弹性力学讲义-第2章(b)

几何形状—柱形体 很长
面力、体力--在柱面上受有平
行于横截面而且不沿长度变化
内在因素和外来作用都不沿长 度变化。
如挡土墙, 涵洞或隧道, 压力圆柱管,辊轴
挡土墙或重力坝
压力圆柱管
涵洞
长圆柱形辊轴
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
平面应变问题 柱形体 很长 任一横截面都可以看作是对称面
平面应变问题 （一）

A
y
B
y
u u dy y
x
v v dx x
§2-4 几何方程 刚体位移 0
一点的应变位移 关系——正应变
u P
u u dx
dx A x
v P
dy
线段PA正应变
B
v v dy

A
x

u

u dx x
dx
u

u x
y
y
B
u u dy y

...
f
(n) ( x0 n!
)
(x

x0
)n
Rn (x)
x

x
x
dx
1 2 x
2! x2
dx2

简化为
x

x
x
dx
略去二阶及 更高阶微量
静力平衡微分方程公式推导
1. 考虑了正负x,y 面上应力增量
2. 公式推导以正的 物理量表示
3. 应力和体力应乘 以其面积和体积， 得出合力
问题简化
平面问题 [特殊形状 + 特殊外力（约束）] 平面应力问题 平面应变问题
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
平面应 力问题
/2
/2
几何形状—等厚度薄板 外 力—
面力 体力
平行于板面并且 不沿厚度变化
例如深梁,以及平板坝 的平板支墩等
附1
应力、应变和位移
正应力σ
x y z
正应变
y
xy x
dy
dx
过中心C平行z 轴列力矩的平衡方程： y
y

y y
dy
MC 0

xy

xy
x
dxdy 1
dx 2

xydy 1
dx 2


yx

yx
y
dy dx 1
dy 2

yxdx 1
dy 2

0
上式，引用§1-3，第(5)个基本假定——小变形假定！
x y z
位移
切应力τ
xy yz zx yx, zy , xz
切应变
xy yz zx
u vw
附1
应力、应变和位移
应力 x y z
xy yz zx 应变
x y z
xy yz zx
位移
u vw
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
v v0 x
x
0Z


x
y
x2 y2
平面应变问题 （二）
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
平面应变问题
柱形体 很长 任一横截面都可以看作是对称面 位移 w 0, u, v 平面位移问题
应变
z 0, zx zy 0, x , y , xy
应力 zy yz 0 zx xz 0
M Q
M+ MM Q
M z Q x
xy
M z x
y dy f (x) I
Q y2 f (x)
dx
I2
[ ]xy
y


h 2
0

Q
1
h
2


f
(x)

0
I 22
f (x) Qh2 8I
xy

Q 8I
h2 4y2
平面应力问题 薄板厚度
由于板很薄,外力 薄板上下面 又不沿厚度变化
z z 0
/2
/2
2
zy z 0 2
z 0 zy 0
zx z 0 2
zx 0
切应力互等
yz 0 xz 0
只剩平行于x y面的三个应力分量: x , y , xy
x

u x
y

v y

xy

v x

u y
位移分量完全确定时,应变分量即完全确定
反之,当应变分量完全确定时,位移分量却不能完全 确定。（加三个适当的约束条件可以确定）
§2-4 几何方程 刚体位移
当应变分量完全确定时,位移分量不能完全确定的说明：
试命应变分量等于零,即 x y xy 0 求位移
§2-2 平衡微分方程
静力平衡微分方程公式推导
过中心C平行z轴列力矩的平衡方程 MC 0 ：
移项

xydydx

xy
x
dydxdx
1 2

xydydx
1 2


yxdxdy

yx
y
dydxdy
1 2

yxdxdy
1 2
§2-2 平衡微分方程
yx
C fy
y
fx

x

x x
dx

yx

xy yx
y
xy x
dy
dx

y

y y
dy


x

x
x
dx
dy
1


x
dy
1


yx

yx
y

dydx1 yxdx1
fxdxdy1
0
§2-2 平衡微分方程
x, y, xy, z
因此，只剩下平行于x y 面的三个形变分量！
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
平面应变问题——
只有平面应变分量存在
x，
y
，
x
，
y
且仅为x，
y 的函数的弹性力学问题。
平面问题思考题：
1.设有厚度很大（即z向很长）的基础梁放置在地 基上，力学工作者想把它近似地简化为平面问题 处理，问应如何考虑？
4. 连续性、小变形 假设
o
x
xy yx
y
x
C fx

x

x
x
dx
fy
xy

xy
x
dx

y

y
y
dy

yx

yx
y
dy
y
§2-2 平衡微分方程
静力平衡微分方程公式推导
o
x
xy x
yx
C fy
y
fx

x

x x
dx

yx

xy yx
y
yx
dy


xy yx
xy
x dy
y
dx
作用在体积中心
x方向 dx y方向 dy z方向设为
1
§2-2 平衡微分方程
平均正应力或切应力的增量
可用泰勒级 数表示为：
f (x)
f (x0 )
f (x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x

x0
)
2
u u0, v 0
uo代表物体沿x方向的刚体平移
（2） 当 0, u0 0 , v0 0 时
u 0, v v0
vo代表物体沿y方向的刚体平移
§2-4 几何方程 刚体位移
刚体位移
应变分量等于零时的位移
u u0 y
（3）当只有ω不为零时
u2 v2 y2 x2
静力平衡微分方程公式推导
以x 轴为投影轴,列出投影的平衡方程 Fx 0
上式约简后，得 平衡方程:
由 Fy 0 得相
似的微分方程：
x
x

yx
y

fx

0
y
y

xy
x

fy

0
平面问 题的平 衡微分 方程
（2-2）
对于上述平衡徽分方程，应强调说明几点：
1. 平衡微分方程表示任一点(x, y) 的平衡条件，(x, y) 属 于平面域A，所以也代表 A 中所有点的平衡条件。
6. 由于 xy ，以yx后只作为一个独立未知函数处理。因
此，2个独立的平衡微分方程 (2-2) 中含有3个应力 未知函数。
7. 弹性力学对平衡条件的考虑是严格和精确的。
例题分析1
(2-1)在材料力学中,矩形截面梁弯曲时的正应力公式为
x

Mzy bh3 12
试用弹性力学平衡微分方程式,求横截面上的切应力公式。

3Q 2bh3
h2 4y2
§2-4 几何方程 刚体位移
考虑平面问题的几何学方面,导出应变分量 与位移分量之间的关系式,也就是平面问题中
的几何方程。
§2-4 几何方程 刚体位移
一点的变形
取任意一点 P
x方向线段PA=dx y方向线段PB=dy
0 u
P v P
u u dx
A x

B
v v dy
2.平面问题的求解只需考虑xy面上的各个分量， 原因是另外一个方向上任何分量都为零。（对错 判断 ）
§2-2 平衡微分方程
在弹性力学里分析问题,要从三方面来考虑: 静力学方 面、几何学方面和物理学方面。
首先考虑平面问题的静力学方面,根据平衡条件来导出 应力分量与体力分量之间的关系式,也就是平面问题的
x
x

yx
y

fx

0
y
y

xy
x

fy

0
h
I bh3
b
12
解：
弹性力学中的平衡微分方程（假定体力为零）为
x yx 0
x y
xy
x dy f (x)
x


M z x

y I
dy

f
(x)
bh3 I
12
x
v v dx x
和PB的正应变
y

v y
问题
试证明图中y方向的位移v 所引起的线段PA
的伸缩是高阶微量。
一点的应变位移关系——切应变
求线段PA与PB之间的直角的改变, 也就是切应变 xy,用位移分
量来表示。



v

v x
dx


v

v

dx
x


弹性力学讲义
第二章 平面问题的基本理论
——by Chen ping
第二章 平面问题的基本理论
本章主要内容
平面应力和平面应变问题的概念 平衡微分方程、几何方程、物理方程的建立 边界条件和圣维南原理 按位移和按应力求解平面问题。
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
空间问题 （空间物体 + 空间力系）
u 0 x
u f1( y)

v x

u y

0
v 0
y
v f2(x)
df1( y) df2(x) dy dx
§2-4 几何方程 刚体位移
当应变分量完全确定时,位移分量不能完全确定的说明：
df1( y) df2(x)
,
dy
dx
这一方程的左边是y的函数, 而右边 是x的函数。因此,只可能两边都等 于同一常数ω。

u
y
切应变
xy




v x

u y
0
u
u u dx
P
dx A x
v P
dy
B
v v dy

A
y
B
y
u u dy y
x
v v dx x
§2-4 几何方程 刚体位移
平面问题中表明应变分量与位移分量之间的关系式, 即平面问题的几何方程为:
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
பைடு நூலகம்
u, v, w
/2 /2
x, y, z zx zy 0, xy
平面应力问题只—有—平面应力分量存
在 x， ，y xy，且 y仅x 为x，y 的函数的弹性力
学问题。
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
平面应变问题
静力平衡微分方程公式推导
Mab 0
化简为

xy

1 2
xy
x
dx

yx

1 2
yx
y
dy
命dx及dy趋于零
xy yx
切应力互等定律
（2-1）
§2-2 平衡微分方程
静力平衡微分方程公式推导
以x 轴为投影轴,列出投
影的平衡方程 Fx 0
o xy x
y
x
刚体位移
应变分量等于零时的位移
u u0 y v v0 x
根据平面运动的原理可以证明——uo及vo
分别为物体沿x轴及y轴方向的刚体平移,而ω 为物体绕z轴的刚体转动。
§2-4 几何方程 刚体位移
刚体位移
应变分量等于零时的位移
u u0 y v v0 x
（1） 当 0, v0 0, u0 0 时
平衡微分方程。
表示区域内任一点（x, y）的微分体的平衡条件
§2-2 平衡微分方程
dz z dx z dy x y
从平面问题中 任取微小的正 平行六面体
o
yx y
xy
C fx
x

x

x
x
dx
各面应力均匀分布， 作用在截面中心
体力也均匀分布，

y
x
y
fy
y
2. 式(2-2)第一式中所有的各项都是x 向的力，第二式均 是y 向的力。（2-1）又一次导出了切应力互等定理。
3. 在任一等式中，各项的量纲必须相同，据此可以作为 检查公式是否正确的条件之一。
4. 平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连续性和小 变形假定。
5. 对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相 同。
df1( y) dy



df2 (x) dx


f1( y) u0 y f2(x) v0 x
u f1(y) u0 y v f2(x) v0 x
这是“应变为零”时的位移,也就是所谓“与变
形无关的位移”,因而必然是刚体位移。
§2-4 几何方程 刚体位移