《创新设计》数学一轮(文科)苏教(江苏专用)第四章三角函数、解三角形4-6

•第6讲
正弦定理、余弦定理及解三角形
考试要求1.正弦定理、余弦定理，简单的三角形度量问题，B
级要求；
2.运用定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实
际问题，B 级要求.
基础诊断梳理自测，理解记忆
•知识梳理• 1.正、余弦定理
• 在△4BC 中，若角4, B, C所对的边分别
是a, b, c, R为厶ABC外接圆半径，贝U
定理
内容
续表
常
见
变
形
Ill abc
2・
S/\ABC=^ab sm
C=2^csin A=^acs\n B = ~^
㊁(o + b+c)•厂(r
是三角形内切圆的半径），并可由此计算R,
• 3.实际问题中的常用角
• (1)仰角和俯角
• 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线
的夹角，因标视线在水平视线___叫仰角，
目标视线在水平视线__叫俯角(如图1)・
北
•诊断自测• 1.思考辨析(在括号内打“广或“X”)
(1)在厶ABC中，A>B必有sinA>sin J B. Q )
⑵在厶ABC中,a=羽,b=
迈,B=45。

,则A = 60。

或120。

处) (3) 从A处望3处的仰角为6t,从3处望A处的俯角为0,则
a, 0 的关系为
(z+0=18O 。

.
(X )
(4) 方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标
■ \
点之间的位置关系，其范围均是［o,苏
(x)
2・（2014-江西卷改编）4 A ABC中，内角4, B, C 所对的边分别
是 a, b.
c・若3a = 2b,则
2sin2B—sin2A
sin2A
的值为
____
解析
由正弦定理知,
2sin2B —sin2A 2b2—a2
2日7,又知3a = 2b,所以仙|，
2sin2B-sin2A (3} ^4=2x[j
7
7
答案
3. （201牛福建卷）在厶ABC 中，A = 60°, AC=2, EC=书，则
AB等于
______.
• 解析由余弦定理得BC2 = AC2 + AB2-
2AC ABcos
A ,即3
二 4 + 4房-2AB ,即4呼・
24B+1二0.解得4B 二1.
• 答案1.• 4.（苏教版必修
5P10T4⑵改编）在△ABC中,
dcos4=b cos B,则这个三角形的形状为
解析——bb ■正弦定理，得sin Acos A = sin Bcos B,
BP sin2A = sin 2B,所以2A=2B或24=兀一2瓦
7T
即 A=B
或
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
答案 等腰三角形或直角三角形
• 5. 一艘海轮从4处出发，以每小时40海里的
速度沿南偏东40。

的方向直线航行，30分钟
后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A处观
察灯塔，其方向是南偏东70°,在8处观察灯
塔，其方向是北偏东65°，那么C两点间
的距离是____海里.
解析如图所示，易知，在厶ABC中，
AB = 20
海里，ZCAB = 30°, ZACB
45°,根据正弦定理得
AB
sin 45。

，
解得BC=10边（海里）.
BC
sin 30°
答案详
考点突破分类讲练，以例求法
•考点一正、余弦定理的简单运用
•【例1】在AABC 中，角A, B, C 的对边分别
屯箔b=&, 4=45。

，贝＞
Jc=______.
(2)若(Q + Z? + c)(Q — Z? + C)= QC,贝 ijB =_________・
• 深度思考 已知两边及其中一边所对的角
求另一边可采用正弦定理也可用余弦定理来
解决，不妨两种方法你都体验一下吧！
解析 ⑴法一 在△4BC 中，由正弦定理得sin 5 = ^^=
2书=□
因为bVo，所以B<A,所以B = 30°, C=180°-A —B= 105°, sin C=sin 105° =
sin(45°+60°) = sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60。

=^丁边
asin C
sin A
2仲十
=+ 3.
2
法二在ZVIBC中，根据余弦定理可得a=b2+c2-2bccos A,即；一2羽c —6=0,所以。

=羽±3.因为c>0,所以c=书+3.
(2)因为(d+b + c)(d —b+c) = oc,所以«2+c2—b2=—ac.
、
、
«2+c2—b2 1
由余弦定理的推论得cos B=応 =—㊁，
2兀
因为
0<B<7T,所以B=-y・
答案⑴3+书
•规律方法（1）在解有关三角形的题目时,要有
意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理
都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，-
般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式
,要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有
角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理
;以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都
有可能用到.
•⑵解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制・
【训练1】（1）在△ABC中，内角儿B, C 的对边分别为°, 4
C,且2『
=2/+2/+°4则厶ABC 的形状是_____三角
形（填“钝角”或“锐角”）.
（2）（2014-绍兴模拟）在厶ABC 中，4 = 60。

，b=l, S^ABC=
o + b+c
sin A + sin B+sin C
解析 ⑴山2(?2 = 2/ + 2/?2+°4 得a2 + Z?2—c2— — \abi 所以
2 1/2 2
_ a -vo —c cos C^—
~~7
2ab
—*ab。