05年以来浙江省考试积分相关习题10页

一、选择题：
1． 08设()x f 为连续函数,则
()⎰dx x f dx
d
等于( ). .A ()C x f + .B ()x f
.
C ()dx x df
D .()C dx
x df +
2．08下列四个命题中成立的是（ ）.
.A 可积函数必是连续函数 .B 单调函数必是连续函数 .C 可导函数必是连续函数 D .连续函数必是可导函数 3．12 已知1
(0),(1),(0),()f f f xf x dx '''===⎰
求=[ ]
4．
12 1,4y y x =
==所围的面积是[ ]
5. 11设,)(x
e x
f -=则='⎰dx x x f )
(ln ( ) A. c e
x
+- B. c x +1 C. c e x +-- D. c x
+-1
5.11 设)(x f 连续，,)(20
2⎰
=
x dt t f x F ）（则 ='）（x F ( )
A. )(4
x f B. )(4
2
x f x C. )(24
x xf D. )(22
x xf
6. 10设区域D 由直线)(,a b b x a x >==，曲线)(x f y =及曲线)(x g y =所围成，则区域D 的面积为 ( ) A. dx x g x f b a
⎰-)]()([ B. dx x g x f b
a
⎰-)]()([
C.
dx x f x b a
⎰
-)]()(g [ D. dx x g x f b
a
⎰-)()(
7. 09 =-⎰
)cos 1(x d ( ) A. x cos 1- B. c x +-cos
C. c x x +-sin
D. c x +sin
8．05-1设函数⎪⎩⎪
⎨⎧<-=>=--0
,0
0,0
x ,)(22
x e x e x f x x ，则积分⎰-1
1)(dx x f ＝（ ）. .2)( ,e
1
)( 0)( ,1)(D C B A -
5．06-1设0
()()x
F x f t dt =
⎰
，其中2,01
()1,12
x x f x x ⎧≤≤=⎨≤≤⎩，则下面结论中正确的是
[ ]
()A 31,01()3, 12x x F x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩ ()B 311,01
()3
3, 12
x x F x x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩ ()C 3
1,01
()3
1,12x x F x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪-≤≤⎩ ()D 3
1,013()2,123x x F x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩
4．06-2曲线(1)(2),(0y x x x x =--≤≤与x 轴所围图形的面积可表示为
[ ]
()A 2
0(1)(2)x x x dx ---⎰
()B 1 2
0 1(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx -----⎰⎰
()C 1 2 0 1(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰ ()D 2
0(1)(2)x x x dx --⎰
4.06-2曲线2
y x =与直线1y =所围成的图形的面积为（ ）. ()A
23 ()B 3
4 4
()3
C ()
D 1
5.06-2广义积分
3
(1)x
dx x +∞+⎰
为（ ）.
()A 1- ()B 0 1
()2C -
1()2
D 二、填空题：
1．08 ()._________________________2
=⎰x
dt t f dx d
2. 08
.
_________________________0
=
⎰
∞+-dx e x
3. 08
()
.
________________________2
=
+⎰-ππ
dx x x
6.12 ⎰dx x
x
sin cos 2= 7.11计算不定积分
.________2⎰=+x x dx
8.11
._____________cos 13
3=+⎰-dx x x
π
π
9.11已知,4)2(,3)2(,2)0(='==f f f 则._____________)(20
=''⎰
dx x f x
10. 10设
,sin )(0
x x dt t f x =⎰
则.__________)(=x f
11．10定积分._____________4)2(22
2=--⎰
-dx x x
12．09=+⎰
dx )14
(sin π
.__________
13．09
._____________)]()([=-+⎰
-dx x f x f x a a
14．09 设,)()(⎰-=x a dt t f a x x
x F 其中 )(t f 是连续函数，则=+→)(lim x F a x .__________
06-1 3
22 2
(1)cos ___________________1sin x x
dx x π
π-+=+⎰ 4. 06-2
2
2
(1cos )x x dx -+⎰
＝ .
5. 06-2.
曲线y =
与直线1x =，3x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周，
所得旋转体体积为 . 3．07-1极限_________________________1lim
10
2=+⎰
∞
→dx x x n n 。

4．07-1积分
⎰=+_______________________________sin 1cot dx x x。

6．07-1积分
________________________________sin sin 0
97=-⎰
π
dx x x
1. 07-2广义积分
2
1
ln e
dx x x
+∞=⎰
. 三、计算题
1．08计算不定积分⎰
+dx x x
132
.
2. 08 设函数()⎩⎨⎧≤<≤≤=2
1,21
0,2x x x x x f ，求定积分()⎰20
dx x f
3. 08 计算()
x
dt
e e
x t t
x cos 12lim
--+⎰-→
4．12
dx x x ⎰
-4
1
5．12⎰
xdx x ln 2
6．12求暇积分
⎰
+1
)
1(x x dx
7. 11计算不定积分⎰+.)
1(2
dx e xe x x
8. 11计算定积分
⎰
+10
)1ln(dx x .
9. 10求不定积分⎰
.arctan xdx x 10. 10函数⎩⎨
⎧>-≤+=,
0,2,
0,2)(x x x x x f 计算⎰-11
)(dx x f 的值.
11. 09 计算⎰+.1dx e
e x
x
12. 05-1 计算积分
⎰-+-0
1
2231
dx x x . 13．05-1计算积分
⎰+dx e x 211
.
14．05-1计算积分⎰
-+1
2)2(dx e x x x
.
05-2 直线1=x 把圆42
2=+y x 分成左，右两部分，求右面部分绕y 轴旋转一周所得的旋转体体积.
06-1．计算不定积分
221
sin cos dx x x ⎰. 06-1．计算定积分 1 0x x
dx
e e -+⎰。

10．06-1 当a 为何值时，抛物线2
y x =与三直线,1,0x a x a y ==+=所围成的图形面积最小，求将此图形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积。

1.
06-2计算极限 0
2
tan lim
x x tdt x →⎰.
06-2计算不定积分
⎰
06-2计算定积分
20
sin x xdx π
⎰
4．07-1计算积分xdx e x cos 2sin 3⎰
+。

5．07-1计算积分
()
⎰+dx e xe x x
2
1。

6．07-1计算积分
()⎰
+40
2
21tan π
dx x e x 。

9．07-1任给有理数a ，函数()x f 满足()()10
+-=⎰x
dt t a f x f ，求()x f
9．解：原方程两边对x 求导数得
()()()()()()()()()()()i
a f f f x x f x f x f x f x a a f x a f x f x a f x f ±==+='===+''∴-=---=-'-=''-='λλ
即对应的特征方程为
方程由得由原方程令满足0
1)2(0)1(1
00
)2(0)()()1(2
()()()()()()()x
a
a
x x f a
a
c a c a a f c f x c x x f x
c x x f c f x
c x c x f sin sin 1cos cos sin 1cos sin cos 0cos sin sin cos 110sin cos )2(22222121-+
=∴-=
∴+==='+-='+===+=∴即得有通解
1. 07-2
计算定积分
20
x ⎰
.
2. 07-2设函数()y y x =由方程20
2
2
=-
⎰
-y t dt e
xy 确定，求微分dy .
解：2
220y y xyy y e -''+-= （4分） dx xy
e
y dy y 22
2-=
- （2分）
3. 求⎰++-dx x x x x )
1(3
2
2. 解：1123)1(3222++-
=++-x x x x x x x （3分） C x x x dx x x x x +-+-=++-⎰arctan )1ln(ln 3)
1(32
2
2 （3分） ------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------
1. 07-2((本题7分)计算
2
n n →∞
+
++
+
解：
2
21
4
12
122
2
22
2
+≤
++
++++≤
+n n
n
n n n n
n n （3分）
由
lim
lim
1n n →→== （3分）
可得
2
1n n →∞
+
+=+ （1分）
2. 4． 07-2 (本题8分)设)(x f 在),1[+∞具有连续导数，且满足方程
⎰=+-x
dt t f t x f x 1
22
1)()1()(， 求)(x f .
解： 0)()1()()(22
2=+-'+x f x x f x x xf （1分）
记 )(x f y =，易见 1)1(=y （1分） y x x y x )12(2
2
+-='
dx x
x x y dy 2212+-= （2分） C x
x x y ~
1ln 2ln +-
-= （1分） x x x
x x e x
C Ce
y 1
21
ln 2-
-
-== （1分） 由1)1(=y 可知，1=C （1分）
综合可得 x x e x
y 1
21-
= （1分）
四、证明
1．08设平面图形由曲线x
e y =及直线0,==x e y 所围成, (1)求此平面图形的面积;
(2)求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积. 2．12证明
dx x f dx x xf ⎰⎰
=
π
π
π
)(sin 2)(sin ，并求dx x
x
x ⎰
+π
23cos 1sin
3．11平面图形由抛物线x y 22
=与该曲线在点），（12
1
处的法线围成.试求： （1）该平面图形的面积；
（2）该平面图形绕x 轴旋转一周形成的旋转体体积.
4．10 平面图形D 由曲线x
e y =,直线e y =及y 轴所围成.试求： （1）该平面图形D 的面积；
（2）该平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积.
5. 09 设曲线22
++-=x x y 与y 轴交于点P,过P 点作该曲线的切线.求切线与该曲线及x 轴围成的区域绕x 轴旋转生成的旋转体的体积.
6. 05-1．计算积分⎰
++π
2
1
2sin 212sin
xdx m x n ，其中m n ,是整数. 1．解：（法一）
⎰++π
0212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 21
--++⎰π
（4分） ＝⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==-++-≠=---++++-⎰π
ππ00 ,21
]1)1[cos(21 ,0])sin(1)1sin(11[21
m n dx x m n m n x m n m n x m n m n （10分） （法二）当m n ≠时 ⎰++π0
212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 210--++⎰π
（ 4分） ＝0])sin(1)1sin(11[210=---++++-π
x m n m n x m n m n （7分）
当m n =时
⎰++π
0212sin 212sin xdx m xdx n ＝⎰⎰=+-=+π
ππ000
221])12cos(1[21212sin x dx x n xdx n ＝2
π
05-2设m n ,是整数，计算积分⎰
π
cos cos mxdx nx
3．06-1 （本题5分）设()f x 是连续函数，求证积分
2
(sin )(sin )(cos )4
f x I dx f x f x ππ
==+⎰。

解： 令,2
x t dx dt π
=
-=-
22 0
0(sin )(cos )(sin )(cos )
(sin )(cos )f x f x I dx dx f x f x f x f x π
π==++⎰
⎰
2
(sin )(cos )2(sin )(cos )24
f x f x I dx I f x f x π
ππ
+==⇒=+⎰
.
4．06-2[本题8分] 若函数0
()()()x x f x x t f t dt e =-+⎰
，求()f x .
若函数0
()()()x
x f x x t f t dt e =
-+⎰
，求()f x .
解： 0
()()()x x
x f x x
f t dt tf t dt e =-+⎰
⎰
上式两边关于x 求导数
()()()()x
x f x f t dt xf x xf x e '=+-+⎰，0()()x
x f x f t dt e '=+⎰ （1分）
()()x f x f x e ''=+ （ 2分）
记 ()y f x =，则上式是二阶常系数非齐次微分方程 ，即x
y y e ''-= （I ）
0y y ''-=的通解是*12x x y C e C e -=+，12,C C 为任意常数。

（3分）
由于1λ=是0y y ''-=的特征方程 2
10r -=的单根，所以设x y axe =是方程 （I ）的一
个特解，
于是有 x x
y ae axe '
=+与 2x x
y ae axe ''
=+
将它们代入方程（I ）得 1
2
a = （4分） 于是方程（I ）的通解为1212
x x
x y C e C e xe -=++，（II ）
这里12,C C 为任意常数.
从已知条件可求得，(0)1f =，(0)1f '=并代入方程（II ） （5分）
得1212(0)11
(0)12
f C C f C C =+=⎧⎪⎨'=-+=⎪⎩
解得 1231
,44
C C =
= （7分） 所求函数311()442
x x x
f x e e xe -=++ （8分）
1．07-1（本题10分）设直线ax y =与抛物线2
x y =所围成的图形的面积为1S ，直线
1,==x ax y 与抛物线2x y =所围成的面积为2S ，当1<a 时，
，试确定a 的值，使得21S S S +=最小。

2．07-1（本题6分）证明：()(
)
()⎰
⎰
⎰
-=10
210
][2
dx x f x x dx dy y f x x
1．解：
()()
()()()()()
()()()()()()()
62
2212
1
S 1 31
2
2312262622-2 3
10S 0,0.
0 021
2312623132 )
,()0,0( 0 62
221 10 0221
0 21312323132 S S )
,((0,0) 10 min min 23332
10202122min 2333332
1202122-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛==<∴<
+=+==
=≤≤<--='+
--=-++-=-+-=+===≤-=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=<<∴>=''=
='-='+
-=---+-=-+-=+===<<⎰⎰⎰⎰S S a a S a S S a a a S a a S a a a a a dx
ax x dx x ax S S S a a x y ax y a S S a a a S a a S a a S a a a a a a a ax
x dx x ax S a a x y ax y a a a a 时取到
的最小值在时在又的最小值为时故在时单调减小在和的交点坐标是与时当时在令和的交点坐标是与时当
2．解法一：用二重积分交换积分次序即可证得。

()[]
()()
(
)()(
)
()⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
-=-==⎪⎩⎪⎨
⎧≤≤≤≤⎩⎨⎧≤≤≤≤=dx
x f x x dy y f y y dy dx y f y y
x x x y dx dy y f I y y
x x 210
210
10
221
2
2
1
0y 10x 积分区域 解法二：用一元函数分部积分法可证得
()[]
()()()
()()()
()
()
()
()
()()()()
()()()()[]
(
)
()dx
x f x x dx dy y f dx
x f x dv v f v vdv v vf dx x f x vdv
dx v x x v dx x f x du u f u du u
u uf dx x f x du u
dx u x x u dx x f x dx x f x x f x x f x dx
x xf x f x
x dy
y f xd
dy
y f x dx dy y f x
x
x u x x
x x
x x
210
10
2
10210101021
10102210
1
0 1
0 2
102
2102
210
2
1010
10
10
2
2
2
2
221212 , , 21
22
21 2
12212221
-=∴==⋅======⋅
==
==-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡--=-=⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
→→令第二个积分令第一个积分从从。