河南省洛阳第一高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题
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A. 若 ，则 ，
B. 若 ，则使 的最大的 为
C. 若 ， ，则 中 最大
D. 若 ，则
C
推导出 ，可判断A选项；计算 、 ，可判断B选项；推导出 ，可判断C选项；推导出 ，可判断D选项.
设等差数列 的公差为 ，则 .
对于A选项， ，则 ，则 ，
所以， ，故 ，A对；
对于B选项，因为 ，则 ，
则 ，可得 ，则 ，故 ，
三．解答题（共6小题）
17.已知三角形 中，三边长为 ，满足 .
（1）若 ，求三个内角中最大角的度数；
（2）若 ，且 ，求 的面积
（1） ；（2）
分析】（1）由正弦定理得到 ，设 ，再利用余弦定理计算可得；
（2）由平面向量数量积的定义可得 ，再由余弦定理可得 ，再由同角三角函数基本关系求出 ，再求出 ，最后由面积公式计算可得；
A. B. C. D.
C
首先根据余弦定理求 ，再求 ，再根据正弦定理求 外接圆的半径，即可求得圆的面积.
由余弦定理可知 ，
所以 ，
根据正弦定理， ，即
所以 外接圆的面积 .故选：C
4.已知数列 ， ， 为其前n项和，则点 在下列（）函数的图象上
A. B.
C. D.
C
判断出 为等差数列，求出 的表达式，即可得出合适的选项.
，
所以数列 是以2为首项2为公比的等比数列，
则 ，故 ，
所以
；
（2）解： ，
则 ①
②
① ②得：
所以 .
20.已知数列 的前 项和为 ，满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前100项的和 ．
（1） ；
（2）
根据已知递推关系，利用数列的和与项的一般关系当 时，求得 ，当 时，利用 求得 的递推关系，进而可判定数列 为等比数列，求得其通项公式，利用三角函数的周期性求得 的通项与 的周期性关系，判定其中的非零项 是首项为 ，公比为 的等比数列，进而利用等比数列的求和公式求得 .
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，得 故选：B
关键点点睛：利用正弦定理，统一为角的问题，利用三角恒等变换化简，是解题的关键，属于中档题.
9.已知数列 满足 ，若数列 满足 ，则 （）
A. B. C. D.
D
由递推关系求得数列 的通项 ，从而求得 ，将问题中每一项进行裂项 ，从而累加得到结果.
D
设三角形的面积为S，其三边长分别是a,b,c,其相应边上的高分别为 ， ， ，则S= a× ，即a=26S；同理可得另两边长b=22S,c=10S．
由余弦定理得cosA＝ = = <0，即A为钝角．
所以能作出一个钝角三角形．
11.已知数列 满足 ， 是数列 的前 项和，则（）
A. 不是定值， 是定值
A.6B.7C.8D.9
C
设需要 天时间才能打穿，结合题设列不等式并整理得 ，令 ，利用函数零点存在性定理及函数单调性即可求出结果．
设需要 天时间才能打穿，则 ，化简并整理得 ，
令 ，则 ； ，又 在 单调递增，
∴ 在 内存在一个零点，
∴至少需要8天时间才能打通．故选：C．
7.首项为正数，公差不为 的等差数列 ，其前 项和为 ，则下列命题中错误的是（）
河南省洛阳第一高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题
一．选择题（共12小题，每小题5分）
1.已知数列 中， 是这个数列的（）
A.第10项B.第11项
C.第12项D.第13项
A
根据题意，令 ，求得 ，即可得到答案.
由题意，数列通项公式为 ，
令 ，解得 ，即 是这个数列的第10项.故选：A.
解：（1）因为 满足
又
所以
设 ，则最大角为 ，
由 ，因为
所以 ；
（2）又由 ，得
由 ，
，
所以三角形的面积为
18.在 中，内角A， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积S满足 .
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形， ，求 的取值范围.
（1） ；（2） .
（1）先利用面积 和余弦定理化简已知式，得到 ，再结合范围即得 ；
B. 不是定值， 不是定值
C. 是定值， 不是定值
D. 是定值， 是定值
A
分别令 ，得到4个式子，从而可得 ， ，进而可求出 和
当 ，则 ， ，
当 ，则 ， ，
∴ ， ， ，
作差得 ，∴ ，
∴ 为定值.
而
不为定值.故选：A.
12.已知数列 中， ， ， 是 的前 项和，则 （）
A. B. C. D.
（2）先利用正弦定理解得 ，结合 代入化简求得 ，再根据锐角三角形得到 ，即求得 的取值范围.
解：（1）由题得 ，
， ，而 ，故 ；
（2）由正弦定理得 ， ， ，
故
，
∵ 为锐角三角形，∴ ， ，
∴ ，∴ ， ，
故 ，即 的取值范围是 .
19.已知数列 满足： ， ．
（1）证明：数列 是等比数列并求数列 的前 项和为 ．
由题意 ，即 ，
累乘得 ，
可知 ， ，当 时， ，
所以 ，
又 时， ，且当 时成立，从而有 ，
故 ，
所以 ，故 .
故答案为：
方法技巧
常见数列的裂项方法
数列（ 为正整数）
裂项方法
（ 为非零常数）
（ 为非零常数）
（ ， ）
注意：利用裂项相消法求和时，既要注意检验裂项前后是否等价，又要注意求和时正负项相消后消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项.
（3）因为 ，所以
所以
22.已知等比数列 的前n项和为 ．
（1）求 的公比q；
（2）对于 ，不等式 恒成立，求实数t的最大值．
（1）2；（2）
（1）由已知建立关系即可求出公比；
（2）化简可得不等式等价于 ，利用 的单调性可求出 最小值，即可得出.
解：（1）由 ，得 ，整理得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
2.已知等比数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 （）
A. B. 9C. D. 27
D
利用等比数列前 项和公式，结合 ， 求出该等比数列的公比，最后利用等比数列的通项公式进行求解即可.
设该等比数列的公比为 ，
当 时，因为 ， ，所以有 ，
所以 ，
当 时， ，显然不成立，故选：D
3.在 中， ， ， ，则 外接圆的面积为（）
由题意知 ，所以 ，
当 时，
，当 时，
.故
故选： .
关键点点睛：求得数列的通项公式以后，将问题中每一项进行裂项， ，从而累加消去得到结果.
10.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 ，则此人能
A. 不能作出这样的三角形B. 作出一个锐角三角形
C. 作出一个直角三角形D. 作出一个钝角三角形
因为 ，故数列 为等差数列，
则 ，故选：C.
5.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，则 的形状为（）
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
C
由比例的性质得出 的关系后判断三角形形状．
由 得 ，所以 ，
所以 或 ，
所以 为等腰三角形或直角三角形．故选：C．
21.正项数列 的前 项和 满足：
（1）求
（2）求数列 的通项公式
（3）令 ，求数列 的前 项和
（1） ；（2） ；（3）
（1）将所给式子因式分解，即可得解；
（2）根据 计算可得；
（3）由（2）可得 ，再利用裂项相消法计算可得；
解：因为
所以
所以 或
因为 各项均为正数，所以 ；
（2）因为 ，当 时 ，当 时， ，所以 ，当 时 也成立，所以
利用 ，求得 的值，然后利用等差数列求和公式求得 ，利用函数图象得 的最小值可能为 ， 或 ，分别求出 ， ， ，得出最小值.
详解】由于 即 ,解得 ,
故 ,
作函数 的图象，
故 的最小值可能为 ， 或 ，
而 ， ， ，
故 的最小值为 .
故答案为：8.
14.已知公比不等于1的等比数列 和公差不等于0的等差数列 满足 ， ，则 ___________.
所以， ， ，
故使 的最大的 为 ，B对；
对于C选项，因为 ，则 ， ，则 ，得 ，
因为 中 最大，C错；
即 ，即 ，D对.故选：C.
8.已知 分别为 三个内角 的对边，且 ，则A为（）
A. B. C. D.
B
先利用正弦定理把 都统一成角，然后消去角 ，再利用辅助角公式化为 ，从而可求出角A 值.
（1）当 时， ,解得： ,
当 时， ,即 ,
∴数列 为等比数列，首项和公比都是 ,
∴ ；
（2） ,( ),
∴
是首项为 ，公比为 的等比数列，共有50项，
∴ .
当 时， ,当 时， 这是一般数列共有的关系，是十分重要的，一定要熟练掌握，另外判定 是首项为 ，公比为 的等比数列，进而才可以利用等比数列求和公式计算.
根据等差数列与等比数列的性质，由题中条件，分别得到 ， ，进而可求出结果．
因为公比不等于1的等比数列 和公差不等于0的等差数列 满足
， ，
所以 ，则 ，
因此 ．
故答案为： ．
15.在 中， ， ， ，点 在边 上，且 ，动点 满足 ，则 的最小值为___________.
1
以B为原点建立坐标系，结合 ，利用坐标运算求出动点 的轨迹，再结合圆的性质求得最小值即可.
由题意得 ，所以 ．
（2）由（1）得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
令 ．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， 递增，所以 ．
所以 ，故实数 的最大值为 ．
关键点睛：本题考查数列不等式的恒成立问题，解题的关键是将不等式转化为 ，利用数列的单调性求解.
6.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何．”翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为200尺，则至少需要多少天时间才能打穿？（）
建立如图直角坐标系，依题意知， ， ，设 ，
由 知， ，整理得 ，
所以动点 的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，
由圆的性质可知，当 时， 最小，为3-2=1.
故答案为：1.
16.设 为数列 的前 项和，满足 ， ，其中 ，数列 的前 项和为 ，满足 ，则 ___________.
首先变形等式为 ，利用累乘法，求得数列 的通项公式，以及数列 的通项公式，代入 后，利用错位相减法求和.
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
（1）证明见解析， ；（2） .
（1）要证数列 是等比数列，只需证明 等于同一个常数即可，根据 构造即可得证；求出数列 的通项公式，利用分组求和法即可求出数列 的前 项和；
（2）求出数列 得通项公式，利用错位相减法即可求得数列 的前 项和 ．
（1）证明：因为 ，
所以 ，即 ，
D
由 ，得到 为递增数列，又由 ，得到 ，化简 ，即可求解.
由题意，数列 中，满足 ， ，
可得 ，
即 ，所以数列 为递增数列，
所以 ，可得 ，
即
又由 是 的前 项和，则
.故选：D.
二．填空题（共4小题，每小题5分）
13.已知等差数列 的公差 ， 为其前n项和，则 的最小值为___________.
8
B. 若 ，则使 的最大的 为
C. 若 ， ，则 中 最大
D. 若 ，则
C
推导出 ，可判断A选项；计算 、 ，可判断B选项；推导出 ，可判断C选项；推导出 ，可判断D选项.
设等差数列 的公差为 ，则 .
对于A选项， ，则 ，则 ，
所以， ，故 ，A对；
对于B选项，因为 ，则 ，
则 ，可得 ，则 ，故 ，
三．解答题（共6小题）
17.已知三角形 中，三边长为 ，满足 .
（1）若 ，求三个内角中最大角的度数；
（2）若 ，且 ，求 的面积
（1） ；（2）
分析】（1）由正弦定理得到 ，设 ，再利用余弦定理计算可得；
（2）由平面向量数量积的定义可得 ，再由余弦定理可得 ，再由同角三角函数基本关系求出 ，再求出 ，最后由面积公式计算可得；
A. B. C. D.
C
首先根据余弦定理求 ，再求 ，再根据正弦定理求 外接圆的半径，即可求得圆的面积.
由余弦定理可知 ，
所以 ，
根据正弦定理， ，即
所以 外接圆的面积 .故选：C
4.已知数列 ， ， 为其前n项和，则点 在下列（）函数的图象上
A. B.
C. D.
C
判断出 为等差数列，求出 的表达式，即可得出合适的选项.
，
所以数列 是以2为首项2为公比的等比数列，
则 ，故 ，
所以
；
（2）解： ，
则 ①
②
① ②得：
所以 .
20.已知数列 的前 项和为 ，满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前100项的和 ．
（1） ；
（2）
根据已知递推关系，利用数列的和与项的一般关系当 时，求得 ，当 时，利用 求得 的递推关系，进而可判定数列 为等比数列，求得其通项公式，利用三角函数的周期性求得 的通项与 的周期性关系，判定其中的非零项 是首项为 ，公比为 的等比数列，进而利用等比数列的求和公式求得 .
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，得 故选：B
关键点点睛：利用正弦定理，统一为角的问题，利用三角恒等变换化简，是解题的关键，属于中档题.
9.已知数列 满足 ，若数列 满足 ，则 （）
A. B. C. D.
D
由递推关系求得数列 的通项 ，从而求得 ，将问题中每一项进行裂项 ，从而累加得到结果.
D
设三角形的面积为S，其三边长分别是a,b,c,其相应边上的高分别为 ， ， ，则S= a× ，即a=26S；同理可得另两边长b=22S,c=10S．
由余弦定理得cosA＝ = = <0，即A为钝角．
所以能作出一个钝角三角形．
11.已知数列 满足 ， 是数列 的前 项和，则（）
A. 不是定值， 是定值
A.6B.7C.8D.9
C
设需要 天时间才能打穿，结合题设列不等式并整理得 ，令 ，利用函数零点存在性定理及函数单调性即可求出结果．
设需要 天时间才能打穿，则 ，化简并整理得 ，
令 ，则 ； ，又 在 单调递增，
∴ 在 内存在一个零点，
∴至少需要8天时间才能打通．故选：C．
7.首项为正数，公差不为 的等差数列 ，其前 项和为 ，则下列命题中错误的是（）
河南省洛阳第一高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题
一．选择题（共12小题，每小题5分）
1.已知数列 中， 是这个数列的（）
A.第10项B.第11项
C.第12项D.第13项
A
根据题意，令 ，求得 ，即可得到答案.
由题意，数列通项公式为 ，
令 ，解得 ，即 是这个数列的第10项.故选：A.
解：（1）因为 满足
又
所以
设 ，则最大角为 ，
由 ，因为
所以 ；
（2）又由 ，得
由 ，
，
所以三角形的面积为
18.在 中，内角A， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积S满足 .
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形， ，求 的取值范围.
（1） ；（2） .
（1）先利用面积 和余弦定理化简已知式，得到 ，再结合范围即得 ；
B. 不是定值， 不是定值
C. 是定值， 不是定值
D. 是定值， 是定值
A
分别令 ，得到4个式子，从而可得 ， ，进而可求出 和
当 ，则 ， ，
当 ，则 ， ，
∴ ， ， ，
作差得 ，∴ ，
∴ 为定值.
而
不为定值.故选：A.
12.已知数列 中， ， ， 是 的前 项和，则 （）
A. B. C. D.
（2）先利用正弦定理解得 ，结合 代入化简求得 ，再根据锐角三角形得到 ，即求得 的取值范围.
解：（1）由题得 ，
， ，而 ，故 ；
（2）由正弦定理得 ， ， ，
故
，
∵ 为锐角三角形，∴ ， ，
∴ ，∴ ， ，
故 ，即 的取值范围是 .
19.已知数列 满足： ， ．
（1）证明：数列 是等比数列并求数列 的前 项和为 ．
由题意 ，即 ，
累乘得 ，
可知 ， ，当 时， ，
所以 ，
又 时， ，且当 时成立，从而有 ，
故 ，
所以 ，故 .
故答案为：
方法技巧
常见数列的裂项方法
数列（ 为正整数）
裂项方法
（ 为非零常数）
（ 为非零常数）
（ ， ）
注意：利用裂项相消法求和时，既要注意检验裂项前后是否等价，又要注意求和时正负项相消后消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项.
（3）因为 ，所以
所以
22.已知等比数列 的前n项和为 ．
（1）求 的公比q；
（2）对于 ，不等式 恒成立，求实数t的最大值．
（1）2；（2）
（1）由已知建立关系即可求出公比；
（2）化简可得不等式等价于 ，利用 的单调性可求出 最小值，即可得出.
解：（1）由 ，得 ，整理得 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
2.已知等比数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 （）
A. B. 9C. D. 27
D
利用等比数列前 项和公式，结合 ， 求出该等比数列的公比，最后利用等比数列的通项公式进行求解即可.
设该等比数列的公比为 ，
当 时，因为 ， ，所以有 ，
所以 ，
当 时， ，显然不成立，故选：D
3.在 中， ， ， ，则 外接圆的面积为（）
由题意知 ，所以 ，
当 时，
，当 时，
.故
故选： .
关键点点睛：求得数列的通项公式以后，将问题中每一项进行裂项， ，从而累加消去得到结果.
10.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 ，则此人能
A. 不能作出这样的三角形B. 作出一个锐角三角形
C. 作出一个直角三角形D. 作出一个钝角三角形
因为 ，故数列 为等差数列，
则 ，故选：C.
5.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，则 的形状为（）
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
C
由比例的性质得出 的关系后判断三角形形状．
由 得 ，所以 ，
所以 或 ，
所以 为等腰三角形或直角三角形．故选：C．
21.正项数列 的前 项和 满足：
（1）求
（2）求数列 的通项公式
（3）令 ，求数列 的前 项和
（1） ；（2） ；（3）
（1）将所给式子因式分解，即可得解；
（2）根据 计算可得；
（3）由（2）可得 ，再利用裂项相消法计算可得；
解：因为
所以
所以 或
因为 各项均为正数，所以 ；
（2）因为 ，当 时 ，当 时， ，所以 ，当 时 也成立，所以
利用 ，求得 的值，然后利用等差数列求和公式求得 ，利用函数图象得 的最小值可能为 ， 或 ，分别求出 ， ， ，得出最小值.
详解】由于 即 ,解得 ,
故 ,
作函数 的图象，
故 的最小值可能为 ， 或 ，
而 ， ， ，
故 的最小值为 .
故答案为：8.
14.已知公比不等于1的等比数列 和公差不等于0的等差数列 满足 ， ，则 ___________.
所以， ， ，
故使 的最大的 为 ，B对；
对于C选项，因为 ，则 ， ，则 ，得 ，
因为 中 最大，C错；
即 ，即 ，D对.故选：C.
8.已知 分别为 三个内角 的对边，且 ，则A为（）
A. B. C. D.
B
先利用正弦定理把 都统一成角，然后消去角 ，再利用辅助角公式化为 ，从而可求出角A 值.
（1）当 时， ,解得： ,
当 时， ,即 ,
∴数列 为等比数列，首项和公比都是 ,
∴ ；
（2） ,( ),
∴
是首项为 ，公比为 的等比数列，共有50项，
∴ .
当 时， ,当 时， 这是一般数列共有的关系，是十分重要的，一定要熟练掌握，另外判定 是首项为 ，公比为 的等比数列，进而才可以利用等比数列求和公式计算.
根据等差数列与等比数列的性质，由题中条件，分别得到 ， ，进而可求出结果．
因为公比不等于1的等比数列 和公差不等于0的等差数列 满足
， ，
所以 ，则 ，
因此 ．
故答案为： ．
15.在 中， ， ， ，点 在边 上，且 ，动点 满足 ，则 的最小值为___________.
1
以B为原点建立坐标系，结合 ，利用坐标运算求出动点 的轨迹，再结合圆的性质求得最小值即可.
由题意得 ，所以 ．
（2）由（1）得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
令 ．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， 递增，所以 ．
所以 ，故实数 的最大值为 ．
关键点睛：本题考查数列不等式的恒成立问题，解题的关键是将不等式转化为 ，利用数列的单调性求解.
6.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何．”翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为200尺，则至少需要多少天时间才能打穿？（）
建立如图直角坐标系，依题意知， ， ，设 ，
由 知， ，整理得 ，
所以动点 的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，
由圆的性质可知，当 时， 最小，为3-2=1.
故答案为：1.
16.设 为数列 的前 项和，满足 ， ，其中 ，数列 的前 项和为 ，满足 ，则 ___________.
首先变形等式为 ，利用累乘法，求得数列 的通项公式，以及数列 的通项公式，代入 后，利用错位相减法求和.
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
（1）证明见解析， ；（2） .
（1）要证数列 是等比数列，只需证明 等于同一个常数即可，根据 构造即可得证；求出数列 的通项公式，利用分组求和法即可求出数列 的前 项和；
（2）求出数列 得通项公式，利用错位相减法即可求得数列 的前 项和 ．
（1）证明：因为 ，
所以 ，即 ，
D
由 ，得到 为递增数列，又由 ，得到 ，化简 ，即可求解.
由题意，数列 中，满足 ， ，
可得 ，
即 ，所以数列 为递增数列，
所以 ，可得 ，
即
又由 是 的前 项和，则
.故选：D.
二．填空题（共4小题，每小题5分）
13.已知等差数列 的公差 ， 为其前n项和，则 的最小值为___________.
8