专题05 与根的判别式有关的两种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9年级上册人教版)

专题05与根的判别式有关的两种考法
类型一、参数位置的问题例1.（二次项含参）关于x 的方程()21210m x x m -++-=，只有一个实数解，则m 的值等于（）
A ．0，2
B ．1，2
C ．0，2-，1
D ．0，2，1
【答案】D 【分析】方程()21210m x x m -++-=，只有一个实数解，则有两种情况，二次项系数为0，一次项系数不为0；二次项系数不为0时，二次方程有两个相等的实数根．
【详解】方程()21210m x x m -++-=，只有一个实数解，有两种情况：
①当10m -=时，即1m =时，方程为20x =，
∴0x =．
故1m =时，程()21210m x x m -++-=，只有一个实数解．
②当10m -≠时，方程有一个实数解需满足：Δ0=．
即()2
22410m --=．
解得：02m m ==或．
综上所述，m 的值等于0，2，1时，方程()21210m x x m -++-=，只有一个实数解．故选：D ．
【点睛】本题考查了方程根的判别式，解题的关键是分一次方程与二次方程两种情况讨论．例2.（二次项不含参）关于x 的方程2230x mx m -+-=根的情况是（
）A ．没有实数根
B ．有两个不相等实数根
C ．有两个相等实数根
D ．只有一个实数根
【答案】B
【分析】利用判别式和一元二次方程的根的关系进行判断即可．
【详解】解：根据题意得，()()()22423480m m m ∆=--⨯⨯-=-+>，
则关于x 的方程2230x mx m -+-=有两个不相等实数根，故选B ．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握0∆>，一元二次方程有两个不相等的实数根；Δ0=，一元二次方程有一个实数根；Δ0<，一元二次方程无实数根是解题的关键．
【变式训练1】若关于x 的方程210kx x --=有实数根，则k 的取值范围是（）
A．
1
4
k≥-B．1
4
k≥-且0
k≠C．1
4
k≤D．1
4
k≤且0
k≠
【答案】A
【详解】解：当k=0时，方程化为-x-1=0，解得x=-1；
当k≠0时，根据题意得Δ=（-1）2-4k×（-1）≥0，解得k≥-1
4且k≠0，
综上所述，k的取值范围为k≥-1 4．
故选：A．
∴40m +>．
∴4m >-．
当0m =时，一元二次方程22240x mx m -+-=可化为240x -=，
解得：122,2x x ==-．
【点睛】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程的根的情况之间的关系是解题的关键．
【变式训练4】若方程2210x x m --+=没有实数根，试判断方程()22210x m x m -+++=根的情况并说明理
由．
【答案】方程()22210x m x m -+++=有两个不相等的实数根，理由见解析
【分析】由方程()22210x m x m -+++=没有实数根，可求出0m <，进而可得出方程()22210
x m x m -+++=的根的判别式0∆>，然后根据判别式的意义得出结论．
【详解】解：方程()22210x m x m -+++=有两个不相等的实数根，
理由：∵方程2210x x m --+=没有实数根，
∴()()2
24110m ∆=--⨯⨯-+<，
解得：0m <，
∴方程()22210x m x m -+++=的根的判别式()()22241210m m m m ∆=-+-⨯⨯+=-4>⎡⎤⎣⎦，
∴方程()22210x m x m -+++=有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了根的判别式的意义，牢记“①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；③当Δ0<时，方程无实数根”是解题的关键．
类型二、分情况讨论（是否是二次方程）
例1.m 为何值时，关于x 的方程()()22350mx m x m ++++=有唯一的根，并求这个根．
【答案】当m ＝0时，53x =-；当m ＝98
时，73x =-【详解】解：①当m ＝0时，原方程是一元一次方程，
∴350x +=，解得53
x =-；②当m ≠0时，原方程是一元二次方程，
由题意知，()()223450m m m -=++= ，解得98
m =，
∴2921490848
x x ++=，解得73x =-；综上所述，该方程的根为53x =-或73
x =-．例2．（不需要讨论）关于的一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）
：①若b a c =+，则方程必有两个不相等的实数根；②若32b a c =+，则方程必有两个不相等的实数根．正确的是（
）．【答案】②
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可．
【详解】解：①()()222440b ac a c ac a c ∆=-=+-=-≥，则方程有两个不相等或相等的实数根，即①错误；①()()2222224324940b ac a c ac a c ac a c a ∆=-=+-=+4+8=++5>，则方程必有两个不相等的实数根，故②正确．故答案为②．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，有两个不同的实根；当判别式等于0时，有两个相同的实根；当判别式小于0时，无实根．
【变式训练1】已知，关于x 的一元二次方程2420kx x -+-=．
(1)k 取何值时，此方程有两个不相等的实数根？
(2)如果此方程的一个根为1x =-，求k 的值和另一个根．
【答案】(1)2k >时，方程有两个不相等的实数根；(2)6k =-，另一个根为
13
【解析】(1)解：∵a k =-，4b =，2c =-，
∴()()224442168b ac k k -=-⨯-⨯-=-．1680k ->，解得2
k >所以，当2k >时，方程有两个不相等的实数根．
(2)解：把1x =-代入原方程得：420k ---=，解得：6k =-．
设另一个根为2x ，则221163x --⨯==-，即213
x =，所以方程的另一个根为13．【变式训练2】已知关于x 的一元二次方程2(21)20x k x k -++=．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）记该方程的两个实数根为1x 和2x 若以1x ，2x ，3为三边长的三角形是直角三角形，求k 的值．
【答案】（1）见解析；（2或102
．
【解析】（1）证明：2Δ[(21)]42k k =-+-⨯ 24148k k k =++-2441k k =-+2(21)0k =-，∴无论k 取何值，方程总有两个实数根．
（2）解：2(21)20x k x k -++= ，(2)(1)0x k x ∴--=．12x k ∴=，21x =．
以1x ，2x ，3为三边长的三角形是直角三角形，0k ∴>．
当3为斜边时，则222(2)13k +=，解得k =
．
当2k 为斜边时，则222(2)13k =+，解得2
k =．
综上所述，k 或102
．【变式训练3】已知关于x 的方程2210x x a +-+=没有实数根，试判断关于y 的方程21y ay a ++=实数根的情况，并说明理由．
【答案】一定有两个不相等的实数根．理由见解析．
【分析】根据关于x 的方程2210x x a +-+=没有实数根，求出a 的求值范围；再表示关于y 的方程21y ay a ++=，()()2
22412a a a ∆=--=-，即可判断该方程根的情况．【详解】解：∵方程2210x x a +-+=没有实数根，
()144140a a ∴∆=--+=<，
<0a ∴，对于关于y 的方程21y ay a ++=，
()()2
22412a a a ∆=--=-，
0a < ，()2
20a ∴->，即20∆>，
∴方程21y ay a ++=一定有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题关键．课后作业
1．关于x 的一元二次方程2244m x mx -=-的根的情况是（）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．根的情况与实数m 的取值有关
【答案】B 【分析】把方程化为一般式，然后计算判别式的值，即可得到解答.
【详解】解：∵方程化为一般式为22440m x mx -+=，
则2222(4)4416160m m m m ∆=--⨯⨯=-=，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B ．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的求法及应用是解题关键．
2．已知a ，b ，c 为常数，点(),P a c 在第四象限，则关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根的情况为（）
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法判定【答案】B
【分析】由点(),P a c 在第四象限，可得0a >，0c <，可得240b ac ∆=->，从而可得答案．
【详解】解：∵点(),P a c 在第四象限，
∴0a >，0c <，∴方程20ax bx c ++=的判别式240b ac ∆=->，
∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根．
故选：B ．
【点睛】本题考查的是坐标系内点的坐标特点，一元二次方程根的判别式，熟记第四象限内点的坐标特点为：(),+-以及根的判别式的含义是解本题的关键．
3．已知关于x 的一元二次方程()2330x m x m -++=，若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的
两根，则m 的值为（
）A ．3
B ．4
C ．3或4
D ．不能确定
【答案】C 【分析】分两种情况：当腰为4时，当底为4时，解方程即可得到结论．
【详解】解：当腰为4时，
把4x =代入()2330x m x m -++=得，
1641230m m --+=，
解得4m =；
当底为4时，则方程()2 3 30x m x m -++=有两相等的实数根，
∴()224=3430b ac m m ∆=-+-⨯=，
∴() 2
30m -=，
解得3m =，
综上所述，m 的值为4或3．
故选：C ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、解一元二次方程以及根的判别式：一元二次方程2) 0(0 ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．4．在平面直角坐标系中，若直线y x k =-+不经过第三象限，则关于x 的方程20x x k --=的实数根的情况为（）
A ．无实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．无法确定【答案】C
【分析】由直线解析式求得k ≥0，然后确定Δ的符号即可．
【详解】解∶ 直线y x k =-+不经过第三象限，
0,
k ∴≥2(1)4()141,
k k ∴∆=--⨯-=+≥∴关于x 的方程20x x k --=的实数根的情况为有两个不相等的实数根，
故选：C ．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，根的判别式∶一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系∶当∆>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．
5．已知关于x 的一元二次方程260x x c ++=的一个根是1x =，则方程260x x c +-=的根的情况是（
）
A ．没有实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．有一个根是1
x =【答案】C 【分析】先将1x =代入260x x c ++=中求出7c =-，则一元二次方程260x x c +-=化为2670x x ++=，然后计算此方程的根的判别式的值，再根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：把1x =代入260x x c ++=得160c ++=，解得7c =-，
则一元二次方程260x x c +-=化为2670x x ++=，
∵2641780-∆=⨯⨯=>，
∴一元二次方程260x x c +-=有两个不相等的实数根．
故选：C ．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．
6．若1x =是一元二次方程220(0)ax bx a -+=≠的一个根，那么方程220ax bx ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根
B ．有一个根是=1x -
C ．没有实数根
D ．有两个相等的实数根
【答案】B
【分析】先将1x =代入220(0)ax bx a -+=≠中得到20a b -+=，再根据一元二次方程根的判别式进行求解即可得出结论．
【详解】解：∵1x =是一元二次方程220(0)ax bx a -+=≠的一个根，
∴20a b -+=，即2b a =+，
对于方程220ax bx ++=，
∵242b a ∆=-⨯()228a a =+-()220a =-≥，∴方程220ax bx ++=有两个实数根，故选项A 、C 、D 错误，不符合题意；
当=1x -时，2220ax bx a b ++=-+=，即=1x -是方程220ax bx ++=的一个根，故选项B 正确，符合题意，故选：B ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式，解答的关键是理解一元二次方程的解的意义，掌握一元二次方程20ax bx c ++=根的情况与根的判别式24b ac ∆=-的关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．
7．关于x 的方程2(1)0x m x m +--=（其中m 是实数）一定有实数根吗？为什么？
【答案】一定有；理由见解析
【分析】根据根的判别式进行判断即可．
【详解】解：关于x 的方程2(1)0x m x m +--=中，
∵1a =，1b m =-，c m =-，
∴()()()22
241410b ac m m m ∆=-=--⨯-=+≥，
∴方程一定有实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．
8．已知关于x 的一元二次方程()230x m x m ---=．
(1)求证：无论m 为何值，方程有两个不相等的实数根．
(2)如果方程有一个实数根为0，求另一个实数根．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)方程的另一个实数根为3
x =-【分析】（1）运用根的判别式即可求解；
（2）把一个实数根为0代入方程，可求出m 的值，再根据解一元二次方程的方法即可求解．
【详解】（1）证明：关于x 的一元二次方程()230x m x m ---=中，1,(3)3,a b m m c m ==--=-=-，
∴224(3)41()b ac m m ∆=-=--⨯⨯-，整理得，2229(1)80m m m ∆=-+=-+>，
∴无论m 为何值，方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵方程有一个实数根为0，
∴20(3)00m m --⨯-=，解得，0m =，
∴原方程得，230x x +=，
因式分解得，(3)0x x +=，
∴10x =，3x =-，
∴方程的另一个实数根为3x =-．
【点睛】本题主要考查一元二次方程中根的判别式，根据根的情况求参数的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
9．关于x 的方程()21230k x kx k --+-=有实数根，求k 的取值范围．。