(word完整版)选修44坐标系与参数方程知识点总结,文档

涉县第一中学高二 1 级部数学理科选修4-4知识点总结总结人：李军波魏军燕张利梅
坐标系与参数方程知识点
( 一) 坐标系
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
x x(0)
设点 P( x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换:g的作用下 , 点P( x, y)
y y(0)
g
对应到点 P ( x , y ) ,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换 .
2.极坐标系的看法
(1)极坐标系
以以下图 , 在平面内取一个定点O , 叫做极点 , 自极点O引一条射线Ox , 叫做极轴 ; 再选定一个长度单位 ,
一个角度单位 ( 平时取弧度 ) 及其正方向 ( 平时取逆时针方向 ), 这样就建立了一个极坐标系 .
注 : 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系, 而极坐标系那么不可以. 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系 .
(2)极坐标
设 M是平面内一点 , 极点O与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径 , 记为; 以极轴Ox为始边 , 射线OM为终边的角xOM 叫做点M的极角,记为. 有序数对(, ) 叫做点M的极坐标,记作 M ( ,) .
一般地 , 不作特别说明时, 我们认为0,可取任意实数.
特别地 , 当点M在极点时 , 它的极坐标为(0,)(∈ R).和直角坐标不相同, 平面内一个点的极坐标有无数种表示 .
若是规定0,02, 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标( , ) 表示;同时,极坐标( , ) 表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点 ,x 轴的正半轴作为极轴 , 并在两种坐标系中取相同的长度单位 ,
以以下图 :
(2) 互化公式 : 设M是坐标平面内任意一点, 它的直角坐标是( x, y) ,极坐
1
标是 ( , ) (
0 ), 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表
:
点 M
直角坐标 ( x, y) 极坐标 ( , )
x cos 2
x 2 y 2
y
( x 0)
互化公式
sin
tan
y
x
在一般情况下 , 由 tan
确定角时 , 可依照点 M 所在的象限最小正角 .
4. 常有曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点 , 半径为 r 的圆
r (0 2 )
圆心为 ( r ,0) , 半径为 r 的圆
2r cos (
)
2
2
圆心为 ( r , ) , 半径为 r 的圆 2r sin (0 ) 2
圆心为 ( r , ) , 半径为 r 的圆 2r sin (0 ) 2
(1)
(
R)或
(
R) 过极点 , 倾斜角为
的直线
(2)
( 0)和 (
0)
过点 (a,0) , 与极轴垂直的直线
cos a(
)
2
2
过点 (a, ) , 与极轴平行的直
2
sin
a(0 )
线
2
注 : 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一
, 即 ( , ),( ,2
),( , ),( , ), 都表
示同一点的坐标 , 这与点的直角坐标的唯一性明显不相同 . 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式 , 只
要求最少有一个能满足极坐标方程即可. 比方对于极坐标方程
,点M( ,
) 可以表示为
,5
)等多种形式 , 其中, 只有 (
4 4
( ,2)或( , 2 )或(-
4
, ) 的极坐标满足方程 .
4 4
4 4
4 4 4
5.圆与直线一般极坐标方程
〔 1〕圆的极坐标方程
假设圆的圆心
为
M ( 0 , 0 ) ，半径为 r ，求圆的极坐标方程。

P
ρ
M
设 P( , ) 为圆上任意一点，由余弦定理，得
ρ
θ
PM 2 = OM 2 +OP 2
- 2OM ·OPcos ∠ POM ，
θ
O x
那么圆的极坐标方程是：
r
2
2
2 2 0
cos
〔 2〕直线的极坐标方程
假设直线 l 经过点 M ( 0 , 0 ) ，且极轴到此直线的角为
α ，求直线 l
l
的极坐标方程。

P(ρ，θ)
设直线 l 上任意一点的坐标为
P(ρ，θ)，由正弦定理，得：
OP
OM
sin ∠OMP =
sin ∠OPM
整理得直线 l 的极坐标方程为
sin
0sin
ρ
M( ρ0，θ0)
ρ0
θ
α
θ0
O
x
6、圆相对于极坐标系的几种不相同的地址方程的形式分别为 (a 0) ：
⑴
a
⑵ 2a cos
⑶ 2a cos
⑷
2a sin
⑸
2a sin
⑹
2a cos( )
3
M
M
M
a
a
O
x
O
x O
a x
图3
图1
图2
2acos
a
2 a cos
M
Ox
M
a
Ma
(a , )
a
O x
O x
图4
图5
图6
2asin
2a sin
2a cos(
)
6、直线相对于极坐标系的几种不相同的地址方程的形式分别为：
⑴
⑵ cos
a ⑶ cos a
⑷ sin
a
⑸ sin
a
⑹
a
)
cos(
M
〔
， 〕
M
M
O x
O
a
a O
图1
图2
图3
a
a
cos
cos
M
〔，〕
M
a
O
图4
a
sin
O
a
a
N ( a,
)
M
图5
O
p
a 图6
sin 4
a
cos(
)
〔二〕、参数方程
1. 参数方程的看法
一般地 , 在平面直角坐标系中 , 若是曲线上任意一点的坐标
x f (t )
x, y 都是某个变数 t 的函数① , 并
y g (t )
且对于 t 的每一个赞同值,由方程组①所确定的点M (x, y) 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程 , 联系变数x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程.
2.参数方程和一般方程的互化
(1) 曲线的参数方程和一般方程是曲线方程的不相同形式, 一般地可以经过消去参数而从参数方程获取
一般方程 .
(2) 若是知道变数x, y 中的一个与参数t 的关系,比方x f (t) ,把它代入一般方程,求出另一个变数与
参数的关系 y g(t)
x f (t )
, 在参数方程与一般方程的互化中, 必定使x, y , 那么就是曲线的参数方程
y g (t )
的取值范围保持一致.
注：一般方程化为参数方程，参数方程的形式不用然唯一。

应用参数方程解轨迹问题，要点在于合适
地设参数，若是采纳的参数不相同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不相同。

3．圆的参数
以以下图，设圆O 的半径为r，点 M 从初始地址M0出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，x r cos
(为参数)。

设 M ( x, y) ，那么
r sin
y
这就是圆心在原点O ，半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是 OM 0转过的角度。

圆心为 (a,b) ，半径为 r 的圆的一般方程是 ( x a) 2( y b)2r 2，
x a r cos 它的参数方程为：
y b ( 为参数)。

r sin 4．椭圆的参数方程
以坐标原点 O 为中心，
①焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为x2y2
1(a b 0), 其参数方程为
x a cos
a2b2y
( 为参数)，
b sin
其中参数称为离心角；
5
②焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是
y 2 x 2 1(a b 0), 其参数方程为
x bcos a 2
b 2
y ( 为参数 ),
a sin
其中参数 仍为离心角，往老例定参数 的范围为 ∈[0 ，2 〕。

注：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角 区
分开来，除了在四个极点处，离心角和旋转角数值可相等外〔即在 0 到 2
的范围内〕，在其他任何一点，
两个角的数值都不相等。

但当 0
时，相应地也有 0
2 ，在其他象限内近似。

2
5．双曲线的参数方程 以坐标原点 O 为中心，
① 焦 点 在 x 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 议 程 为
x 2 y 2 1(a 0, b 0),其参数方程为
a 2
b 2
x a sec ( 为参数 ) ，其中
[0,2 )且
,
3 .
y b tan
2
2
② 焦 点 在 y 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是
y 2 x 2 1(a 0, b
0),其参数方程为
a 2
b 2
x b cot
(为参数，其中 (0,2 且
. y a csc
)e
以上参数
都是双曲线上任意一点的离心角。

6．抛物线的参数方程
2
x 2 pt 2
以坐标原点为极点，张口向右的抛物线
为参数
y
2 px( p 0) 的参数方程为
2 pt (t
).
y
7．直线的参数方程
经过点 M 0
(x 0 , y 0 ) ， 倾 斜 角 为 (
) 的 直 线 l 的 普 通 方 程 是 y y 0 tan ( x x 0 ), 而 过
2
M 0 (x 0, y 0 ) ，倾斜角为
的直线 l 的参数方程为
x x 0 t cos
y y 0 (t 为参数 ) 。

t sin
注： 直线参数方程中参数的几何意义：过定点
M 0 (x 0 , y 0 ) ，倾斜角为
的直线 l 的参数方程为
x x 0 t cos
(t 为参数 ) ，其中 t 表示直线 l 上以定点 M 0 为起点，任一点 M (x, y) 为终点的有向线段
y y 0 t sin uuuuuur
上方时， t ＞0；当点 M 在 M 0 下方时， t ＜ 0；当点 M 与 M 0 重合时， t =0。

M 0M 的数量，当点 M 在 M 0 我们也可以把参数
t 理解为以 M 0 为原点，直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点
M 的坐标，其单位长
6
度与原直角坐标系中的单位长度相同。

其中参数 t 是以定点 P〔 x0， 0〕为起点，对应于
t 点
M
〔，〕为终点的有向线段
PM
y x y
的数量，又称为点P 与点 M 间的有向距离．
依照 t 的几何意义，有以下结论．
1 ．设 A、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A和 t B，那么 AB ＝ t B t A＝
○
(t B t A )24t A t B．
2 ．线段 AB 的中点所对应的参数值等于t A t B．
○2
三〕例题鉴赏例 1〔2021湖北〕(23) (本小题总分
值10分)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标 xOy 中，圆 C1 : x2y2 4 ，圆 C2 : (x2) 2y2 4 。

(Ⅰ) 在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C1 ,C2的极坐标方程，并求出圆 C1, C2的交点坐标 (用极坐标表示 )；(Ⅱ) 求出C1与C2的公共弦的参数方程。

例 2〔坐标系与参数方程〕直线 2 cos1与圆2cos订交的弦长为3
7
解析：化极坐标为直角坐标得直线
x
1 ,圆 ( x 1)
2 y 2 1,由勾股定理可得订交弦长为
2
3 = 3.
2
2
例 3〔陕西文 17〕直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点
A ， B
x 3 cos C 2 ：
1
上，那么 | AB |的最小值
为
分别在曲线 C 1 ：
sin
〔 为参数〕和曲线
1 ．
y
【解析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转变成直角坐标系下的方程．
【解】曲线 C 的方程是 (x 3)2
y 2 1，曲线 C 的方程是 x 2
y 2
1，两圆外离，所以 | AB | 的最小值
1
2
为3202111．
例 4〔浙江理科〕 直线 l :
x 1 t cos ， (t 为参数， 为 l 的倾斜角，且
) 与曲线
y t sin
C :
x
2 cos ( 为参数 ) 订交于 A 、B 两点，点 F 的坐标为 (1,0)
y
sin
〔 1〕求 ABF 的周长；
〔2〕假设点 E( 1,0) 恰为线段 AB 的三均分点，求
ABF 的面积。

2
x
解：〔 1〕将曲线 C 消去
可得：
y 2 1 ，直线 l 过曲线 C 的左焦点 F ( 1,0) ，
由椭圆的定义可知
ABF 为|AB| |AF |
|BF | | AF | |BF | |AF | |BF|
(|AF | |AF |) (| BF
| |BF |)
2a 2a
4a
4
2
〔 2〕可设直线 l 的方程为 x ky 1，假设点 E( 1,0) 为线段 AB 的三均分点，不如设
AE 2EB ， A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，那么 y 1 2 y 2
联立 x
2
2 y 2
2
，消去 x 得： (k 2 2) y 2 2ky 1
x
ky 1
y 1 y 2
y 2
2k
k
2
2 ，消去 y 2 得： k 2
2 那么
y 1 y 2 2 y 2 2
2 1
7
k 2
此时 | y 1
y 2 | 8(k 2 1) 2
2 1 k 2
3 14
k 2
2
k 2
2
8
所以 S ABF
1
|EF|
| y 1 y 2 3 14
2
|
8
8。