山东省济南外国语学校2015-2016学年高二下学期开学质量检测数学(文)试题

高二数学（文）试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、双曲线2
214
x y -= 的渐近线的方程为（ ）
A 、y x =±
B 、2
x
y =±
C 、2y x =±
D 、4y x =± 2、下列有关命题的说法错误的是（ ）
A 、命题“若2320x x -+= 则x=1”的逆否命题为“若1x ≠- ，则2320x x -+≠ ”
B 、若p^q 为假命题，则p 、q 均为假命题。

C 、“x=1”是“2320x x -+= 的充分不必要条件”。

D 、对于命题p ：0x R ∃∈ 使得20010x x ++< ，则:,p x R ⌝∀∈ 均有210x x ++≥ 。

3、已知椭圆22
1102
x y m m +=-- ，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ）
A 、4
B 、8
C 、14
D 、38
4、“m>n>0”是“方程2
2
1mx ny += 表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ） A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件
5.若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形.
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
6.在R 上定义运算:2a b ab a b ⊕⊕=++，则满足(2)0x x ⊕-<的实数x 的取值范围为（ ） A.(0,2) B.(2,1)- C.),1()2,(+∞--∞ D.(1,2)-
7.在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠，若12345m a a a a a a =，则m =( ) A.9 B.10 C.11 D.12
8.设变量x 、y 满足110x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则2x y +的最大值和最小值分别为（ ）
A.1，-1
B. 2，-2
C.1，-2
D.2，-1
9.已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项， n S 为{}n a 的前n 项和，则10S =（ ）
A.-110
B.-90
C.90
D.110
10.设n S 是公差为(0)≠d d 的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误．．的是（ ） A.若0<d ，则数列{}n S 有最大项 B.若数列{}n S 有最大项，则0<d
C.若数列{}n S 是递增数列，则对任意的*∈n N ，均有0>n S
D.若对任意的*∈n N ，均有0>n S ，则数列{}n S 是递增数列
第Ⅱ卷
二、填空题，本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.若函数1
()(2)2
f x x x x =+
>- 在x a =处取最小值，则a = 12.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，a =
，b =，12cos()0B C ++=，则
边BC 上的高为 .
13、抛物线211:(0)2C y x p p => 的焦点与双曲线2
22:13
x C y -= 的右焦点的连线交1C 于第一象
限M ，若
1
C 在点M 处的切线平行于
2
C 的一条渐近线，则p=
14.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次；派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元；该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为
15.若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2
21(0)y a a
-=> 的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上
的任意一点，则OP FP ⋅的取值范围为
三、解答题，本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

16、（本小题满分12分）已知4:|
|2,:(1)(1)0,(0),3
x
P q x m x m m -≤+---≤> 若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围。

17、（本小题满分12分）已知ABC ∆的面积是30，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且12cos .13
A = （Ⅰ）求A
B A
C ⋅；
（Ⅱ）若1c b -=，求a 的值.
18、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*585,.n n S n a n N =--∈ （Ⅰ）证明{1}n a -是等比数列；
（Ⅱ）求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n .
19、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>> ，右焦点为，
斜率为1的直线l
与椭圆G 交于,A B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点
为(3,2).P -
（Ⅰ）求椭圆G 的方程； （Ⅱ）求PAB ∆的面积.
20、（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1*(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S .
21、（本小题满分14分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>> 的焦点在x 轴上，以椭圆右顶点为焦
点的抛物线的标准方程为2
16y x =。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）如果动直线
l
的斜率为，且与椭圆C 交于不同的两点,M N
，已知(Q ，求QM QN ⋅的最小值。

答案： 一、选择题
BABCC BCBDC 二、填空题
11、3 12
、4900 15
、)
3⎡++∞⎣ 三、解答题
16、由
4:|
|2210;3x
P x -≤⇒-≤≤ :(1)(1)011q x m x m m x m +---≤⇒-≤≤+
因为p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，所以q 是p 的必要而不充分条件；
所以12
9.110m m m -≤-⎧⇒≥⎨
+≥⎩
17、由12cos 13A =
，得5
sin 13A ==；又1
sin 30,156;2
S bc A bc ==∴=
（Ⅰ）12
cos 156144.13
AB AC c b A
⋅=⋅⋅=⋅
= （Ⅱ） 5.a ==
=
18、（Ⅰ）1n =时，1111158514;a S a a ==--⇒=-
又由*585,n n S n a n N =--∈②，可得11(1)585n n S n a ++=+--①； ②-①得1115()n n n a a a ++=--，即*15
1(1),;6
n n a a n N +-=
-∈ {1}
n a ∴-为等比数列，首
项
为
1115
a -=-，公比
56
q =
；
1155
115(),15() 1.66
n n n n a a --∴-=-⋅=-⋅+
15
15[1()]
5556(151)[15()1][15()1]90[1()].566616
n n n n S n n --⋅-∴=-++-⋅++⋅⋅⋅+-⋅+=
+=-⋅-+- （Ⅱ）由1n n S S +>得10n a +>，即551
15()10,();6615
n n -⋅+>∴<
解得log(15)
14.8532log(5)log(6)
n ->
≈-，从而min 15.n =
19、
（Ⅰ）由已知得222
4;
c
c a b a c a ==⇒=∴=-=
所以椭圆G 的方程为22
1.124
x y +=
（Ⅱ）设直线
l
的方程为,y x m =+由⎪⎩⎪
⎨⎧=+
+=14
122
2y x m x y 得22463120,x mx m ++-=
设112212(,),(,)(),A x y B x y x x <AB 的中点为00(,),E x y 则120003,244
x x m m
x y x m +=
=-=+=，因为AB 是等腰PAB ∆的底边，;PE AB ∴⊥ 所
以PE 的斜率2412,334
m k m m -
=
=-⇒=-+
此时24120,x x +=解得
123,0,x x =-=121,2;y y ∴=-=
所以AB =此时，点(3,2)P -到直线02=+-y x 的距离,2
2
32
|
223|=
+--=
d 19||.22
PAB S AB d ∆∴=
⋅= 20、（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则111
336
3,1,4.8284n a d a d a n a d +=⎧⇒==-∴=-⎨+=-⎩
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1n n b n q -=⋅；（1）当1q =时，则(1)
123;2
n n n S n +=++++=
（2）当1q ≠时，0121123n n S q q q n q -=⋅+⋅+⋅+
+⋅①；
将上式两边同乘以q 得：12112(1)n n n q S q q n q n q -⋅=⋅+⋅++-⋅+⋅②；
①-②得11
2
1
1(1)1(1)1;11n n n n n
n
n q nq n q q S q q q
n q nq q q
+---++-=+++
+-⋅=-=--
于是12
(1)1.(1)n n n n q n q S q +⋅-+⋅+=-综合（1）（2）得12(1)12.(1)11(1)n n n
n n q S nq n q q q ++⎧
=⎪⎪
=⎨-++⎪≠⎪-⎩
21、（Ⅰ）设),0,(),0,(),,(2100c F c F y x P -则由;4
7
27||2
020=+=y x OP 得 由4321=
⋅PF PF 得,43),(),(0000=--⋅---y x c y x c 即.4
322
020=-+c y x 所以c=1;又因为.1,2,2
22
2===b a a c 所以因此所求椭圆的方程为：
.1222=+y x （Ⅱ）动直线
l
的方程为：,31-=kx y 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=+-=,
12
,3122y x kx y 得22416
(21)0.39k x kx +--=
设).,(),,(2211y x B y x A 则.)
12(916,)12(3422
1221+-=+=
+k x x k k x x 假设在y 轴上存在定点M （0，m ），满足题设，则
1122212121212122
121212*********(,),(,).
()()()1111
()()()3333121
(1)()()339
16(1)14()9(21)33(21MA x y m MB x y m MA MB x x y m y m x x y y m y y m x x kx kx m kx kx m k x x k m x x m m k k k m k k =-=-⋅=+--=+-++=+----+-+=+-+++++
+=--+++2222221)3918(1)(9615)9(21)
m m m k m m k +++-++-=
+
由假设得对于任意的0=
⋅⋅∈R k 恒成立，即2210,96150,
m m m ⎧-=⎪
⎨+-=⎪⎩解得m=1。

因此，在y 轴上存在定点M ，使得以AB 为直径的圆恒过这个点，点M 的坐标为（0，1）。