数论--同余-第4讲联赛班教师版

1.
同余的概念：
设m 是一个给定的正整数，把它称为模．如果两个整数,a b 用m 去除所得的余数相同，则称a 与
b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．这个符号读作：
“a 与b 模m 同余”，如()644mod3≡，()1973mod ≡，()50mod5≡．
2.
同余这一概念也可用下面两种方式之一来叙述，三种说法是等价的．
若|m a b -，则a 与b 对模m 同余； 若a b mt =+（t 为整数），则a 与b 对模m 同余．
用符号表示为：()|mod m a b a b mt a b m -⇔=+⇔≡．
3.
根据同余的定义，容易得到同余的一些性质，最常用的性质有以下几条： 反身性：()mod a a m ≡；对称性：()()mod mod a b m b a m ≡⇒≡； 传递性：
()()()mod mod mod a b m a c m b c m ≡⎫
⎪⇒≡⎬≡⎪⎭；
可加性：()()()mod ()mod mod a b m a c b d m c d m ≡⎫
⎪⇒±≡±⎬≡⎪⎭
．
推论1：()mod a c b c m ±≡±；推论2：()()mod 0mod a b c m a b c m +≡⇒+-≡．
可乘性：()()mod mod a b m ac bc m ≡⇒≡（c 为整数）． 推论1：
()()()mod mod mod a b m ac bd m c d m ≡⎫⎪
⇒≡⎬≡⎪⎭
．
推论2：()()mod mod n n a b m a b m ≡⇒≡（n 为自然数）．
除法性质：若(mod )ac bc m ≡，且(,)c m d =，则(mod )m
a b d
≡． 证明：由(,)c m d =可设,c de m df ==，且(,)1e f =，则有 (mod )|ac bc m m ac bc ≡⇒-，即|()|()df a b de f a b e -⇒-
由(,)1e f =可知，|()(mod )f a b a b f -⇒≡，即mod m a b d ⎛
⎫≡ ⎪⎝
⎭．
推论：若(mod )ac bc m ≡，且(,)1c m =，则(mod )a b m ≡．
第4讲
数论
1. 若正整数m 和1995对于模6同余，则m 的值可能是 （ ）
A ．25
B ．26
C ．27
D ．28
【解析】 199563323=⨯+，故19953(mod6)≡
273(mod6)≡，选C ．
一、四则运算与余数规律
【例 1】 求3326(25746)+被50除所得的余数．
【解析】
33332577(mod50)2577(mod50)≡⇒≡ 2432337491(mod50)71(mod50)71(mod50)77(mod50)≡≡-⇒≡⇒≡⇒≡ 故332577(mod50)≡，从而3325746(746)(mod50)3(mod50)+≡+≡ 于是332626(25746)3(mod50)+≡
又552507243730(mod50)37(mod50)≡+≡+≡⇒≡-，故
102203(7)491(mod50)31(mod50)≡-≡≡-⇒≡，故 26205153333732129(mod50)++≡≡⨯≡-⨯≡-≡
即余数为29．
【变式】 设,a b 都是正整数，且a 被7除余数是2，b 被7除余数是5，求24a b +和24a b -被7除的余数． 【解析】 根据同余的定义，将题设条件“翻译”成符号形式，然后运用同余的性质来求解． 由题意可知，2(mod7),5(mod7)a b ≡≡
由2(mod7)a ≡及(mod )(mod )n n a b m a b m ≡⇒≡这一性质可知 2224(mod 7)a ≡≡
由5(mod7)b ≡及(mod )(mod )a b m ac bc m ≡⇒≡这一性质可知 4201(mod7)b ≡≡-
故224413(mod7),4415(mod7)a b a b +≡-≡-≡+≡．
【变式】 求4444441234.....19901991++++++的个位数． 【解析】 首先考查1,2,3,4,....,1990,1991除以10的余数情况，然后再拓展到4次． 4444102030....19900(mod10)102030....19900(mod10)≡≡≡≡≡⇒≡≡≡≡≡； 44441112131.....1991(mod10)1112131.....1991(mod10)≡≡≡≡≡⇒≡≡≡≡≡； 44442122232.....1982(mod10)21222.....19826(mod10)≡≡≡≡≡⇒≡≡≡≡≡； 44443132333....1983(mod10)31323....19831(mod10)≡≡≡≡≡⇒≡≡≡≡≡； ………
44449192939...1989(mod10)91929...19891(mod10)≡≡≡≡≡⇒≡≡≡≡≡ 故4444441234.....1990199112006199119961995199++++++≡⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 6199119961991199049454949488(mod10)+⨯+⨯+⨯+⨯≡++++++++≡≡ 从而可知，个数数字为8．
【变式】 ⑴ 求738547被17除的余数；
⑵ 23374747a =，其中2337a =，试求23
3747被7整除的余数．
【解析】 ⑴ 24474(mod17)47161(mod17)471(mod17)≡-⇒≡≡-⇒≡
7385184641418464747(47)474713(mod17)⨯+≡≡⨯≡≡． ⑵ 36472(mod7)4781(mod7)471(mod7)≡-⇒≡-≡-⇒≡
23371(mod6)371(mod6)≡⇒≡
故23
376164747(47)47475(mod 7)r r +≡≡⋅≡≡，其中r 为正整数
即所求的余数为5．
【例 2】 求证：1999199911|1023+．
【解析】 看到高次项，我们就应该想到要用(mod )(mod )n n a b m a b m ≡⇒≡这一性质，但是 199910太大，可通过(mod )a c b c m ±≡±这一性质将底数变小，然后来证明． 199********(mod11)101(mod11)10(1)1(mod11)≡⇒≡-⇒≡-≡- 199********(mod11)2311(mod11)≡⇒≡≡
故199919991023110(mod11)+≡-+≡，即1999199911|1023+．
【例 3】 试证明32641|21+．
【解析】
32323232641|21210(mod641)21(mod641)21641(mod641)+⇔+≡⇔≡-⇒≡-+ 3272525264025(mod641)25(mod641)25641(mod641)⇔≡=⨯⇔≡⇔≡-
25223522159(mod641)2159159641225(mod641)⇔≡-⨯⇔≡-≡--≡-⨯ 1831522525641616277(mod641)277(mod641)⇔≡-≡-+≡≡⨯⇔≡
152132776415642141(mod641)2141(mod641)⇔≡-≡-≡-⨯⇔≡- 1321121411416415002125(mod641)2125(mod641)⇔≡-≡-+≡≡⨯⇔≡
1129921256412129(mod641)21291296412(mod641)⇔≡-≡-⨯⇔≡-≡-+≡ 9922(mod 641)≡显然成立，反推即可得出结论．
二、余数的分类讨论
【例 4】 1986198719881989n n n n +++的个位不是0，求正整数n 满足的条件．
【解析】
19866(mod10)19866(mod10)n n ≡⇒≡ 同理，19877(mod10),19888(mod10),19899(mod10)n n n n n n ≡≡≡
故1986198719881989(6789)(mod10)n n n n n n n n +++≡+++
我们知道，自然数的正整数次方的个位数字周期出现，且最小公倍数为4． 故可分以下情况讨论：
若4n k =，则1986198719881989(6161)144(mod10)n n n n +++≡+++≡≡； 若41n k =+，则1986198719881989(6789)300(mod10)n n n n +++≡+++≡≡； 若42n k =+，则1986198719881989(6941)200(mod10)n n n n +++≡+++≡≡； 若43n k =+，则1986198719881989(6329)200(mod10)n n n n +++≡+++≡≡． 又1986198719881989n n n n +++的个位不是0，故4n k =（k 为正整数）
【变式】 试证明：当且仅当4|n 不成立时，有5|1234n n n n +++（n 为自然数）
【解析】 设4n k r =+（k 为整数，0,1,2,3r =，,k r 不同时为0），则有
4422(2)2162n k r k r k r +==⋅=⋅，由161(mod5)161(mod5)k ≡⇒≡，故
21622(mod5)n k r r ≡⋅≡．
同理，38133(mod5)n k r r ≡⋅≡，425644(mod5)n k r r ≡⋅≡． 于是，12341234(mod5)n n n n r r r r +++≡+++ 当0r =时，12344(mod5)r r r r +++≡；
当1r =时，12341234100(mod5)r r r r +++≡+++≡≡； 当2r =时，123414916300(mod5)r r r r +++≡+++≡≡； 当3r =时，12341827641000(mod5)r r r r +++≡+++≡≡ 故当且仅当4|n 不成立时，有5|1234n n n n +++（n 为自然数）．
三、同余性质的相关应用
【例 5】 261322431503985(mod )m ≡≡≡，且2613被m 除余数不为1，求自然数m 及余数． 【解析】 设261322431503985(mod )r m ≡≡≡≡，则
2613,2243,1503,985am r bm r cm r dm r =+=+=+=+（,,,a b c d 为整数） 由此可知，()261322433702537a b m -=-==⨯⨯ ()150********c d m -=-=⨯⨯
由m 是2537,2737⨯⨯⨯⨯的公约数，故m 可取2,37,237⨯． 当2m =时，余数为1r =，不合题意，舍去. 当37m =时，余数为23r =； 当74m =时，余数为23r =； 综上所述，37m =或74m =．
【变式】 如果m 是大于1的整数，69，90，125对于m 同余，那么m 的值是_____________． 【解析】 由题意可知，6990125(mod )m ≡≡，则有
2135560(mod )m ≡≡≡
又m 是大于1的整数，()21,35,567=，故7m =．
【例 6】 试证明：对任意自然数n ，2903803464261n n n n A =--+都能被1897整除．
【解析】
(2903464)(803261)n n n n A =--- (2903464)(803261)'M M =---（,'M M 为整数） 92712271'M M =⨯-⨯
又(2903803)(464261)n n n n A =---
(2903803)(464261)'N N =---（,'N N 为整数） 7210729'N N =⨯-⨯
故0(mod271)A ≡，0(mod7)A ≡
又(7,271)1=，18977271=⨯，故0(mod1897)A ≡．
【例 7】 十进制下，44444444的各位数字之和等于A ，A 的各位数字之和为B ，B 的各位数字之和为C ，
求C ．
【解析】 44444444是一个很大的数字，但是它的位数我们可以估计出来．
设44444444N =，则444454444222204444(10)10<=，这表明N 的位数不多于22220位． 因此，它的各位数字之和A 应小于222209⨯，即222209199980A <⨯=． 由此可知，A 最多为6位数，从而可知6954B <⨯=．
在1,2,3,...53中，数字和最大的一个数是49，因此4913C ≤+=． 根据上例能被9整除的数的特点可知： (mod9)N A B C ≡≡≡
又3344447(mod9)444473431(mod9)≡⇒≡≡≡，4444314811=⨯+，故
14813777(mod9)N ⨯≡⨯≡．
又7(mod9)C ≡，13C ≤，故7C =．
点评：①101(mod9)n ≡；
②一个正整数与其各位数字之和对于整数9同余．
【变式】 证明：一个正整数能被9整除的充要条件是它的各位数字之和能被9整除． 【解析】 设能被9整除的任意的正整数均能表示为12....n a a a ，12....n A a a a =+++，则
1212121....1010...10n n n n n a a a a a a a ---=⋅+⋅++⋅+
我们知道，10199...9n n
-=，故101(mod9)n ≡
故121212112....1010...10...(mod9)n n n n n n a a a a a a a a a a A ---≡⋅+⋅++⋅+≡+++≡ 又12....9n a a a k =（k 为正整数），故90(mod9)A k ≡≡，即9|A ．
反之，若一个数的各位之和能被9整除，则这个数必然能被9整除．
【变式】 A 为任意n 位数，将组成A 的各位数字任意重新排列后得到一个新数B ，如果A B >，证明A B
-是9的倍数．
【解析】 设12...n A a a a =，123..n N a a a a =++++，则有
1212121...1010...10(mod9)n n n n n A a a a a a a a N ---≡≡⋅+⋅++⋅+≡
同理，(mod9)B N ≡，故0(mod9)A B -≡，得证．
【例 8】 求整数x ，使得
2(mod 3)3(mod 5)2(mod 7)x x x ≡⎧⎪
≡⎨⎪≡⎩
【解析】 解法一：将同余式转化成等式的形式，然后不停的作代换． 由2(mod3)x ≡可知，32x m =+（m 为整数），故
323(mod5)31(mod5)36(mod5)2(mod5)m m m m +≡⇒≡⇒≡⇒≡ 设52m k =+，（k 为整数），则有3(52)2158x k k =++=+，故 1582(mod7)15615(mod7)1(mod7)k k k +≡⇒≡-≡⇒≡，故 71k n =+（n 为整数），从而15815(71)810523x k n n =+=++=+ 故整数x 是被105除余23的一切整数． 解法二：运用中国剩余定理
首先求出一组123,,M M M 满足：
()()()1111mod3,0mod5,0mod7M M M ≡≡≡ ()()()2110mod3,1mod5,0mod7M M M ≡≡≡
()()()2110mod3,0mod5,1mod7M M M ≡≡≡ 本题当中12370,21,15M M M ===满足上述条件． 容易证明：
()123mod3aM bM cM a ++≡
()123mod5aM bM cM b ++≡ ()123mod 7aM bM cM c ++≡
所以2,3,2a b c ===时123S aM bM cM =++满足题目条件．
习题 1. 求所有满足3|21n +的正整数n ．
【解析】
30(mod3)21(mod3)2(1)21(1)1(mod3)n n n n ≡⇒≡-⇒≡-⇒+≡-+ 若3|21n +，则210(mod3)n +≡，故(1)10n -+=
从而可知，当且仅当n 为奇数时，3|21n +．
习题 2. a 除以5余1，b 除以5余4，且3a b >，求3a b -除以5的余数． 【解析】 由题意可知，1(mod5),4(mod5)a b ≡≡，则有 33414(mod5)a b -≡-≡-≡ 故余数为4．
习题 3. 求10002除以13的余数.
【解析】
41232163(mod13)23271(mod13)≡≡⇒≡≡≡ 10001283442223(mod13)⨯+≡≡≡
故余数为3．
习题 4. 求9992的最后两位数字．
【解析】
()()()91210251212mod1002512840964mod10021mod100≡≡⇒≡⨯≡≡-⇒≡- 99999099909992222(1)121288(mod100)+⇒≡≡⋅≡-⨯≡-≡
习题 5. 求证：555522227|(22225555)+
【解析】
226322223(mod7)222232(mod7)222221(mod7)≡⇒≡≡⇒≡≡ 故5555692522169252222222222(2222)(2222)3125(mod7)⨯+⨯+≡≡⋅⋅≡≡ 226355554(mod7)555542(mod7)555521(mod7)≡⇒≡≡⇒≡≡ 故22226370225555555542(mod7)⨯+≡≡≡
从而可知，55552222222255555270(mod7)+≡+≡≡
即555522227|(22225555)+．
习题 6. 设n 为自然数，若1914103(mod83)n n +≡+，则n 的最小值可能是 （ ）
A ．4
B ． 8
C ． 16
D ． 32
【解析】 1914103(mod83)91109720(mod83)n n n n +≡+⇒+≡⇒-≡，故选B ．
生肖为何取数12？
《周礼·春官·冯相氏》载：“掌十有二岁，十有二月，十有二辰，十日，二十八星之位，辨其叙事，以会天位。

”时间的分割以十二累进，一纪十二年，一年十二个月，一日十二时辰。

《国语·晋语四》载：“黄帝之子二十五宗，其得姓者十四人，为十二姓。

”甚至天子妻妾也有“十二女”之说，《后汉书·荀爽传》：“故天子娶十二妇，天之数也；诸侯以下各有等差，事之降也。

”
近年，在神农架地区发现了汉族创世史诗《黑暗传》。

其中有一个讲述干支来历的故事：“开天辟地之初，玄黄骑着混沌兽遨游，遇到女娲。

女娲身边有两个肉包，大肉包里有十个男子，小肉包里有十二个女子。

玄黄说：‘这是天干革命地支神，来治理乾坤的。

’于是，为他们分别取名，配夫妻，成阴阳。

男的统称天干，女的则为地支。

”这一创世神话故事，讲干支，讲玄黄神、女娲神，讲乾坤阴阳，将干支的“身世”推溯得十分久远。

天乾地刊，古代历来以天为主、地为从。

十天干又叫十母，对应的十二地支则别称十二子。

汉代蔡邕《月令章句》：“大桡采五行之情，占斗纲所建，于是始作甲乙以名日，谓之干；作子丑以名月，谓之支。

干支相配，以成六旬。

”大桡是黄帝时代的大臣，这里的配成六旬，即六十甲子，取了天干十和地支十二的最小公倍数。

干与支按顺序相配合，由甲子乙丑……一直排至癸亥为第六十对，正好干、支均用最末一位，再排便是重由甲子开始，这一循环称为一个甲子。

其中，每个天干出现六次，每个地支出现五次。

十二生肖的产生，有着天文学的背景。

在原始时代，先民们体验着寒暑交替的循环往复。

宋代洪皓《松漠纪闻》载：“女真旧绝小，正朔所不及，其民皆不知纪年，问则曰‘我见青草几度矣’，盖以草一青为一岁也。

”宋代孟珙《蒙鞑备录》也记：“其俗每草青为一岁，有人问其岁，则曰几草矣。

”年又有观天者发现月亮盈亏周期可以用来丈量岁的长短，发现十二次月圆为一岁，这一发现，是初期历法最精度的成果之一，“十二”便视为传达天意的“天之大数”。

天干需地支为伴，日月相对，天地相对，就非“十二”莫属了。

外国人是否也有生肖？他们的生肖是多少个？和我国有类似的吗？。