2机械控制工程基础第二章答案
机械控制工程课后习题解答
机械控制工程基础答案提示第二章 系统的数学模型2-1 试求如图2-35所示机械系统的作用力)(t F 与位移)(t y 之间微分方程和传递函数。
)(t F )(t y f图2-35 题2-1图解：依题意：()()()()22d y t dy t a m F t f ky t dt b dt⋅=⋅-⋅- 故 ()()()()t F b at ky dt t dy f dt t y d m⋅=+⋅+22 传递函数: ()()()kfs ms b as F s Y s G ++==22-2 对于如图2-36所示系统，试求出作用力F 1(t )到位移x 2(t )的传递函数。
其中，f 为粘性阻尼系数。
F 2(t )到位移x 1(t )的传递函数又是什么？m 2m 1k 1 f k 2F 1(t )F 2(t ) x 2(t )x 1(t )图2-36 题2-2图解：依题意：对1m ： ()()()()212121111dt t x d m dt t dx dtt dx f t x k F =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--- 对两边拉氏变换：()()()[]()s X s m s sX s sX f x k s F 12121111=--- ①对2m ： ()()()()()222222212dt t x d m t x k dt t dx dt t dx f t F =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ 对两边拉氏变换：()()()[]()()s X s m s x k s sx s sx f s F 22222212=--+ ②故： ()()()()()()()()⎩⎨⎧=+++-=-++S F s x k fs s m s fsx s F s fsx s x k fs s m 222221121121 故得：()()()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+++++++=-+++++++⋅=22221212212122222121222211fs k fs s m k fs s m k fs s m s F s fsF s x fs k fs s m k fs s m s fsF k fs s m s F s x 故求()t F 1到()t x 2的传递函数 令：()02=s F()()()()()()()()()2122211122432121212211212x s fsG s F s m s fs k m s fs k fs fsm m s f m m s m k m k s f k k s k k ==++++-=+++++++求()t F 2到()t x 1的传递函数 令：()01=s F()()()()()()()()()1122221122432121212211212x s fsG s F s m s fs k m s fs k fs fsm m s f m m s m k m k s f k k s k k ==++++-=+++++++2-3 试求图2-37所示无源网络传递函数。
控制工程基础第二章参考答案
第二章 参考答案2-1 （1） 不是 （2） 是 （3） 不是 （4） 不是 2-2 (a))()()(3)(2222t u t u dtt du RC dt t u d C R i o o o =++ (b) )()()()()()()()(2211222121222111222121t u dtt du C R C R dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (c ) )()()()()()(33221312221t u R dtt du C R R t u R R dt t du C R R R R R i i o o +=++++(d))()()()()()()()(1211222121211211222121t u dtt du C R C R dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (e))()()()()()()()(221222121211222222121t u dtt du R C C dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (f) )()()()()()()(22121221t u R dtt du L t u R R dt t du L C R R dt t u d CL R i i oo o +=++++ 2-3 (a) )]()([)()()(23213121t u R dtt du C R R t u R dt t du C R R R R i i o o +=++－(b) )()()()(4141232022213210t u R R t u R R dt t du C R R R dt t u d C C R R R R i o o o －=++ (c))]()()([)(32321t u R R dtt du C R R t u R i i o ++=－(d) )()()()()(221122212121t u dt t du C R C R dt t u d C C R R dt t du C R i i i o +++=－ (e) )()()()(2412222142t u dtt du C R C R dt t u d C C R R o o o +++ )}()(])([)({21213224223221432132t u dtt du R R C C R R C R dt t u d R R C C R R R R R R i i i +++++++=－ 2-4 (a) dt t dx f dt t dx f f dt t x d m i o o )()()()(12122=++ (b) dt t dx f k t x k k dt t dx f k k i o o )()()()(12121=++ (c) )()()()()(121t x k dt t dx f t x k k dt t dx f i i o o +=++ (d) )()()()()()(112121t x k dtt dx f t x k k dt t dx f f i i o o +=+++2-5 (a))(1)()()()(1)()()(2112212221211*********t u C C dt t du C R C R dt t u d R R t u C C dt t du C R C R C R dt t u d R R i i i o o o +++=++++ (b))()()()()()()()(2112212221211211212221t x k k dtt dx k f k f dt t x d f f t x k k dt t dx k f k f k f dt t x d f f i i i o o o +++=++++ 由(a)(b)两式可以看出两系统具有相同形式的微分方程，所以(a)和(b)是相似系统。
2机械控制工程基础第二章答案资料
习 题2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,x o 表示系统输出,x i 表示系统输入,哪些是线性系统? (1) x x x x x ioooo 222=++ (2) x tx x xiooo222=++ (3) x x x xio 222oo=++ (4) x tx x x xiooo222o=++ 解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。
该题中（2）和（3）是线性系统。
2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程，图中x i 表示输入位移，x o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。
图(题2.2) 解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有xm x c x x c ioo2o1)(=-- 即x c x c c xm i121oo )(=++ (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有)1()()(1x xc k x x oi-=-)2()(2x k x xc oo=-消除中间变量有x ck x k k xk k c io121o21)(=-- (3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有 x k x x k x xc ooioi21)()(=-+-即x k x c x k k xc iioo121)(+=++ 2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。
图（题2.3）解:(1)对图(a)所示系统,设i 1为流过R 1的电流,i 为总电流,则有⎰+=idt Ci R u o122i R u u o i 11=-dti i Cu u oi)(111⎰-=-消除中间变量,并化简有u R C u CC R R uR C u R C u C C R R u R C iiiooo12211221222121211)()1(1+++=-+++(2)对图(b)所示系统，设i 为电流，则有⎰++=idtC i R u u oi111⎰+=i R idt Cu o221 消除中间变量,并化简有u Cu R u C C u R R iioo2221211)11()(+=+++2.4 求图(题2.4)所示机械系统的微分方程。
2机械控制工程基础第二章答案
习 题2.1 什么是线性系统其最重要的特性是什么下列用微分方程表示的系统中,x o 表示系统输出,x i 表示系统输入,哪些是线性系统 (1) x x x x x ioooo 222=++&&& (2) x tx x xiooo222=++&&& (3) x x x x io222oo=++&&& (4) x tx x x xiooo222o=++&&& 解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。
该题中（2）和（3）是线性系统。
2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程，图中x i 表示输入位移，x o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。
图(题2.2) 解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有 即xc x c c x m i&&&&121oo )(=++ (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有 消除中间变量有(3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有 即x k x c x k k x c iioo121)(+=++&&2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。
图（题2.3）解:(1)对图(a)所示系统,设i 1为流过R 1的电流,i 为总电流,则有 消除中间变量,并化简有u R C u CC R R u R C u R C u C C R R u R C iiiooo12211221222121211)()1(1+++=-+++&&&&&&&(2)对图(b)所示系统，设i 为电流，则有 消除中间变量,并化简有2.4 求图(题2.4)所示机械系统的微分方程。
图中M 为输入转矩,C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。
机械控制工程基础第二章答案
习 题什么是线性系统其最重要的特性是什么下列用微分方程表示的系统中,x o 表示系统输出,x i 表示系统输入,哪些是线性系统 (1) x x x x x ioooo222=++&&& (2) x tx x xiooo222=++&&& (3)x x x x io222oo=++&&& (4) x tx x x xiooo222o=++&&& 解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。
该题中（2）和（3）是线性系统。
图（题）中三同分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程，图中x i 表示输入位移，x o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。
图(题 解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有xm x c x x c i&&&&&oo2o1)(=--即xc x c c x m i&&&&121oo )(=++ (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有)1()()(1xx c k x x oi&&-=- )2()(2x k xx c oo=-&&消除中间变量有x ck x k k xk k c io&&121o21)(=-- (3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有 x k x x k xx c ooioi21)()(=-+-&&即x k x c x k k x c iioo121)(+=++&&求出图(题所示电系统的微分方程。
图（题）解:(1)对图(a)所示系统,设i 1为流过R 1的电流,i 为总电流,则有⎰+=idtCi R u o122i R u u o i 11=-dti i Cu u oi)(111⎰-=-消除中间变量,并化简有u R C u CC R R u R C u R C uCC R R u R C iiiooo12211221222121211)()1(1+++=-+++&&&&&&&(2)对图(b)所示系统，设i 为电流，则有⎰++=idtC i R u u oi111⎰+=i R idt Cu o221 消除中间变量,并化简有uCu R u C C u R R iioo2221211)11()(+=+++&&求图(题所示机械系统的微分方程。
控制工程基础第2章答案
第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。
2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。
2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。
题图2.3解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得[]于是传递函数为②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。
引出点处取为辅助点B。
则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x，可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。
+-+-C)(t u r )(t u c )(t r )(t x c f1k 2k CR)(t u r )(u c +-+-f)(t r )(t x c )(a )(b )(c )(d R 2R题图2.4【解】：)(a方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u cc r 1消去中间变量，整理得：dtdu RC u dt du RCrc c =+方法二：dtdu RC u dt du RCRCs RCs CsR R s U s U rc c r c =+⇒+=+=11)()( 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：cc r kx dt dxdt dx f =-)(dtdx k f x dt dx k f rc c =+⇒()r r c c r c u dtduC R u dt du C R R Cs R R Cs R Cs R R CsR s U s U +=++⇒+++=+++=221212212)(1111)()( 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程r rc c aa c a r c r x dtdx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。
机械控制工程基础第二章2习题解答
题目：已知()t t f 5.0=，则其()[]=t f L 【 】A. 25.0s s +B. 25.0sC.221sD. s 21 分析与提示：由拉氏变换的定义计算，可得()[]215.0s t f L = 答案：C题目：函数f (t )的拉氏变换L[f(t)]= 。
分析与提示：拉氏变换定义式。
答案：dt e t f st ⎰∞-0)(题目：函数()atet f -=的拉氏变换L[f(t)]= 。
分析与提示：拉氏变换定义式可得，且f(t)为基本函数。
答案：as +1题目：若te t tf 22)(-=，则()=)]([t f L 【 】A.22+s B.3)2(2+s C.22-s D.3)2(2-s分析与提示：拉氏变换定义式可得，即常用函数的拉氏变换对，3)2(2)]([+=s t f L 答案：B题目：拉氏变换存在条件是，原函数f(t)必须满足 条件。
分析与提示：拉氏变换存在条件是，原函数f(t)必须满足狄里赫利条件。
答案：狄里赫利题目：已知()15.0+=t t f ，则其()[]=t f L 【 】A. 25.0s s +B. 25.0sC.s s1212+ D. s 21分析与提示：由拉氏变换的定义计算，这是两个基本信号的和，由拉氏变换的线性性质，其拉氏变换为两个信号拉氏变换的和。
()[]s st f L 115.02+= 答案：C题目：若()ss s s F ++=214，则()t f t ∞→lim )=( )。
【 】A. 1B. 4C. ∞D. 0分析与提示：根据拉氏变换的终值定理)(lim )(lim )(0s sF t f f s t →∞→==∞。
即有414lim )(lim 20=++=→∞→ss s st f s t答案：B题目：函数()t et f atωcos -=的拉氏变换L[f(t)]= 。
分析与提示：基本函数t ωcos 的拉氏变换为22ω+s s，由拉氏变换的平移性质可知()[]()22ω+++=a s as t f L 。
2机械控制工程基础第二章答案
习题2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,表示系统输出,表示系统输入,哪些是线性系统? xx io(1) (2) xxxxtxxxxx222222????????????oooiooooi (4) (3) xxtxxxxxxx222222????????????ooioooooi解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。
该题中（2）和（3）是线性系统。
2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程，图中表示输入位移，表示输出位移，假设输出端无xx oi 负载效应。
图(题2.2)所示系统，由牛顿定律有(a)对图: (1)解．)(?????xcxxmxc???1io2oo()???即?xccmcx???x o o121i(2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有x)(xx)kc(x(1)?????oi1??)?kxc(x(2)?xo2o消除中间变量有()??xkckkxckxk???12o12o1i(3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有)()(??xxxxxckk????o2ioio1()??即cxcxxkkkx????o12oi1i 2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。
图（题2.3）解:(1)对图(a)所示系统,设为流过的电流,为总电流,则有i iR111i? idtuR??2o C2iuu?R?11oi1(i?i)dt?u?u?oi1C1消除中间变量,并化简有CR1()uCuuR?1??????11CCRR2ooo122221CR)(uuuCR????????12CCRR2ii1i1122(2)对图(b)所示系统，设i为电流，则有1i?idt?uuR??1oi C11?i?uRidt?2o C2消除中间变量,并化简有111())(??uuuu??R?RR??CCC122ioio1222.4 求图(题2.4)所示机械系统的微分方程。
2机械控制工程基础第二章答案
习 题什么是线性系统其最重要的特性是什么下列用微分方程表示的系统中,x o 表示系统输出,x i 表示系统输入,哪些是线性系统 (1) x x x x x ioooo 222=++&&& (2) x tx x xiooo222=++&&& (3) x x x x io222oo=++&&& (4) x tx x x xiooo222o=++&&& 解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。
该题中（2）和（3）是线性系统。
图（题）中三同分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程，图中x i 表示输入位移，x o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。
图(题 解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有 即xc x c c x m i&&&&121oo )(=++ (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有 消除中间变量有(3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有 即x k x c x k k x c iioo121)(+=++&&求出图(题所示电系统的微分方程。
图（题）解:(1)对图(a)所示系统,设i 1为流过R 1的电流,i 为总电流,则有 消除中间变量,并化简有u R C u CC R R u R C u R C u C C R R u R C iiiooo12211221222121211)()1(1+++=-+++&&&&&&&(2)对图(b)所示系统，设i 为电流，则有 消除中间变量,并化简有求图(题所示机械系统的微分方程。
图中M 为输入转矩,C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。
解：设系统输入为M （即），输出θ(即)，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：消除中间变量x,即可得到系统动力学方程KM M c Mm C R c k KJ c C km R cJ mC mJ mmm++=++-++++&&&&&&&&&θθθθ）（22)()()4( 输出y(t)与输入x(t)的关系为y(t)= 2x(t)+x 3(t)。
机械控制项目工程学习基础第二章答案解析
习题2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中，X o表示系统输出，X表示系统输入，哪些是线性系统？(1)x o 2 x o x o 2x o 2 x i (2)x o 2 x o 2tx o 2x i(3)x o 2 x o 2 x o 2 x i (4)x o 2 x o x o 2tx o 2 x i解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。
该题中（2）和（3）是线性系统。
2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程，图中xi 表示输入位移，xo表示输出位移，假设输出端无负载效应。
图(题2.2)解：（1）对图（a）所示系统，由牛顿定律有c1( x i x o) c2 x o mx o1U iU oR iii2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。
图(题2.3)解:(1)对图(a)所示系统，设i 1为流过R 的电流，i 为总电流贝y 有u oR 2imx o(c iC 2)x oC iXi(2)对图(b)所示系统，弓I 入一中间变量 X,并由牛顿定律有 消除中间变量有(X ix)k ic(x X o)C(x X o) k 2Xoc ( k ik 2)Xok ik 2Xo(3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有C ( X iX o) k i( X iX o )c Xo(k ik 2)X ocxi(1)ck iXik 2Xok iXi1 U iU o— (i ijdt C 1消除中间变量，并化简有1 )U oR 2U iTTUiC 22.4求图他2.4)所示机械系统的微分方程。
图中M 为输入转矩,C m 为 圆周阻尼，J 为转动惯量。
解：设系统输入为M (即),输出 ( 即 )，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：M J C mRk(R X) k(R X) mX cX消除中间变量 x ,即可得到系统动力学方程mJ (4)( mC mcJ ) ( R 2km C mc KJ ) k (c R 2C m)mM cM KM2.5 输出 y(t)与输入 x(t)的关系为 y(t)二 2x(t)+0.5 x 3(t)。
机械控制工程基础第二章2习题解答
题目：已知()t t f 5.0=，则其()[]=t f L 【 】A. 25.0s s +B. 25.0sC.221sD. s 21 分析与提示：由拉氏变换的定义计算，可得()[]215.0s t f L = 答案：C题目：函数f (t )的拉氏变换L[f(t)]= 。
分析与提示：拉氏变换定义式。
答案：dt e t f st ⎰∞-0)(题目：函数()atet f -=的拉氏变换L[f(t)]= 。
分析与提示：拉氏变换定义式可得，且f(t)为基本函数。
答案：as +1题目：若te t tf 22)(-=，则()=)]([t f L 【 】A.22+s B.3)2(2+s C.22-s D.3)2(2-s分析与提示：拉氏变换定义式可得，即常用函数的拉氏变换对，3)2(2)]([+=s t f L 答案：B题目：拉氏变换存在条件是，原函数f(t)必须满足 条件。
分析与提示：拉氏变换存在条件是，原函数f(t)必须满足狄里赫利条件。
答案：狄里赫利题目：已知()15.0+=t t f ，则其()[]=t f L 【 】A. 25.0s s +B. 25.0sC.s s1212+ D. s 21分析与提示：由拉氏变换的定义计算，这是两个基本信号的和，由拉氏变换的线性性质，其拉氏变换为两个信号拉氏变换的和。
()[]s st f L 115.02+= 答案：C题目：若()ss s s F ++=214，则()t f t ∞→lim )=( )。
【 】A. 1B. 4C. ∞D. 0分析与提示：根据拉氏变换的终值定理)(lim )(lim )(0s sF t f f s t →∞→==∞。
即有414lim )(lim 20=++=→∞→ss s st f s t答案：B题目：函数()t et f atωcos -=的拉氏变换L[f(t)]= 。
分析与提示：基本函数t ωcos 的拉氏变换为22ω+s s，由拉氏变换的平移性质可知()[]()22ω+++=a s as t f L 。
2机械控制工程基础第二章答案
习 题2.1 什么是线性系统其最重要的特性是什么下列用微分方程表示的系统中,x o 表示系统输出,x i 表示系统输入,哪些是线性系统 (1) x x x x x ioooo 222=++ (2) x tx x xiooo222=++ (3) x x x xio 222oo=++ (4) x tx x x xiooo222o=++ 解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。
该题中（2）和（3）是线性系统。
2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程，图中x i 表示输入位移，x o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。
图(题2.2) 解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有 即x c x c c xm i121oo )(=++ (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有 消除中间变量有(3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有 即x k x c x k k xc iioo121)(+=++ 2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。
图（题2.3）解:(1)对图(a)所示系统,设i 1为流过R 1的电流,i 为总电流,则有 消除中间变量,并化简有u R C u CC R R u R C uR C u C C R R u R C iiiooo12211221222121211)()1(1+++=-+++(2)对图(b)所示系统，设i 为电流，则有 消除中间变量,并化简有2.4 求图(题2.4)所示机械系统的微分方程。
图中M 为输入转矩,C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。
解：设系统输入为M （即），输出θ(即)，分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：消除中间变量x,即可得到系统动力学方程KM M c Mm C R c k KJ c C km R cJ mC mJ mmm++=++-++++ θθθθ）（22)()()4(2.5 输出y(t)与输入x(t)的关系为y(t)= 2x(t)+0.5x 3(t)。
2机械控制工程基础第二章答案
习 题2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,x o 表示系统输出,x i 表示系统输入,哪些是线性系统? (1) x x x x x ioooo222=++ (2) x tx x xiooo222=++ (3)x x x x io222oo=++ (4) x tx x x xiooo222o=++ 解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。
该题中（2）和（3）是线性系统。
2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程，图中x i 表示输入位移，x o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。
图(题2.2) 解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有xm x c x x c ioo2o1)(=-- 即 xc x c c x m i121o o )(=++ (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有)1()()(1x xc k x x oi-=- )2()(2x k x xc oo=-消除中间变量有 x ck x k k x k k cio121o21)(=--(3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有 xk x x k x x c ooioi21)()(=-+-即 x k x c x k k xciioo121)(+=++ 2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。
图（题2.3）解:(1)对图(a)所示系统,设i 1为流过R 1的电流,i 为总电流,则有 ⎰+=idt Ci R u o 122i R u u o i 11=- dt i i Cu u o i )(111⎰-=-消除中间变量,并化简有u R C u CC R R u R C uR C u C C R R u R C iiiooo12211221222121211)()1(1+++=-+++(2)对图(b)所示系统，设i 为电流，则有 ⎰++=idt Ci R u u o i 111⎰+=i R idt Cu o 221消除中间变量,并化简有 u Cu R u C C u R R iioo2221211)11()(+=+++2.4 求图(题2.4)所示机械系统的微分方程。
机械控制工程基础第二章答案解析
习 题2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,x o 表示系统输出,x i 表示系统输入,哪些是线性系统? (1) x x x x x ioooo 222=++ (2) x tx x xiooo222=++ (3) x x x xio 222oo=++ (4) x tx x x xiooo222o=++ 解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。
该题中（2）和（3）是线性系统。
2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程，图中x i 表示输入位移，x o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。
图(题2.2) 解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有xm x c x x c ioo2o1)(=-- 即x c x c c xm i121oo )(=++ (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有)1()()(1x xc k x x oi-=- )2()(2x k x xc oo=-消除中间变量有x ck x k k xk k c io121o21)(=-- (3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有 x k x x k x xc ooioi21)()(=-+-即x k x c x k k xc iioo121)(+=++ 2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。
图（题2.3）解:(1)对图(a)所示系统,设i 1为流过R 1的电流,i 为总电流,则有⎰+=idt Ci R u o122i R u u o i 11=-dti i Cu u oi)(111⎰-=-消除中间变量,并化简有u R C u CC R R uR C u R C u C C R R u R C iiiooo12211221222121211)()1(1+++=-+++(2)对图(b)所示系统，设i 为电流，则有⎰++=idtC i R u u oi111⎰+=i R idt Cu o221 消除中间变量,并化简有u Cu R u C C u R R iioo2221211)11()(+=+++2.4 求图(题2.4)所示机械系统的微分方程。
控制工程基础第2章答案.
第2章系统的数学模型(习题答案)2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。
2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。
2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程, 图中x i表示输入位移, x o表示输出位移, 假设输出端无负载效应。
题图2.3解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得[]于是传递函数为②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。
引出点处取为辅助点B。
则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x，可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：移项整理得系统微分方程对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。
+-+-C)(t u r )(t u c )(t r )(t x c f1k 2k CR)(t u r )(u c +-+-f)(t r )(t x c )(a )(b )(c )(d R 2R题图2.4【解】：)(a方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u cc r 1消去中间变量，整理得：dtdu RC u dt du RCrc c =+方法二：dtdu RC u dt du RCRCs RCs CsR R s U s U rc c r c =+⇒+=+=11)()( 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：cc r kx dt dxdt dx f =-)(dtdx k f x dt dx k f rc c =+⇒()r r c c r c u dtduC R u dt du C R R Cs R R Cs R Cs R R CsR s U s U +=++⇒+++=+++=221212212)(1111)()( 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程r rc c aa c a r c r x dtdx k f x dt dx f k k k k dt dx f x x k x x k x x k +=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=-22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。
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For pers onal use only in study and research; not for commercial use习题2.1什么是线性系统？其最重要的特性是什么？下列用微分方程表示的系统中，x。
表示系统输出，X表示系统输入，哪些是线性系统？（1）X o 2 X o X o 2 x^2 X i ⑵X o 2 X o 2tX o = 2 X i（3）X o 2 X o 2 x^2 X i ⑷X o 2 X o X o 2 tx^ 2 X i解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。
该题中（2）和（3）是线性系统。
2.2图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程，图中x表示输入位移，X。
表示输出位移，假设输出端无负载效应。
W7/(a)"///(b)图（题2.2）解：（1）对图（a）所示系统，由牛顿定律有c i（ X X。
）PX。
二mx。
即mx。
（ ° C2）x。
二c i X i（2）对图（b）所示系统，弓1入一中间变量（X x）k厂c（x-X,并由牛顿定律有（1）c(x- x°)= k z x。
(2)消除中间变量有c （ k i - k2）x。
- k i k2X o= ck i X i（3）对图（c）所示系统，由牛顿定律有c （ X 一x。
） k i（ x 一x。
） =k2x。
1 c x/ （ k i+ k2）*= cx+ k i X i2.3求出图（题2.3）所示电系统的微分方程。
RiUi(a)Ui图（题2.3）cl?RrUn Ri解:⑴对图(a)所示系统，设i 1为流过R 的电流，i 为总电流贝S 有叶R2i*u - u 。
二 R i ii1 .. u 「u 。
(i-ijdt C1消除中间变量，并化简有CRu 。
(1 g C 1) u 。
-R2C2= C1R2u ；+ (昏+g)⑵ 对图(b)所示系统，设i 为电流，则有1 u i 二 u 。
Ri idtC11 u 。
i d t R 2i C2消除中间变量，并化简有1 )u 。
二 R 2」uiC22.4求图他2.4)所示机械系统的微分方程。
图中M 为输入转矩,C m 为 圆周阻尼，J 为转动惯量。
1CR2u。
C 2R 1ui 1 i (R R 2)u 。
它 ©0 $匚題A 4)解：设系统输入为M (即)输出日(即)，分别对圆盘和质块进行动 力学分析，列写动力学方程如下：M =J C^ Rk(R - x) k(R - x)= mx ex消除中间变量x ，即可得到系统动力学方程mJ ⑷ (mC mcJ )二(Rkm 6c - KJ )二 k ( e R C m)二 mM cM KM2.5 输出 y(t)与输入 x(t)的关系为 y(t)二 2x(t)+0.5 x '(t)。
(1) 求当工作点为 为=°，冷=1，冷=2时相应的稳态时输出值； (2) 在这些工作点处作小偏差线性化模型，并以对工作的偏差来定 义x 和y ,写出新的线性化模型。
解:(1)将 x o =0，x o =1，X o =2 分别代入 y(t)= 2x(t)+0.5 x 3(t)中，即当工作 点为X o =°，x 0=l ，x 0=2时相应的稳态输出值分别为y o= 0 ,y 产2.5， y °= 8。
(2)根据非线性系统线性化的方法有，在工作点(x o ,y o )附近，将非线性函数展开成泰勒级数，并略去高阶项得32y 。
' y 二 2x 。
0.5 x 。
(2 1.5 x )|x =x 八 xz 2、■7y = ( 2 + 1 .5 x )l x = x 「w x若令 x = n Y 有 y = ( 2 1.5x ：) x 当工作点为冷=0时，y = ( 21.5x 0) x = 2x当工作点为 * = 1 时，y = ( 2 1.5x 0) x = 3.5x当工作点为冶=2时，y = ( 2 ■ 1.5x ：) x = 8x b p 2.6已知滑阀节流口流量方程式为 Q = CWXJ f ，式中.Q 为通过节流阀流口的流量；p 为节流阀流口的前后油压差；x v 为节流阀的位 移量；c 为疏量系数；w 为节流口面积梯度；「为油密度。
试以Q 与 p 为变量(即将Q 作为P 的函数)将节流阀流量方程线性化。
解：利用小偏差线性化的概念，将函数 Q=F(x v , p)在预定工作点F(x 。
，P 。
)处按泰勒级数展开为吓… . cFe … Q-F(X vo , P o )+()(X vo , P o )・ X v ( £ p )(X vo , P o )・ p +^X v消除高阶项，有C FcFQ_ F (X vo , P o ) () (X vo , P o ) N X v 十(如)(X vo , P o )*N P£X vP'Q = F(x v,p)- F(x vo,p o).:F= F(X vo,P o)+( )|(X vo,p o)N X v十(_^P)(X vo, P o)N p_ F (X vo, p o)^X v£F cF=()(X vo, P o)•可X v* (_^p)(X vo, P o)*灯pcF d F若令K-(J5P。
)，" (V)l(Xvo,po)，"Q = 八X v K2八p将上式改写为增量方程的形式Q 二Ki % K^p2.7已知系统的动力学方程如下，试写出它们的传递函数Y (s)/R(s)。
(1)y(t) 15y(t) 50y(t) 500y(t) = r(t) 2r(t)(2)5y(t) 25y(t)二0.5 r(t)(3)y(t) 25y(t厂0.5 r(t)(4)y(t) 3y(t) 6y(t) 4 y(t)dt二4 r(t)解：根据传递函数的定义，求系统的传递函数，只需将其动力学方程两边分别在零初始条件下进行拉式变换，然后求Y(s)/R(s)。
(1)3 22S Y(S ) 15S Y(S )50S Y(S ) 500丫(S ) = S R(S ) 2S R(S )「2sY (s)/R(s)=22S +15S 2+50S +50025S Y(S ) 25sY(s)=0.5sR(s)0.5SY(S )/R (S )=宀2S Y (S) 25S Y(S ) = 0.5R(S )丫(S)/R(S )=S 20：足S2Y(S ) 3S Y(S) 6丫(S ) 41Y(S )-4Y(S )S2.8如图(题2.8)为汽车或摩托车悬浮系统简化的物理模型, 试以位移x 为输入量，位移y 为输出量，求系统的传递函数Y(s)/X(s)。
k tbcII T 1 i iki/ V \/ \图(题2.8)4SY (S )/R (S )S 3 3S 2 6S 4血2.9试分析当反馈环节 H(s)=1,前向通道传递函数 G(s )分别为惯 性环节、微分环节、积分环节时，输入、输出的闭环传递函数。
解：由于惯性环节、微分环节、积分环节的传递函数分别为(3)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为积分环节时,2.10证明图(题2.10)与图(题2.3(a )所示系统是相似系统G(»KTs 1K,G(s) = Ts ，G(s)二s，而闭环传递函数为G B (S )二G(s) 1-G(s)・H，则(1)当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为惯性环节时,G B (S )二G(s) 1 G(s)-H(s)KTs 1 一K_ _ K Ts 1K Ts 1⑵当反馈环节H(s)=1,前向通道传递函数G(s)为微分环节时,G B (S ) =G(s) 1-G(s)・Ts 1 TsG B (S ) =G(s)1 G(s)-H(s)1KKs- K(4)(即证明两系统的传递函数具有相同形式)解：对题2.4(a)系统，可列出相应的方程。
1叶R2^idts 一R i ii1 u 「u 。
」 (i — i i)dt (3) Ci 对以上三式分别作Lapice 别换，并注意到初始条件为零，即I (0)=1 (0) = 0|i(0)「2(0) = 0贝yU o(s)=R 2l(s)'(S)C 2S=(R2I)I(s) C 2SJ U i(s)-U °(S )= R i| i(s )(5)U i(s )u (s )3 血C i s C i sOCiV X?7777/图(题2. 10)11 R ⑸沃 ,得——U i(s)—U o(s)〒旦l i (s) (7)C i sC i s 」 -C i s(6) R i，得 R iU i(s)-U o(s)二Ril⑸-Ri|i(s) (8)」 」C i s C i s(7) + (8)，得(丄+R i ) U(s) 7 0(9]=鱼1 (s) C i s 」 「C i sU i(s)=Uo(s)—R^l(s) i R i C i将(4)式中的U 0(S )代入(9)式U i(s)=(R 2 =)l(s) i R i C i=他+「+十鼻)l(s)C 2S i +R i C i s再用(4)式与上式相比以消去l(s ),即得电系统的传递函数为~、U o (s)G(s) i Ui(s)(R 2 —")l(s)C 2S (V R i C i s)Ui(s)u (吧品l(s)R ii R i C i 1 (s)(9)l(s)i(R 2 ——)l(s)C 2SR i1 R2 C2Sc + 1 + R iR2 C2S (1 R1C1S) 而本题中，引入中间变量x,依动力学知识有,(X i-X o)k/ (X i - X o)cr (x o-x )q(幷-X o)G= k1X对上二式分别进行拉式变换有k2]X i-X0(s)[+sc2 収i(s)-X o(s)]= X O(S)-X(S)X(s)严X0 (s)鶯k1+c1S消除X(s)有+_k2X o(s) k2 C2S C2sG(s) X i(s)k2 C2s 座k1 C1S C2 s 1 C1sk1比较两系统的传递函数有1 1k2 k1 b R2 0= R1C 2 C1故这两个系统为相似系统。
2.11 一齿轮系如图(题2.11)所示。
图中，Z1、Z2、Z3和Z4分别为各齿轮齿数；J1、J2、和J3表示各种传动轴上的转动惯量，卄、二2和二3为各轴的角位移；M m是电动机输出转矩。
试列写折算到电动轴上的齿轮系的运动方程。
图（题2. 11）2.12求图（题2.12）所示两系统的传递函数。
Xi (t)(a)晶闸管触发整流装置u^K k U c（ K s 为整流增益）图（题2.12）解：(1)由图(a)中系统，可得动力学方程为]x(t)-x o (t)mX o (t) + cx o (t)作Laplce 别换，得]X i (s)-x °(s) ]k = ms2X °(s)+csX o (s) 则有 G(sXX o (s)/X i (s)= k/(ms 2cs k )（2）由图（b ）中系统，设i 为电网络的电流，可得方程为ui =Ri +Ldt+J idtidt1U i(s)=RI(s) Lsl(s) I(s) Cs1 U o(s^ —I(s)Cs2.13某直流调速系统如图（题2.13）所示，U s 为给定输入量， 电动机转速n 为系统的输出量，电动机的负载转矩 T L 为系统的扰动 量。