吉林市2019届高三第七次模拟考试数学试题(理)

吉林市2019届高三第七次模拟考试数学试题（理）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 已知集合，则 A ． B ． C ． D ． 2. 在复平面内，复数所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3. 抛物线的焦点坐标为
A. B. C. D.
4. 若变量满足约束条件则的最大值为
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5. 已知，函数与函数的图像可能是
A. B. C. D.
6.
“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几
何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似
2{|560},{|2}A x x x B x x =-+
<=≤()R A B =ðA R A ðB R B ð
121i
z i
-=
+22y x =-1(,0)21(,0)2-1
(0,)8
1(0,)8
-,x y 1020y x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪--≤⎩2z x y =-lg lg 0a b +=()x f x a =()log b g x x =-
两个扣合（牟合）在一起方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其
直观性所作的辅助线．．．, 其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是
A ．
B ．
C ．
D ． 7. 已知实数
程序框图，则输出的不小于．．．
的概率为 A ．
B ．
C ．
D ．
8. 下列命题正确．．
的个数是： ① 对于两个分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有
关系”的把握程度越大； ② 在相关关系中，若用拟合时的相关指数为，用拟合时的
相关指数为，且,则的拟合效果好；
③ 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数，则事件“”发生的概
率为;
,a b ,a c ,c b ,b d {}1,2,3,4,5,6,7,8x ∈x 1213
4587
8
12
211c x y c e =21R 2y bx a =+22R 21R >22R 1y a 310a ->23
a b c d
输入x
④ “”是“”的充分不必要条件.
A. 1
B. 2
C. 3
D.
4
9. 已知是单位圆上任意一点，将射线绕点逆时针旋转
，与单位圆交于点，若的最大值为，则的值为
A ．1
B ．2
C ．
．3
10. 过双曲线的左顶点作斜率为的直线，若直线与
双曲线
的两条渐近线分别相交于点，且（其中为坐标原点），则双
曲线的离心率为
A. B.
C.
D.
11. 中，角所对的边分别为，已知
且，则的面积为
A ． B
C ． D
12. 设函数的图像是一条连续不断的曲线，且在实数集上存在导数
，对任
意的有，且时，， 若，则实数的取值范围是
0,0a b >>2a b
b a
+≥()11,A x y O OA O 3
π
O ()22,B x y ()1220x my y m =->2m 2
2
2:1(1)y C x b b
-=>P 1l l ,Q R 2OP OR OQ +=O 5105
103
ABC ∆,,A B C ,,a b c ,4
A a π
=
=sin(
)csin(
)4
4
b C B a π
π
+-+=ABC ∆1812()f x R ()f x 'x R ∈2()()f x f x x -+=()0,x ∈+∞()f x x '>(2)()22f a f a a --≥-a
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.
13．已知实数x ，y 满足，则y ﹣2x 的最小值为______．
14．已知向量=（1，），=（0，t 2+1），则当时，|﹣t
|的取值范围是______． 15．已知a ＞0，展开式的常数项为15，则
=______．
16．已知数列{a n }中，对任意的n ∈N *若满足a n +a n+1+a n+2+a n+3=s （s 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s 为4阶公和；若满足a n •a n+1•a n+2=t （t 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t 为3阶公积．已知数列{p n }为首项为1的4阶等和数列，且满足
；数列{q n }为公积为1的3阶等积数列，且
q 1=q 2=﹣1，设S n 为数列{p n •q n }的前n 项和，则S 2016=______．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．（12分）已知函数
．
（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调减区间；
（2）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a=7，若锐角A 满足
，且
，求△ABC 的面积．
[1,)+∞(,1]-∞(,2]-∞[2,)+∞
18．（12分）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求X的数学期望和方差．
（，其中n=a+b+c+d）
19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，点D
1
为棱PD的中点，过D
1
作与平面ABCD平行的平面与棱PA，PB，PC相交于A
1
，B
1
，
C
1
，∠BAD=60°．
（1）证明：B
1
为PB的中点；
（2）若AB=2，且二面角A
1
﹣AB﹣C的大小为60°，AC、BD的交点为O，连接B
1
O．求
三棱锥B
1
﹣ABO外接球的体积．
20．（12分）椭圆的左右焦点分别为F
1，F
2
，且离心率为，
点P为椭圆上一动点，△F
1PF
2
内切圆面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为A
1，过右焦点F
2
的直线l与椭圆相交于A，B两点，连
结A
1A，A
1
B并延长交直线x=4分别于P，Q两点，以PQ为直径的圆是否恒过定点？
若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
21．（12分）已知函数在点（1，f（1））处的切线与直线y=﹣
4x+1平行．
（1）求实数a的值及f（x）的极值；
（2）若对任意x
1，x
2
，有，求实数k的
取值范围．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. [选修4-4：坐标系与参数方程]
22在直角坐标系xOy中，曲线C
1
的参数方程为（t是参数），以
原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
2
的极坐标方程为ρ=8cos （θ﹣）．
（1）求曲线C
2
的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）若曲线C
1与曲线C
2
交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
[选修4-5：不等式选讲]
23设函数f（x）=|x+2|+|x﹣a|（a∈R）．
（1）若不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
吉林市2019届高三第七次模拟考试数学试题（理）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.
13．已知实数x，y满足，则y﹣2x的最小值为 1 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】画出约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最小值即可．
【解答】解：根据方程组获得可行域如下图，令z=y﹣2x，可化为y=2x+z，
因此，当直线过点（1，3）时，z取得最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题．从二元一次方程组到可行域，再结合目标函数的几何意义，全面地进行考查．
14．已知向量=（1，），=（0，t2+1），则当时，|﹣t
|的取值范围是[1，] ．
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【分析】求出=（0，1），再根据向量差的几何意义，求出|﹣t|的解析式，从而求出它的取值范围．
【解答】解：由题意， =（0，1），
根据向量的差的几何意义，|﹣t|表示向量t的终点到向量的终点的距离d，
所以d=；
所以，当t=时，该距离取得最小值为1，
当t=﹣时，该距离取得最大值为，
即|﹣t|的取值范围是[1，]．
故答案为：[1，]．
【点评】本题利用数形结合思想，考查了平面向量的几何意义，也考查了函数的最值问题以及计算求解能力的应用问题，是基础题目．
15．已知a＞0，展开式的常数项为15，则= ．
【考点】二项式定理；微积分基本定理．
【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得a的值，再利用积分的运算性质、法则，求得要求式子的值．
=•（﹣1）r•a6﹣r•，【解答】解：由的展开式的通项公式为T
r+1
令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，
因此原式为
=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，积分的运算，是一道中档的常规问题
16．已知数列{a n }中，对任意的n ∈N *若满足a n +a n+1+a n+2+a n+3=s （s 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中s 为4阶公和；若满足a n •a n+1•a n+2=t （t 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中t 为3阶公积．已知数列{p n }为首项为1的4阶等和数列，且满足
；数列{q n }为公积为1的3阶等积数列，且
q 1=q 2=﹣1，设S n 为数列{p n •q n }的前n 项和，则S 2016= ﹣2520 ． 【考点】数列的求和．
【分析】通过定义可知数列数列{p n }、数列{q n }均为周期数列，进而可知数列{p n •q n }中每12项的和循环一次，进而计算可得结论．
【解答】解：由题意可知，p 1=1，p 2=2，p 3=4，p 4=8，p 5=1，p 6=2，p 7=4，p 8=8，p 9=1，p 10=2，p 11=4，p 12=8，p 13=1，…，
又p n 是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，
同理，q 1=﹣1，q 2=﹣1，q 3=1，q 4=﹣1，q 5=﹣1，q 6=1，q 7=﹣1，q 8=﹣1，q 9=1，q 10=﹣1，q 11=﹣1，q 12=1，q 13=﹣1，…，
又q n 是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去， 由此可知对于数列{p n •q n }，每12项的和循环一次， 易求出p 1•q 1+p 2•q 2+…+p 12•q 12=﹣15， 因此S 2016中有168组循环结构， 故S 2016=﹣15×168=﹣2520， 故答案为：﹣2520．
【点评】本题主要考查非常规数列求和问题，对学生的逻辑思维能力提出很高要求，属于一道难题．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足，且，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）运用二倍角的正弦公式和余弦公式，以及两角和的正弦公式，由正弦函数的周期公式及单调递减区间，解不等式可得；
（2）由条件，可得角A，再运用正弦定理可得b+c=13，由余弦定理，可得bc=40，由三角形的面积公式计算即可得到所求．
【解答】解：（1）=
，
因此f（x）的最小正周期为．
由，可得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
即f（x）的单调递减区间为（k∈Z）；
（2）由，
又A为锐角，则．
由正弦定理可得，
，
则，
由余弦定理可知，，
可求得bc=40，
故．
【点评】本题主要考查三角函数的化简运算，以及三角函数的性质，并借助正弦和余弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求．
18．（12分）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2015年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求X的数学期望和方差．
（，其中n=a+b+c+d）
【考点】独立性检验的应用．
【分析】（1）由题意列出2×2列联表，计算观测值K2，对照数表即可得出正确的结论；
（2）根据题意，得出商品和服务都好评的概率，求出X的可能取值，计算对应的概率值，写出期望与方差．
【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表为：
计算观测值，
对照数表知，在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（6分）
（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5；
其中；
；
；
；
；
；
所以X的分布列为：
P
由于X～B（5，），
则；
．（12分）
【点评】本题主要考查了统计与概率的相关知识，包括独立性检验、离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差的求法问题，也考查了对数据处理能力的应用问题．
19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，点D
1
为棱PD的中点，过D
1作与平面ABCD平行的平面与棱PA，PB，PC相交于A
1
，B
1
，
C
1
，∠BAD=60°．
（1）证明：B
1
为PB的中点；
（2）若AB=2，且二面角A
1﹣AB﹣C的大小为60°，AC、BD的交点为O，连接B
1
O．求
三棱锥B
1
﹣ABO外接球的体积．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；用空间向量求平面间的夹角．
【分析】（1）根据面面平行的性质结合中位线的性质即可证明：B
1
为PB的中点；（2）建立坐标系，求出平面的法向量，结合三棱锥的外接球的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）连结B
1D
1
.，
即B
1D
1
为△PBD的中位线，即B
1
为PB中点．（4分）
（2）以O为原点，OA方向为x轴，OB方向为y轴，OB
1
方向为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则，B（0，1，0），B
1
（0，0，t），
从而，，
则，又
，则．
由题可知，OA⊥OB，OA⊥OB
1，OB⊥OB
1
，
即三棱锥B
1﹣ABO外接球为以OA、OB、OB
1
为长、宽、高的长方体外接球，
则该长方体的体对角线长为，即外接球半径为．
则三棱锥B
1
﹣ABO外接球的体积为．（12分）
【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到面面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．
20．（12分）椭圆的左右焦点分别为F
1，F
2
，且离心率为，
点P为椭圆上一动点，△F
1PF
2
内切圆面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为A
1，过右焦点F
2
的直线l与椭圆相交于A，B两点，连
结A
1A，A
1
B并延长交直线x=4分别于P，Q两点，以PQ为直径的圆是否恒过定点？
若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）设c=t，则a=2t，，推导出点P为短轴端点，从而得到t=1，由此能求出椭圆的方程．
（2）设直线AB的方程为x=ty+1，联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，
由此利用韦达定理、向量知识、直线方程、圆的性质、椭圆性质，结合已知条件能推导出以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）∵椭圆的离心率为，不妨设c=t，a=2t，即，其中t＞0，
又△F
1PF
2
内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，
∵，为定值，
∴也取得最大值，即点P为短轴端点，
∴，，解得t=1，∴椭圆的方程为．（4分）
（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x
1，y
1
），B（x
2
，y
2
），
联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，则，，
直线AA
1
的方程为，
直线BA
1
的方程为，则，，
假设PQ为直径的圆是否恒过定点M（m，n），
则，，
，
即，
即，
，即6nt﹣9+n2+（4﹣m）2=0，
若PQ为直径的圆是否恒过定点M（m，n），即不论t为何值时，恒成立，
∴n=0，m=1或m=7．
∴以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．（12分）
【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题．本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求．
21．（12分）已知函数在点（1，f（1））处的切线与直线y=﹣
4x+1平行．
（1）求实数a的值及f（x）的极值；
（2）若对任意x
1，x
2
，有，求实数k的
取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求导，由f'（1）=﹣4，即可求得a的值，令f'（x）=0，求得可能的极值点，由f′（x）＞0及f′（x）＜0，分别求得单调递增和单调递减区间，根据极小值的定义，即可求得在x=1时取极小值，即可求得极小值；
（2）由题意可知将不等式转化成，得，构造辅助函数，，求得g（x）的解析式，求导，根据函数的单调性求得g'（x）的最小值，即可求得k的取值范围．
【解答】解（1）由题意得，（x＞0），
点（1，f（1））处的切线与直线y=﹣4x+1平行．
又f'（1）=﹣4，即=﹣4，解得a=1．
令，
解得：x=e，
当f′（x）＞0，解得：x＞e，
函数f（x）在（e，+∞）上单调递增，
当f′（x）＜0，解得：0＜x＜e，
函数f（x）在（0，e）上单调递减，
∴f（x）在x=e时取极小值，极小值为．（6分）
（2）由，可得，
令，则g（x）=x+xlnx，其中，x∈[e2，+∞）g'（x）=2+lnx，
又x∈[e2，+∞），则g'（x）=2+lnx≥4，
即，
∴实数k的取值范围是（﹣∞，4]．（12分）
【点评】本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值，导数的几何意义，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. [选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C
1
的参数方程为（t是参数），
以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
2
的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）．
（1）求曲线C
2
的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）若曲线C
1与曲线C
2
交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论；
（2）联立曲线C
1与曲线C
2
的方程，利用参数的几何意义，即可求|AB|的最大值
和最小值．
【解答】解：（1）对于曲线C
2
有，即，
因此曲线C
2
的直角坐标方程为，其表示一个圆．（5分）
（2）联立曲线C
1与曲线C
2
的方程可得：，
∴t
1+t
2
=2sinα，t
1
t
2
=﹣13
，
因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．（10分）
【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣a|（a∈R）．
（1）若不等式f（x）+a≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）分类讨论，利用不等式f（x）+a≥0恒成立，即f（x）的最小值|a﹣2|≥﹣a求实数a的取值范围；
（2）根据函数f（x）图象的性质可知，当时，恒成立，从而求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a≥0时，f（x）+a≥0恒成立，
当a＜0时，要保证f（x）≥﹣a恒成立，即f（x）的最小值|a﹣2|≥﹣a，解得a≥﹣1，∴0＞a≥﹣1
综上所述，a≥﹣1．（5分）
（2）根据函数f（x）图象的性质可知，当时，恒成立，即a=4，
所以a的取值范围是（﹣∞，4]时恒成立．（10分）
【点评】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明等内容．本小题重点考查考生的化归与转化思想．。