1901台州市高三上期末考数学试卷

台州市2018学年第一学期高三年级期末质量评估试题 数学参考答案 2019.01
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1—5 CDADD 6—10 ABBCB
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11. 300 12. 5；()
()2,01,-+∞ 13. 6 14. 32；15
15. 16+ 173 16. 13- 17. 12
三、解答题：本大题共 5 小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．解：（Ⅰ）2()sin cos 222
x x x f x =+1cos )sin 22x x =-+
πsin()3x =-. ………………………………………3分 所以πππ2π2π232k x k -
+<-<+，解得π5π2π2π66
k x k -+<<+，k ∈Z. 所以函数()f x 的单调递增区间为π5π(2π,2π)66k k -++，k ∈Z. ……………7分
（Ⅱ）因为π()sin()322f B B =-+
=，所以πsin()03B -=. 所以π=3
B . …………………9分
又因为b =223=a c ac +-，即22=3+a c ac +.
而222a c ac +≥，所以3ac ≤，即226a c +≤. ………………12分
又因为22=3+3a c ac +>，所以22
36a c <+≤． ………………14分
19．（Ⅰ）证明: PC ⊥平面ABCD ，故PC ⊥AC ． ………………2分
又AB ＝2，CD ＝1，AD ⊥AB ，所以AC ＝BC ．
故AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC ． ………………4分 所以AC ⊥平面PBC ，所以平面ACE ⊥平面PBC ． …………………………6分
（Ⅱ）解: PC ⊥平面ABCD ，故PC ⊥CD ．又PD ＝2，所以PC …………8分 在平面ACE 内，过点P 作PF 垂直CE ，垂足为F ．
由（Ⅰ）知平面ACE ⊥平面PBC ，所以PF 垂直平面ACE ． …………10分
由面积法得：即12
CE PF PC BC ⋅=⋅． 又点E 为AB
的中点，12CE PB =
=．
所以5
PF =． ……………………………………12分 又点E 为AB 的中点，所以点P 到平面ACE 的距离与点B 到平面ACE 的距离相等． 连结BD 交AC 于点G ，则GB ＝2DG ．
所以点D 到平面ACE 的距离是点B 到平面ACE 的距离的一半，即12
PF ． 所以直线PD 与平面AEC
所成角的正弦值为1220
PF PD =．……………………15分 另解：如图，取AB 的中点F ，如图建立坐标系．
因为2PD =
，所以CP =
(0,0,0)C ，(0,1,0)D
，P ，(1,1,0)A ，(1,
B -11(,,222
E -． …………9分 (0,1,PD =．(1,1,0)CA =，11(,,222
CE =-． 设平面ACE 的一个法量为n (,,)x y z =，则 0,0,22x y x y z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩取1x =，得1y =-，z = 即n (1,1,=-． …………13分 设直线PD 与平面AEC 所成角为θ，则
sin |cos θ=<n ，|PD >20
==． …………15分 20．解：（Ⅰ）由2132n n n a a a ++=-可得2112()n n n n a a a a +++-=-． ………………2分
又11a =，23a =，所以212a a -=.
B (第19题)
所以1{}n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列. …………………3分
所以12n n n a a +-=. …………………4分
所以1211()()n n n a a a a a a -=+-++-21222n =++++21n =-. …………7分 （Ⅱ）因为12(21)(21)n n n n b +=--11(21)(21)(21)(21)n n n n ++---=--1112121
n n +=---.………9分 所以12n n S b b b =+++223+1111111212121212121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭
+11
=121n --. ………12分
又因为对任意的n ∈N *都有1n n S m a ≥+，所以+11112121
n n m ≤----恒成立， 即1min 1112121n n m +⎛
⎫≤-- ⎪--⎝⎭,即当1n =时，13
m ≤-. ………15分 21．解：（Ⅰ）设直线PA 方程为11x m y =-，直线PB 方程为21x m y =-.
由121,,
x m y y x =-⎧⎨=⎩可得2110y m y -+=. ………3分
因为PA 与抛物线相切，所以21=40m ∆-=，取12m =，则1A y =，1A x =.
即(1,1)A . 同理可得(1,1)B -.
所以AB ：1x =. ………6分 （Ⅱ）设00(,)P x y ，则直线PA 方程为1100y k x k x y =-+，
直线PB 方程为2200y k x k x y =-+.
由11002,
,y k x k x y y x =-+⎧⎨=⎩可得211000k y y k x y --+=. ………8分
因为直线PA 与抛物线相切，所以1100=14()k k x y ∆--+20101=441=0x k y k -+.
同理可得20202441=0x k y k -+,所以1k ，2k 时方程200441=0x k y k -+的两根.
所以0120y k k x +=，120
14k k x =. ………11分
则12k k -=
= . .………12分
又因为2200(2)1x y ++=，则031x -≤≤-， 所以1211||=k k -1212
=k k k k
-
4,⎡∈⎣. .………15分
22. （Ⅰ）解：32()3f x x x '=-，'(1)2f =-. .………1分 且3(1)4f =-，所以在1x =处的切线方程为524
y x =-+. ………3分 （Ⅱ）证明：因为对任意的实数x ，不等式()2f x a x ≥-恒成立. 所以4
324
x a x x ≤-+恒成立. .………4分 设4
3()24
x g x x x =-+， 则32'()32g x x x =-+2(1)(22)x x x =--
-(1)(11x x x =---
所以()g x
在()1
，()+∞单调递增，
在(,1-∞-
，(单调递减. ………6分
所以min ()min{(1(1g x g g =，
因为1-
222=0x x --的两根. 所以430000()24x g x x x =-+2
0000(22)(22)24
x x x x +=-++ 2200(1)2x x =+-20021x x =-++1=-.
（其中01x = 所以a 的最大值为1-. ………9分 （Ⅲ）解:若对任意的实数k ，关于x 的方程()f x kx m =+有且只有两个不同的实根， 当0x =，得0m =，与已知矛盾.
所以43444x x m k x --=有两根，即43444x x m y x
--=与y k =有两个交点. …10分 令4344()4x x m h x x --=，则432
384'()4x x m h x x -+=. 令43()384p x x x m =-+，2
'()12(2)p x x x =-，则()p x 在(,2)-∞单调递减，(2,)+∞单调递增，所以min ()(2)416p x p m ==-. …11分 （ⅰ）当4160m -≥时，即4m ≥时，则'()0h x ≥，即()h x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递增，且当x →-∞时，()h x →-∞；当0x -→时，()h x →+∞；当0x +→时，()h x →-∞；当x →+∞时，()h x →+∞.此时对任意的实数k ，原方程恒有且只有两个不同的解. ………12分 （ⅱ）当04m <<时，()p x 有两个非负根1x ，2x ，所以()h x 在(,0)-∞，1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，12(,)x x 单调递减，所以当21((),())k h x h x ∈时有4个交点，1=()k h x 或2=()k h x 有3个交点，均与题意不合，舍去. ………13分 （ⅲ）当0m <时，则()p x 有两个异号的零点1x ，2x ，不妨设120x x <<，则()h x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞单调递增；()h x 在1(,0)x ，2(0,)x 单调递减.
又x →-∞时，()h x →-∞；当0x -→时，()h x →-∞；当0x +
→时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞.
所以当12()()h x h x =时，对任意的实数k ，原方程恒有且只有两个不同的解.
所以有43113840x x m -+=，43223840x x m -+=，得
2222121212123()()8()x x x x x x x x ++=++.
由12()()h x h x =，得3232112233x x x x -=-，即221212123()x x x x x x ++=+.
所以22128x x +=，122x x =-，122x x +=.
故3344121288()3()m x x x x =+-+
22222212112212128()()3[()2()]x x x x x x x x x x =+-+-+-
8=-.
所以1m =-.
所以当4m ≥或1m =-时，原方程对任意实数k 均有且只有两个解.………15分。