2021-2022年高二数学上学期第二次月考试题 理(II)

2021-2022年高二数学上学期第二次月考试题理(II)一．选择题（每小题5分，共60分）
1．已知命题：1
≤
∈x
cos
R
x，有
对任意，则（ C ）
A．1
≥
∈
⌝x
cos
R
x
p，使
：存在B．1
≥
∈
⌝x
cos
R
x
p，有
：对任意
C．1
>
∈
⌝x
cos
R
x
p，使
：存在D．1
>
∈
⌝x
cos
R
x
p，有
：对任意
2．双曲线=1的实轴长是（ C ）
A．3 B. 4 C．6D．8
3．已知命题①若a>b，则1
a <
1
b
，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说
法正确的是( D )
A．①的逆命题为真B．②的逆命题为真C．①的逆否命题为真D．②的逆否命题为真4. 等差数列的前项和，若，则( C )
5．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( B )
A.
2
2
B.
3
2
C.
3
4
D.
2
3
6．若，则的最小值是（ D ）
Ａ．Ｂ．Ｃ．2 Ｄ．3 7．在中，角、、所对应的边分别为、、，则是的（A ）
A.充分必要条件
B.充分非必要条件
C.必要非充分条件
D.非充分非必要条件
8. 与点A(－1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为－1的动点P的轨迹方程是( C )
A．x2＋y2＝3 B．y＝1－x2 C．x2＋2xy＝1(x≠±1) D．x2＋y2＝9(x≠0)
9．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为（C ）
A. B. 2 C. 2或 D. 3
10．椭圆=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标( A )
A．±B．±C．±D．±
11. 不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是( D)
A. B. C. D.
12 .不等式组的解集记为.有下面四个命题：
：，：,
：，：.
其中真命题是( B )
.， .， .， .，
二．填空题（每小题5分，共20分）
13．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则的值是14．一元二次不等式ax＋bx＋20的解集是(－, )，则a＋b的值是____-14______ 15．椭圆的离心率为，则的值为____4或__-______
16．已知分别为的三个内角的对边，=2，且(2)(sin sin)()sin
b A B
c b C
+-=-，则面积的最大值为 .
三、解答题（6小题，共70分）
17．（10分）已知双曲线与椭圆x2
27
＋
y2
36
＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个
交点A的纵坐标为4，求双曲线的标准方程.
因为椭圆x2
27
＋
y2
36
＝1的焦点为(0，－3)，(0，3)，（2）
A点的坐标为(±15，4)，（4）
设双曲线的标准方程为y2
a2
－
x2
b2
＝1(a>0，b>0)，（5）
所以⎩⎨⎧
a 2＋
b 2＝9，
16a 2
－15b
2
＝1， （7）
解得⎩⎨⎧a 2
＝4，b 2＝5，
（9） 所以所求的双曲线的标准方程为y 24－x 2
5＝1. （10）
18．（12分）的内角所对的边分别为.
（1）若成等差数列，证明：)sin(2sin sin C A C A +=+； （2）若成等比数列，且，求的值.
由余弦定理得
22222221 cos
2222
a c
b a
c ac a c
B
ac ac ac
+-+-+
===-
19. （12分）已知命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为，
命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
由题意得，命题p和命题q一真一假．
p命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，即a＞1
3
或a＜－1.
q命题为真时，2a2－a＞1，即a＞1或a＜－1
2 .
p真q假时，1
3
＜a≤1，p假q真时，－1≤a＜－
1
2
，
∴p、q中有且只有一个真命题时，a的取值范围为{a|1
3＜a≤1或－1≤a＜－
1
2
}．
20．（12分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1，需矿石4，煤3，生产乙种产品1，需矿石5，煤10．每1甲种产品的利润是7万元，每1乙种产品的利润是12万元．工厂在生产这两种产品的计划中，要求消耗矿石不超过200，煤不超过300，则甲、乙两种产品应各生产多少，才能使利润总额达到最大？
（1）设甲、乙各应生产，则有
45200 310300
x y
x y
x
y
+≤
⎧
⎪+≤
⎪
⎨
≥
⎪
⎪≥
⎩
，
（2）目标函数，当时，取到最大值428万元．
答：略．
21．（12分）已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.（I）证明：；
（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.
【解析】：(Ⅰ)由题设，，两式相减
，由于，所以…………6分
（Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知
假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；
证明时，{}为等差数列：由知
数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列
令则，∴
数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列
令则，∴
∴（），
因此，存在存在，使得{}为等差数列. ………12分
22. 如图, 分别是椭圆:+=1()的左、右焦点,是椭圆的顶点,是直线与椭圆的另
一个交点,.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)已知面积为40,求的值
\37983 945F 鑟37006 908E 邎26905 6919 椙26459 675B 杛P28076 6DAC 涬24588 600C 怌30755 7823 砣V40047 9C6F 鱯6Nh25566 63DE 揞。