第23讲 游戏必胜策略

小升初面试第二阶段数学课程--游戏必胜的策略
第一部分思维提升（45分钟）
我国古代有一个“田忌赛马”的故事；齐王经常要求将军田忌和他赛马。

规定各从自己的马中选上等马、中等马、下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马。

每胜一场可得一千金。

田忌的这三个等级的马都不如齐王的好。

但田忌的上等马要优于齐王的中等马，田忌的中等马要优于齐王的下等马。

田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马。

结果，田忌先负一场然后连胜两场，反而赢了一千金。

这个故事是对策的一个典型例子。

他告诉我们：在竞争时，要认真分析研究、寻求并制定尽可能好的方案。

利用它取得尽可能大的胜利，或在胜利无望的时候，也不至于输得太惨。

这种思想在20世纪形成了对策论这门新兴学科。

下面我们就根据这个理论来想一想对策：
例1、两个人轮流数数，每个人每次可以数1个、2个、3个，但不能不数。

例如第一个数1、2，第二个接着往下数3，也可以数3、4，还可以数3、4、5,。

如此继续下去，谁先数到100，谁就算胜。

请试一试，怎样才能获胜？
分析：要抢到100，必须抢到96.这时另一个人只能数97或97、98或数97、98、99，无法数到100。

如何才能抢到96呢？有必须抢到92.以此类推，得到一列数92、88、84、 (4)
只要抢到这些数中的任何一个，然后当对方报a个数时（1≤a≤3）时，就报（4-a）个数，这样就能抢到这个数列中的上一个数，直到抢到100.
但无论第一个人报什么数，第二个人都可以抢到4n（n=1、2…）因此第二个人就有必胜的策略。

只有在第二个人产生错误时，第一个人才能获胜。

思考：如果将100改为101或99，其他条件都不变，先数的人能否获胜呢？（是否还是抢4呢？）
例2、有两堆火柴，一堆16跟，一堆11跟。

甲乙两人轮流从中拿走1根或几根甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根谁取胜，问甲如何才能取胜？
分析：这是另一类对策游戏。

我们先考虑特殊情况。

当两堆中的火柴根数相同时，后取者只要根据先取者的取法，在另一堆中取相同的根数，就能保证取到最后一根。

对一般情况可以化为特殊情况。

解：甲从16根的那堆中先取出16-11=5根，是两堆火柴根数相同。

然后每次根据对手取得根数在另一堆中取相同的根数，是两堆火柴根数保持相等，直至取到最后一根火柴而获胜。

说明：当乙先取时，如果他不知道获胜的策略，那么甲可以利用已的错误取胜。

例3、一张3×10的长方形网格纸有30个小方格。

甲乙两人轮流用剪刀沿方格纸直线剪一刀。

（只能沿直线剪，否则为输）甲将一份分为两份，选送一份给乙；乙按要求剪一刀后，选一份再送给甲……如此重复进行，谁送给对方一个方格，谁就获胜。

甲要想获胜，有何策略？
分析：送给对方一个正方形的方格纸，这时后剪的都可以使图形再变成（更小的）正方形，知道取胜为止。

解：甲先剪下7×3的一块，把3×3的那块送给乙。

乙只能剪成1×3和2×3的两块。

若送给甲1×3的那块，正好使甲剪下1×2而获胜。

若送给甲2×3的那块，那么甲再一刀剪成1×2和2×2的两块，把2×2的送给乙。

乙只可能切成1×2的两块。

其中一块送给甲，甲还是获胜。

同学们，这种方法你考虑到了吗？你会不会再遇到问题时，先动脑筋想办法。

例4、甲乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数。

游戏规则：不允许写黑板上已写过的数的约数。

轮到谁无法写数时，就是输者。

现甲先写，乙后写，问谁能获胜？需要什么对策？
分析：仍然利用对称原理。

抢先给对方制造一个对称。

只要甲先写6.
解：甲先写6。

乙还有4、5、7、8、9、10六个数可以选择。

把他们分成三组（4,5）、
（8,10）、（7,9）。

乙写某组数中的一个时，甲就写同组数中的另一个，从而一定获胜。

例5、在4×4的方格纸上有一粒石子，它放在左下角的方格里。

甲、乙二人玩游戏。

由甲开始，二人交替地移动这粒石子。

每次只能向上、向右或向右上方移动一格。

谁把石子移到右上角谁胜。

问甲要取胜的策略是什么？
解：要占领右上角必须先占领图中打点的格子，甲先走入打点的格子，
乙无论如何走，甲都可以再走入打点的格子，甲一定胜。

巩固练习：
1、甲乙两人轮流报数，每次报的数必须是1至8之内的自然数。

把两人报的数逐次相加，谁正好使和达到88，谁就获胜，甲欲取胜，有何策略？
2、桌面上有1999根火柴，甲甲乙两人轮流的取1根或2根，谁取到最后一根火柴谁获胜。

问获胜的策略是什么？
3、有两个箱子分别装有63、108个球。

甲乙两个轮流在任意箱中取球，规定取得最后一个球的为胜。

甲先取，他应如何取才能取胜？
4、现有三堆火柴，分别为3、
5、8根。

两人轮流取，每次可以取走其中的一堆，也可以取走一堆中的若干根（一次不能从两堆中取，最少要取一根）。

谁取到最后一根或一堆，谁获胜。

先取的人要保证获胜的策略是什么？
5、把16枚棋子排成一行。

甲乙二人轮流取走棋子，每人每次可以取走紧挨着的两枚（如果两枚棋子当中已经有其他棋子被取走，就不算紧挨，就不能同一次取走）如果在甲取走棋子后，乙再也找不到紧挨着的两枚棋子可以取，甲获胜。

甲有获胜办法吗？
第二部分 学科知识（15分钟）
统计与可能性
1.什么叫中位数、众数、平均数？常见的统计图有哪些？说说其各自的优点。

2.有一组数据：4、4、2、4、6、4、2、10、4、6、4、4。

这组数据的平均数是（ ），中位数是（ ），众数是（ ）。

3.一组数据：42,44,44,46,48,48,48,48,50,51,51，56。

这组数据的平均数是（ ），中位数是（ ），众数是（ ）。

4.把数字4、5、6分别写在三张卡片上，任取两张卡片摆放成两位数，是奇数淘气赢，是偶数笑笑赢。

笑笑赢得的可能性是（ ）。

5.在一个装有2个黄球和2个红球（它们除颜色外完全相同）的袋子中摸2个，摸到2个都是红球的可能性是（ ）。

6.对于数据3,3,2,3，，6，3，10,3,6,3,2。

以下的结论正确的是（ ）。

A.这组数据的众数是3 B.这组数据的众数与中位数不同 C.这组数据的中位数与平均数相同 D.这组数据的众数与平均数相同
7.抛3次硬币，有2次正面向上，1次反面向上。

请问：第4次抛硬币正面向上的可能性是（ ）。

A.
21 B.41 C.31 D.4
3
（1）这组数据的平均数是（ ），中位数是（ ），众数是（ ）。

（2）你认为用（ ）来表示这组数据的一般水平更合适。

（3）如果再增加一名同学H 的成绩20.4m ，这组同学的中位数是（ ）。

9.广州某学校图书馆为增大学生的阅读量，人均占有的图书册数逐年增加，该校2006年至2009年每年的学生总人数和人均占有图书册数的统计结果分别如下图：
（1）该校2006年有学生（）人，每人拥有图书（）册。

（2）该学校图书馆2009年共有图书（）册。

（3）该学校图书馆2008年图书总册数比2007年增加（）册。

10.下图是根据某校四、五、六年级学生，在“献爱心”捐款活动中，学生自愿捐款情况制成的条形统计图和各年级学生人数扇形统计图。

四年级五年级六年级年级（1）若该校四、五、六年级共有1600名学生，四、五年级分别有多少名学生？
（2）六年级学生共捐款多少元？。