2021高三数学人教B版一轮学案：导数与函数的极值、最值 Word版含解析

第2课时导数与函数的极值、最值
考点一函数的极值
命题方向1根据函数图象判断函数极值
【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
【解析】由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．【答案】 D
命题方向2已知函数求极值
【例2】(1)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，则f(x)的极小值为()
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3D．1
(2)已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)，求函
数f(x)的极值．
【解析】(1)f′(x)＝(2x＋a)e x－1＋(x2＋ax－1)e x－1＝[x2＋(a ＋2)x＋a－1]e x－1.
∵x＝－2是f(x)的极值点，∴f′(－2)＝0，
即(4－2a－4＋a－1)·e－3＝0，得a＝－1.
∴f(x)＝(x2－x－1)e x－1，f′(x)＝(x2＋x－2)e x－1.
由f′(x)>0，得x<－2或x>1；由f′(x)<0，得－2<x<1.
∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)的极小值点为1，∴f(x)的极小值为f(1)＝－1.
(2)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所
以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得e x＝a，即x＝ln a，
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在x＝ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
【答案】(1)A(2)见解析
命题方向3已知函数的极值求参数
【例3】设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；
(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．
【解】(1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x，
所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]e x.
所以f′(1)＝(1－a)e.
由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.
此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.
(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]e x＝(ax－1)(x－2)e x.
若a>，则当x∈时，f′(x)<0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在x＝2处取得极小值．
若a≤时，则当x∈(0,2)时，x－2<0，ax－1≤x－1<0，所以f′(x)>0.
所以2不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是.
方法技巧
函数极值的两类热点问题
(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤,①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号.
(2)根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
②验证：求解后验证根的合理性.
1．(方向1)函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是(C)
A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间
B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间
C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值
D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
解析：由函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x<－1或3<x<5时，f′(x)<0，y＝f(x)单调递减；当x>5或－1<x<3时，f′(x)>0，y＝f(x)单调递增．所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y＝f(x)在x＝－1,5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误，故选C.
2．(方向2)(2020·山西太原模拟)设函数f(x)＝x3－x＋m的极大值为1，则函数f(x)的极小值为(A)
A．－B．－1
C. D．1
解析：f′(x)＝x2－1，由f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝1.所以f(x)在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在x＝－1处取得极大值，且f(－1)＝1，即m＝，函数f(x)在x＝1处取得极小值，且f(1)＝×13－1＋＝－.故选A.
3．(方向3)(2020·江西八校联考)若函数f(x)＝x2－x＋a ln x在[1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为(－∞，－1]．解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－1＋＝，由题意知2x2－x＋a＝0在R上有两个不同的实数解，且在[1，＋∞)上有解，所以Δ＝1－8a>0，且2×12－1＋a≤0，所以a∈(－∞，－1]．
考点二函数的最值
【例4】(1)函数f(x)＝，x∈[0,4]的最小值是()
A．0 B.
C. D.
(2)(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.
①讨论f(x)的单调性；
②是否存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)f′(x)＝，
当x∈[0,1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
当x∈(1,4]时，f′(x)<0，f(x)是减函数．
又f(0)＝0，f(4)＝>0，所以f(0)＝0最小．
(2)①f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a>0，则当x∈(－∞，0)∪(，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(0，)时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，0)，(，＋∞)单调递增，在(0，)单调递减；
若a＝0，f′(x)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增；
若a<0，则当x∈(－∞，)∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(，0)时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，)，(0，＋∞)单调递增，在(，0)单调递减．
②满足题设条件的a，b存在．
(ⅰ)当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增，所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)＝b，最大值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当b＝－1,2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1.
(ⅱ)当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减，所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)＝b，最小值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1.
(ⅲ)当0<a<3时，由(1)知，f(x)在[0,1]的最小值为f()＝－＋b，最大值为b或2－a＋b.
若－＋b＝－1，b＝1，则a＝3，与0<a<3矛盾．
若－＋b＝－1,2－a＋b＝1，则a＝3或a＝－3或a＝0，与0<a<3矛盾．
综上，当且仅当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0,1]的最小值为－1，最大值为1.
【答案】(1)A(2)见解析
方法技巧
求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最值的思路
(1)若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
(2)若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值.
1．已知函数f(x)＝2sin x＋sin2x，则f(x)的最小值是－.
解析：f′(x)＝2cos x＋2cos2x＝2cos x＋2(2cos2x－1)
＝2(2cos2x＋cos x－1)＝2(2cos x－1)(cos x＋1)．
∵cos x＋1≥0，
∴当cos x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当cos x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴当cos x＝，f(x)有最小值．
又f(x)＝2sin x＋sin2x＝2sin x(1＋cos x)，
∴当sin x＝－时，f(x)有最小值，
即f(x)min＝2××＝－.
2．已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x.
(1)当a＝1时，求y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求实数a 的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋ln x，
f′(x)＝2x－3＋.
因为f′(1)＝0，f(1)＝－2，所以曲线y＝f(x)在点(1，－2)处的切线方程是y＝－2.
(2)函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x的定义域是(0，＋∞)．
当a>0时，
f′(x)＝2ax－(a＋2)＋＝，
令f′(x)＝
＝＝0，得x＝或x＝.
当0<≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增，
所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；
当1<<e时，f(x)在[1，e]上的最小值f<f(1)＝－2，不合题意；
当≥e时，f(x)在[1，e]上单调递减，此时f(x)在[1，e]上的最小值f(e)<f(1)＝－2，不合题意．
综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)．。