
⎛ 2 ⎫
故可设 P cos θ ,
sin θ ⎪ ⎝ 5 5 ⎭
uuur uuur uuur Q AP = λ AB + μ AD
B C
P
x
1 2
∴ μ = cos θ + 1, λ = - sin θ + 1
5 5
1 2
5 5
填空题 13. -1 14. -8
15. (-1/4,+∞) y
f(x)
16. ②③
精选题目详解：
⎛ ⎛ 1 ⎫ ⎝ ⎝ 2 ⎭
-1
1
1 f(x- )
2
x
⎛
1 ⎫ ⎝
2 ⎭
增函数，从图像上易判断 f (x ) + f x - ⎪ = 1 的解在直线部分， 故令 x + 1 + x + = 1 ，解得 x = - ，故 f (x ) + f x - ⎪ > 1 的解集为 - , + ∞ ⎪
a 的方向向量为 CD = (1, 0, 0 )，
直线 b 的方向向量为 CE = (0, 1, 0 )
∴ AB = (cos θ , sin θ , - 1)
1 cos θ
1 ⎫
2 ⎭ 设直线 AB 与直线 a 的夹角 β ，则 cos β = ⎥ ，所以 β 的最小值为 45o ，
∈ ⎢0,
P (X = 200 ) = = 0.2
⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭
1 1 ⎛ ⎛ 1 ⎫
2 4 ⎝ ⎝ 4 ⎭
16. 建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设 CA = CB = CD = 1 ，
uuur
直线 uuur
则 B (cos θ , sin θ , 0)， A (0, 0, 1) uuur
uuur uuur 当直线 AB 与 a 成 60°角时，即 cos < AB, CD >= cos60 o = =
2 2 ∴ c os θ = ±
2
2
则直线 AB 与直线 b 的夹角 α 应该满足 cos α = sin θ 1
=
2 2
∴ α = 60o
cos θ ⎡ 1 ⎤ 2 ⎣
2 ⎦ 最大值为 90o
综上 正确的为②③ 简答题 17. 解：
(1) Q sin A + 3 cos A = 0
∴ t an A = - 3 ∴ A =
2π 3
由余弦定理知 cos A =
b 2 +
c 2 - a 2 2bc
1 4 + c
2 - 28 ∴- =
2 4c
整理可得： c 2 + 2c - 24 = 0 ∴ c = 4, c = 6 (舍去)
(2) 由(1)可得
a 2 +
b 2 -
c 2 2
cos C = =
2ab 7
∴ t an C =
3
2
∴ AD = AC ⋅ tan C = 3
∴ S
1 1
AD ⋅ AB ⋅ sin ∠DAB = ⨯ 3 ⨯ 4 ⨯ = 3 2 2 2
18.
(1) X 的所有可能取值为 200,300,500
2 + 16
90
P (X = 500 ) = = 0.4
⎪800 + 6n E (Y ) = ⎨ 易知 DM ⊥ AC ，且 DM = a, BM = a ，又 BD = AB = a
⎩
= EF ⨯
S
P (X = 300 ) = 36 90
= 0.4
25 + 7 + 4
90
故 X 的分布列为：
X
P
200 0.2 300 0.4 500 0.4
(2) 当 n ≤ 200 时， Y = 2n
当 200 < n ≤ 300 时， Y 的分布列为：
Y
P
800 - 2n 0.2 2n 0.4 2n 0.4
当 300 < n ≤ 500 时， Y 的分布列为：
Y
P
800 - 2n 0.2 1200 - 2n 0.4 2n 0.4
当 n > 500 时， Y 的分布列为：
Y
P
800 - 2n 0.2 1200 - 2n 0.4 2000 - 2n
0.4
综上所述
⎧2n, n ≤ 200 ⎪ , 200 < n ≤ 300
⎪ 5
⎪ 3200 - 2n , 300 < n ≤ 500 ⎪ 5
⎪1440 - 2n, n > 500 易知，当 n = 300 时， E (Y ) 最大，此时 E (Y ) = 520
19. (1) 证明：
设 AB = a
Q ∆ABC 是正三角形 ∴ AB = BC = AC = a
Q AB = BC, BD = BD, ∠ABD = ∠CBD ∴∆ABD ≌∆CBD ∴ AD = CD
又 ∆ACD 是直角三角形
2
∴ AD = DC = a
2
取 AC 中点 M ，连接 DM , BM
1 3
2 2
∴ DM 2 + BM 2 = BD 2 ∴ DM ⊥ BM
又 AC I BM = M ∴ D M ⊥ 平面 ABC 又 DM ⊂ 平面 ADC
∴ 平面 ACD ⊥ 平面 ABC
(2) 过点 E 作 BM 的垂线，垂足为 F ，则 EF / / D M ，
Q DM ⊥ 平面 ABC ，∴ EF ⊥ 平面 ABC
∴V 1
3 ∆ABC
1
3 2 D - ABC 2 ⎭ ⎝ 2 ⎝ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ∴ E
4 ⎪⎭
4
⎛ 3 ⎫1 ⎫ 1 ∴ AE =
a, a, a ⎪⎪ , AD = 0, a, a ⎪ , AC = (0, a, 0) r r ( )
∴ c os < n , n >= 3 = 7 ∴⎨ 1 ⎩ 1 2 uuur 2 uuur
uuur uuur 1 当 m = - 时，直线方程为 2x + y - 4 = 0
圆心 M , - ⎪ ，半径 r = OM = ∴ 圆 M 方程为 ⎛ x - ⎫⎪ + ⎛ y + ⎫⎪ = 1 ⎫ 2 ⎭
1
又 V
DM ⨯ S ，且 V = V
∆ABC E - ABC ∴ EF = 1 2
DM
∴ E F 为 ∆DMB 的中位线 ∴ E 为 BD 中点
以 MB 为 x 轴， MC 为 y 轴， MD 为 z 轴建立空间直角坐标系，
⎛ ⎛ ⎫ ⎛ 1 ⎫
则由(1)得 D 0, 0, a ⎪ ， A 0, - a, 0 ⎪ ， B a, 0, 0 ⎪ ， C 0, a, 0 ⎪ ⎭
⎛ 3 1 ⎫ a, 0, a
⎝
uuur ⎛ 3 ⎝ 4
1 1 ⎫ uuu ⎛ 1 1 ⎫ uuu
2 4 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭
uur ⎛ 3 ⎫
uur ∴ 平面 DAE 的法向量 n 1 = -
3 , 1, - 1⎪ ，平面 AEC 的法向量 n 2 = 1, 0, - 3
⎝ ⎭
2 3
uur uur
7
7 1
2
⨯ 2
3
∴ 二面角 D - AE - C 的余弦值为
7
7 20. (1) 设直线方程为 x = my + 2 ， A (x , y ), B (x , y 1 1 2
2
)
⎧ y 2 = 2 x
联立抛物线方程 ⎨ 可得： y 2 - 2my - 4 = 0
⎩ x = my + 2
⎧ y + y = 2m 2 y y = -4
∴ x x = (my + 2)(my + 2) = m 2 y y + 2m (y + y ) + 4 = 4 1
1
2
1 2
1
2
∴ O A ⋅ OB = x x + y y = 0
1 2 1 2
∴∠ A OB = 90o
∴ 坐标原点 O 在圆 M 上
(2) 由(1)得： x + x = m ( y + y ) + 4 = 2m 2 + 4
2
1
2
∴ P A ⋅ PB = x x - 4 (x + x ) + 16 + y y + 2 ( y + y ) + 4 = -8m 2 + 4m + 4 = 0
1 2
1
2
1 2
1
2
1
∴ m = - , m = 1
2
当 m = 1时，直线方程为 x - y - 2 = 0 ， 圆心 M (3, 1)，半径 r = OM = 10
∴ 圆 M 的方程为 (x - 3)2 + ( y - 1)2 = 10 1 2
⎛ 9 85
⎝ 4 4
9 2 1 2 85
⎝
4 ⎭
⎝
2 ⎭
16
21.
f '(x ) = 1 - =
max = g (1) = 0
n
代替 x 得
> ln 1 + ⎪ ∴ ln 1 + ⎪ + ln 1 + ⎪ + ... + ln 1 + ⎛ 1 ⎫ ⎛ ⎛ 1 ⎫ 1 1 1 1 ⎪ < + ∴ 1 + ⎪ 1 + ⎪ ... 1 + ⎪< e < 3 又 m > 1 + ⎪ 1 + ⎪ 1 + 3 ⎪ = ( )
- 4 = 0 ， 所以 x 2 - - x + 2
(1) f (x ) 的定义域为 (0, + ∞ )
a x - a
x x
①当 a ≤ 0 时， f '(x ) ≥ 0 ， f (x ) 在 (0, + ∞ ) 上单调增，又 f (1) = 0 ，故不满足题意 ②当 a > 0 时，令 f '(x ) = 0 ，则 x = a ，
易知 f (x ) 在 (0, a )上单调减，在 (a, + ∞) 上单调增 故只需 f (a ) ≥ 0 ，即 a - 1 - a ln a ≥ 0 令 g (a ) = a - 1 - a ln a ，则 g '(a ) = - ln a
易知 g (a ) 在 (0, 1)上单调增， (1, + ∞ ) 单调减，故 g (a ) 且仅在 a = 1 时取得最大值
故当且仅当 a = 1 时， f (a ) ≥ 0 ∴ a = 1
(2) 由(1)得 x - 1 > ln x 对 ∀x ∈ (0, + ∞ )均成立
故用1 +
1 2
1 ⎛ 1 ⎫
2n ⎝ 2n ⎭
⎝ 2 ⎭ ⎝ 22 ⎭ ⎝ 2n ⎭ 2 22
2n 2n
⎛
1 ⎫⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎝
2 ⎭⎝ 22 ⎭ ⎝ 2n ⎭
+ ... + = 1 -
< 1
⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫ 135
⎝ 2 ⎭⎝ 22
⎭⎝ 2 ⎭ 64
m 的最小值为 3
> 2
22.
（1）由已知得 ，
，
， （3 分）
即
，即 . （5 分）
（2）将
代入（1） 中，
2
解得 ， （8 分）
∴f(x)=⎨2x-1,-1<x≤2
⎪3,x>2
(2)设g(x)=⎨-x2+3x-1,-1<x≤2
⎩-x2+x+3,x>2
∴m的取值范围是 -∞,5⎤
2019年全国卷3理科数学试题及参考答案(WORD版含部分选填详解)所以在直角坐标系下的坐标为
由得：.
所以的极径为（10分）23.
(1)当x≤-1时，x+1≤0,x-2≤0
∴f(x)=-(x+1)+(x-2)=-3
当-1<x≤2，f(x
)=(x+1)+(x-2)=2x-1
当x>2时，f(x)=x+1-(x-2)=3
⎧-3,x≤-1
⎪
⎩
令2x-1≥1可得x≥1
综上易知，f(x)≥1的解集为[-1,+∞)
⎧-x2+x-3,x≤-1
⎪
⎪
由f(x)≥x2-x+m有解可得g(x)≥m有解
故m≤f(x)=5
max4
⎛
⎝4⎥⎦。