浙江省宁海县正学中学2010-2011学年高二下学期第一次阶段性测试数学(文)试题

正学中学2010-2011年第二学期第一次月考高二文科数学试卷 一、选择题（共10小题，每题5分，共50分）
1. 设()1,1,1,(3,1,5)A B -，则AB 中点在空间直角坐标系中的位置是 （ ）
A. y 轴上
B. xoy 面内
C. xoz 面内
D. yoz 面内
2. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为
1，E 是11A B 的中点，则E 是平面11ABC D 的距离是
（ ）
Ａ．
Ｃ．
12
3 ．ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，2PD AD PD AD ⊥==，，二面角P AD C
--为60°，则P 到AB 的距离为 （ ）
Ａ．
Ｃ．2
4. 函数)(x f 的定义域为（a,b ），其导函数),()(b a x f 在'内的图象如图所示，则函数)
(x f 在区间（a,b ）内极小值点的个数是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．
4
5. 设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下4个命题
①γβγαβα//////⇒⎩⎨⎧ ②βαβα⊥⇒⎩⎨⎧⊥m m // ③βαβα⊥⇒⎩⎨⎧⊥//m m
④n m n m ////⇒⎩⎨⎧⊂αα 其中，真命题是（ ）
A 、①②
B 、②③
C 、①③
D 、②④
6. 若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
a
b a
b a
7. 一质点做直线运动,由始点起经过t s 后的距离为s =
4
1t 4- 4t 3 + 16t 2
, 则速度为零的时刻是 （ ） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末
8. 设)(x f 、)(x g 是定义在
R 上的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当
a x
b <<时有 （ ） A ．
)()()()(b g b f x g x f > B ．)()()()(x g a f a g x f > C ．
)()()()(x g b f b g x f > D ．)()()()(a g a f x g x f > 9. 若函数
3
()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值 , 则 （ ） ()A 01b << ()B 1b < ()C 0b > ()
D 1
2b <
10已知
2()2'(1)f x x xf =+，则'(0)f 等于 （ ）
A.2
B.0
C.-2
D.- 4
二、填空题（共7小题，每题4分，共28分）
11. 空间直角坐标系中，点(0,1,1)A ，(2,4,6)B ，(,0,1)P x 若AP BP =，则x =_____ 12. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1
22
y x =
+， 则(1)(1)f f '+=＿＿＿＿．
13. 函数
()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿
14. 在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，向量1BA 与向量AC 所成的角为＿＿＿＿
15. c bx ax x x f +++=2
3)(图象过A(2,1),则点A 处的切线方程02=+-a y x ，则
=++c b a _______________.
16如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a 则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值等于________；
17. 直线y =a 与函数f （x ）=x 3－3x 的图象有三个互不相同的公共
点，
则a 的取值范围是
B
P
C
A
三、简答题（本大题共和小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比。

已知速度为每小时10公里时，
燃料费是每小时6元，而其它和速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1公里所需的费用总和为最小？
19. 已知实数a >0，函数()()2
2 ()f x ax x x R =-∈有极大值32.
（1）求实数a 的值；（2）求函数f （x ）的单调区间
20.如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、
PC 的中点．
（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：EF ⊥CD ；
（3）若∠PDA ＝45︒，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小
21如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=2，AC=BC=1，∠ACB=90°，
点E 是AB 的中点，点F 在侧棱BB 1上，且EF ⊥CA 1.
（1）求二面角C —A 1F —E 的大小.（2）求点E 到平面CA 1F 的距离.
22. 设函数329()62
f x x x x a =-+-．
（1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值； （2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围
2011年第二学期第一次月考高二文科数学答题卷
一、选择题（共10小题，每题5分，共50分）
二、填空题（共7小题，每题4分，共28分）
11.11 12. 3 13. 1,e
⎡⎫+∞⎪⎢
⎣⎭
14. 120°
15. 0 16.
3
17. －2<a <2
三、简答题（本大题共和小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.(14分)一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比。

已知速度为每小时10公里
时，燃料费是每小时6元，而其它和速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1公里所需的费用总和为最小？
解.设速度为每小时v 公里的燃料费是每小时p 元，则p=k 3
v 。

又∵6=k 310⋅, ∴k=0.006, ∴p=0.0063
v . 设行使1公里所需的总费用为y 元， 则y=)96006.0(13+v v
=v
v 96
006.02
+. （v >0） ∴'
y =0.012296v
v -
,由'
y =0，得v =20（公里/小时）。

又∵当v <20时，'
y <0;当v >20时，'
y >0.
∴当速度为20公里/小时时，航行1公里所需的费用总和最小。

19. .(14分)已知实数a >0，函数()()2
2 ()f x ax x x R =-∈有极大值32.
（1）求实数a 的值；（2）求函数f （x ）的单调区间.
解：（1）∵f （x ）=ax （x －2）2=ax 3－4ax 2+4ax ，
∴f '（x ）=3ax 2－8ax +4a .
由f '（x ）=0，得3ax 2－8ax +4a =0.
∵a ≠0，∴3x 2－8x +4=0. 解得x =2或x =
3
2
.
∵a >0，∴x <
3
2
或x >2时，f '（x ）>0； 32<x <2时，f '（x ）<0. ∴当x =32
时，f （x ）有极大值32，
即
278a －916a +3
8
a =32，∴a =27.
（2）f （x ）在（－∞，
3
2）和（2，+∞）上是增函数，在（32
，2）上是减函数.
20. .(14分)如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、
PC 的中点．
（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：EF ⊥CD ；
（3）若∠PDA ＝45︒，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小
(12分) 证：如图，建立空间直角坐标系A －xyz ，设AB ＝2a ，
BC ＝2b ，PA ＝2c ，则：A (0, 0, 0)，B (2a , 0, 0)，C (2a , 2b , 0)， D (0, 2b , 0)，P (0, 0, 2c ) ∵ E 为AB 的中点，F 为PC 的中点
∴ E (a , 0, 0)，F (a , b , c )
(1)∵ → EF ＝(0, b , c )，→ AP ＝(0, 0, 2c )，→ AD ＝(0, 2b , 0)
∴ → EF ＝12 (→ AP ＋→ AD ) ∴ → EF 与→ AP 、→
AD 共面 又∵ E ∉ 平面PAD ∴ EF ∥平面PAD ．
(2) ∵ → CD ＝(-2a , 0, 0 ) ∴ → CD ·→
EF ＝(-2a , 0, 0)·(0, b , c )＝0
∴ CD ⊥EF ．
(3) 若∠PDA ＝45︒，则有2b ＝2c ，即 b ＝c ， ∴ →
EF ＝(0, b , b )，
→ AP ＝(0, 0, 2b ) ∴ cos 〈→ EF ，→ AP 〉＝2b 2
2b ·2b
＝22
∴ 〈→ EF ，→ AP 〉＝ 45︒
21.(15分)如图，在直三棱柱ABC —A1B1C1中，AA1=2，AC=BC=1，∠ACB=90°，
点E 是AB 的中点，点F 在侧棱BB1上，且EF ⊥CA1. （1）求二面角C —A1F —E 的大小. （2）求点E 到平面CA1F 的距离. 解：（1）如图，分别以CA 、CB 、CC 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 并设BF=x ，则C （0，0，0），A （1，0，0），B （0，1，0），E （
21
，2
1
，0）， F （0，1，x ），A 1（1，
0，2），则)2,0,1(),,2
1
,21(1=-=CA x
∵EF ⊥CA 1，则01=⋅CA )4
1
,1,0(41
0202
1
121F x x ∴=
=+⨯+⨯-
∴………2分
设向量),,(z y x n =为平面A 1CF 的法向量，则01=⋅CA n ， 0n CF ⋅=， 又11(1,0,2),(0,1,)4
CA CF ==
20
1
04
x z y z +=⎧⎪
∴⎨+=⎪⎩，令2=x ，则11,4z y =-= 1(2,,1)4n ∴=-……………………4分 由题意CA=CB ，E 为AB 的中点，所以CE ⊥AB ，又三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱
∴CE ⊥平面A 1EF 1(,
2CE =21
，0）为平面A 1EF 的法向量
9
8cos ,2||||9n CE n CE n AE ⋅∴<>==⨯ ︒>=∴<45, ∴二面角C —A 1F —E 的大小为45°…………8分
（2）向量CE 在平面CA 1F 的法向量n 上的射影的长为9
||1
892||
4
CE n d n ⋅===
向量CE 在平面A 1CF 的法向量n 上的投影长即为点E 到平面A 1CF 的距离.
∴点E 到平面A 1CF 的距离为
.2
1
………………………12分 方法2：（2）设顶点E 到平面A 1CF 的距离为d ，由（1）CG=1，CE ⊥面A 1B ，A 1F ⊥EF ，
EF A C CF A E V V 11--=
2
14
91213143223223121
31213111=
∴⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯∴⋅⋅⋅⨯=⋅⋅∴d d d F A CG EF E A CE 即点E 到平面CA 1F 的距离为21
22. .(15分)设函数329()62
f x x x x a =-+-．
（1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；
（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围 解：(1) '
2
()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,
因为(,)x ∈-∞+∞,'
()f x m ≥, 即 2
39(6)0x x m -+-≥恒成立,
所以 8112(6)0m ∆=--≤, 得34m ≤-
，即m 的最大值为34
- (2) 因为 当1x <时, '
()0f x >;当12x <<时, '
()0f x <;当2x >时, '
()0f x >; 所以 当1x =时,()f x 取极大值 5
(1)2
f a =
-; 当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;
故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或
52
a >
.。