重庆市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试卷文

2016年重庆一中高2017级高二下期期末考试
数 学 试 题 卷（文科）2016.7
数学试题共4页. 满分150分. 考试时间120分钟.
一. 选择题 (每小题5分, 共60分)
1. 已知集合{|31}A x x =-<<, 2{|20}B x x x =-≤, 则A B =I ( )
A ．{|01}x x <<
B ．{|01}x x ≤<
C ．{|11}x x -<≤
D ．{|21}x x -<≤
2. 已知向量(3,1)a =r
, (sin ,cos )b αα=r
, 且a r
∥b r
, 则tan α=( ) A. 3 B. 3- C.
13 D. 13
-
3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532S =，则3a =( ) A ．325 B ．2 C ．645
D ．532
4. 已知 1.120.5log 3,log ,0.9x y z π-===, 则 ( )
A ．z y x <<
B ．x y z <<
C ．x z y <<
D ．z x y <<
5. 已知:11p x -?, 2
:230q x x --?, 则p 是q Ø的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.将函数()2sin 2f x x =的图像向右移动ϕ(02
π
ϕ<<)个单位长度, 所
得的部分图像如右图所示, 则ϕ的值为( ) A.6π B. 3π C. 12
π D. 23π
7. 直线:8630l x y --=被圆2
2
:20O x y x a +-+=所截得的弦的长度为3, 则实数a 的值是( )
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2-
8. 右图的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法．若输入209m =, 121n =, 则输出的m 的值为( )
A. 0
B. 11
C. 22
D. 88
9. 设抛物线2
8y x =的焦点为F , 准线为l , P 为抛物线上一点, 且
PA l ⊥,A 为垂足, 如果直线AF 的斜率为1-, 则PF 等于( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．12
10. 若变量,x y 满足1
ln
0x
y
-=
, 则y 关于x 的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
11. 已知ABC ∆的内角,,A B C 对的边分别为a ,b ,c , 且sin 22sin A B C =,则cos C 的最小值等于( ) 62-
662+2
4
12. (原创) 已知定义在R 上的偶函数()g x 满足()(2)0g x g x +-=, 函数2
()1f x x
=-的图像是()g x 的图像的一部分. 若关于x 的方程2
2
()(1)g x a x =+有3个不同的实数根, 则
实数a 的取值范围为( ) A. 1(,)8+∞ B. 122(,
33 C. 2
)4
+∞ D. (22,3)
二. 填空题 (每小题5分, 共20分)
13. 复数z 满足(12)43z i i +=+, 则z =_______.
14. 若曲线2
ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴, 则a =________.
15. 若,x y 满足不等式⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≥+-≤-+10303y y x y x , 则3z x y =+的最大值为________.
16. (原创) 已知函数3
()1817sin f x x x x =++, 若对任意的R θ∈, 不等式 (sin 2)(12cos 2)0f a f θθ+++≥恒成立, 则a 的取值范围是____________.
三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. (原创) (本小题满分12分) 已知二次函数),()(2
R c b c bx x x f ∈++=, 若(1)(2)f f -=, 且函数x x f y -=)(的值域为[0,)+∞. (1) 求函数)(x f 的解析式; (2) 若函数()2x
g x k =-, 当[1,2]x ∈时, 记)(),(x g x f 的值域分别为B A ,, 若
A B A =U , 求实数k 的值．
18. (本小题满分12分) 随着电子商务的发展, 人们的购物习惯正在改变, 基本上所有的需求都可以通过网络购物解决. 小韩是位网购达人, 每次购买商品成功后都会对电商的商品和服务进行评价.
(1) 是否有的把握认为商品好评与服务好评有关? 请说明理由;
(2) 若针对商品的好评率, 采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易, 并从中选择两次交易进行观察, 求只有一次好评的概率.
2()0.15
0.100.050.0250.0100.0050.001
2.072 2.706
3.841 5.024 6.6357.87910.828
P K k k
≥
（2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++）
19. (本小题满分12分) 已知等差数列{}n a 满足153,15a a ==, 数列{}n b 满足
154,31b b ==, 设正项等比数列{}n c 满足n n n c b a =-.
(1) 求数列{}n a 和{}n c 的通项公式; (2) 求数列}{n b 的前n 项和.
20. (原创) (本小题满分12分) 已知函数()()ln x
x
f x e ax b e x =+-. (1) 若函数()f x 在1x =处取得极值, 且1b =，求a ;
(2) 若b a =-, 且函数()f x 在[1,)+∞上单调递增, 求a 的取值范围.
21. (原创) (本小题满分12分)
已知椭圆方程22221x y a b
+=(0a b >>)短轴长为2.
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 直线:l y kx m =+(0k ≠)与y 轴的交点为A (点A 不在椭圆外), 且与椭圆交于两个不同的点,P Q . 若线段PQ 的中垂线恰好经过椭圆的下端点B , 且与线段PQ 交于点C , 求ABC ∆面积的最大值.
请在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图,ABC ∆中90A ∠=︒,D ,E 分别为边AB , AC 上的点, 且不与ABC ∆的顶点重合. 已知AE 的长为m , AC 的长为n , AD , AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根.
(1) 证明: C B D E 、、、四点共圆;
(2) 若46m n ==，, 求C B D E 、、、所在圆的半径.
23. (原创) （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy 中, 直线l 的参数方程为是222()212
x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数, 以坐标原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. (1) 判断直线l 与曲线C 的位置关系;
(2) 在曲线C 上求一点P ,使得它到直线l 的距离最大,并求出最大距离.
24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设不等式2120x x -<--+<的解集为M , ,a b M ∈. (1)求集合M ;
(2) 比较14ab -与2a b -的大小, 并说明理由．
2016年重庆一中高2017级高二下期期末考试
数 学 答 案（文科）2016.7
一. 选择题
1-5: B A A D A 6-10: A B B B B 11-12: A A
二. 填空题
13. 2i + 14.
1
2
15. 11 16. [1,1]-
三. 解答题
17. 解: (1) 因为，)2()1(f f =-所以1-=b
因为函数22()2(1)1y f x x x x c x c =-=-+=-+-的值域为，),0[+∞ 所以故101c c -=⇒=．所以1)(2
+-=x x x f ；
(2) 易得[1,3]A =，[2,4]B k k =--，由A B A ⋃=,有B A ⊆，所以21
143k k k -≥⎧⇒=⎨-≤⎩
18. 解: (1)由上表可得2
2
200(80104070)11.11110.8281505012080
K ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯, 所以有99.9%的把握认为商品好评与服务好评有关
(2) 由表格可知对商品的好评率为3
5
,若针对商品的好评率, 采用分层抽样的方式从这200次
交易中取出5次交易, 则好评的交易次数为3次, 不满意的次数为2次, 令好评的交易为,,A B C , 不满意的交易,a b , 从5次交易中, 取出2次的所有取法为
(,),(,),(,),(,)A B A C A a A b ,(,),(,),(,),B C B a B b (,)C a , (,)C b , (,)a b , 共计10种情况, 其中只有一次好评的情况是(,)A a ,(,)A b ,(,)B a ,(,)B b ,(,)C a ,(,)C b , 共计6种情
况. 因此, 只有一次好评的概率为
63105
=.
19. 解: (1) 设等差数列{}n a 的公差为d , 依题意得51434153a a d d d =+⇒+=⇒=, 所以33(1)3n a n n =+-=.
设等比数列{}n c 的公比为q , 依题意得111431c b a =-=-=, 555311516c b a =-=-=,
从而44511612c c q q q =⇒=⨯⇒=, 所以11
122n n n c --=⨯=.
(2) 因为1
32n n n n n n n n c b a b a c b n -=-⇒=+⇒=+, 所以数列{}n b 的前n 项和为
121212(31)(62)(92)(32)(3693)(1222)(33)122123321
2
n n n n n S n n n n n n --=++++++++=++++++++++-=+
-+=+-L L L
20.解: (1) 1'()(ln )x f x e ax b x a x
=+-+-, 因为()f x 在1x =处取得极值, 所以'(1)0f =, 即21a b +=,又1b =,所以0a =.
(2) ()(ln )x
f x e ax a x =--,
11
'()(ln )(ln )x x f x e ax a x a e ax x x x
=--+-=--
()f x 在[1,)+∞上单调递增⇔'()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立
⇒1
ln 0ax x x
--≥在[1,)+∞上恒成立
法一：（分离参数法）则
2ln 1x a x x
≥+在[1,)+∞上恒成立 令2ln 1
()x g x x x =+, 下面求()g x 在[1,)+∞上的最大值.
24233
1
ln 1
11ln 2ln 2
'()2x x x x x x x g x x x x x x x
⋅-⋅---=-⋅=-=, 令()ln 2h x x x x =--, 则1
'()1(1ln )ln h x x x x x
=-⋅+⋅=-.
显然, 当1x ≥时, '()0h x ≤, 即()h x 单调递减, 从而()(1)1h x h ≤=-. 所以, 当1x ≥时, 0'()g x ≤, 即()g x 单调递减, 从而max ()(1)1g x g ==. 因此, 1a ≥.
法二: ()f x 在[1,)+∞上单调递增 ⇔ '()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立
即1
ln 0ax x x --≥在[1,)x ∈+∞上恒成立. 令1()ln g x ax x x
=--, 222111
'()ax x g x a x x x -+=-+=.
令2
()1h x ax x =-+ (1x ≥),
① 当0a =时, ()10h x x =-+≤, 所以'()0g x ≤, 即()g x 在[1,)+∞上单调递减. 而(1)110g a =-=-<, 与()0g x ≥在[1,)x ∈+∞上恒成立相矛盾. ②当0a >时,
ⅰ.
140a ∆=-≤, 即14
a ≥时, ()0h x >，即[)()0,1,g x x '>∈+∞，所以()g x 在[1,)+∞上递增,所以min ()(1)10g x g a ==-≥, 即1a ≥.
ⅱ.0∆>, 即1
04
a <<时, 此时(1)10g a =-<, 不合题意.
③ 当0a <时, [1,)x ∈+∞时, ()0h x <,即'()0g x <, [1,)x ∈+∞, 从而()g x 在[1,)+∞上单调递减, 且(1)10g a =-<, 矛盾. 综上可知：1a ≥.
21.解
: (1) 22
3122
c a a b b ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎩
, 因此椭圆的标准方程为2213x y +=. (2) 易得点
A 的坐标为(0,)m , 点B
的坐标为(0,1)-. 设
P ,Q
的坐标分别为
11(,)x kx m +, 22(,)x kx m +.
联立22
13y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 得222
(13)63(1)0k x kmx m +++-=, 从而122212
26133(1)13km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
. 易知线段PQ 的中点C 的横坐标为122
3213x x km
k +=-+, 纵坐标为21222321313x x k m m
k m m k k
++=-+=++. 因此, 点C 的坐标为22
3(,)1313km m
k k -++.
由题意知: BC PQ ⊥, 即22
(1)1
133013m
k km k k --+=---+, 从而2132k m +=.
因为直线与椭圆有两个不同的交点, 所以22
12(13)0m k ∆=-+>, 即2213m k <+. 从而
有2
2m m <, 即02m <<. 又知213122k m +=>, 因此1
22
m <<. 由点A 不在椭圆之外知, 11m -≤≤. 综上知, 1
12
m <≤.
故线段AB 的长度可表示为11AB m m =+=+, 点C 到线段AB 的距离可表示
为
2313km d k ===+. 进而ABC ∆的面积可表示为
11(1)22ABC S AB d m ∆=⨯⨯=⨯+=令32()231f m m m =+-, 则2
'()660f m m m =+>, 即()f m 在1(,1]2上单调递增.
从而2
ABC S ∆≤==,所以ABC V
面积的最大值为2.
注: ABC ∆的面积也可用k 表示为2
399(1)88
ABC S k k k k ∆=+=+
(03k <≤),
ABC S ∆关于k 单调递增,
从而291]8332ABC S ∆≤⨯+=,
所以0,2ABC S ∆⎛∈ ⎝⎦
, 所以ABC V
四. 选考题
22. (1)证明: 连结DE , 根据题意在ADE V 和ACB V 中, AD AB mn AE AC ⨯==⨯, 即
AD AC ＝AE
AB
, 又DAE CAB ∠=∠, 从而ADE ACB V V ∽. 因此ADE ACB ∠∠=, 所以,,,C B D E 四点共圆．
(2)46m n ＝，＝时, 方程2140x x mn -+=的两根为12212x x ==，,故212AD AB ＝，＝. 取CE 的中点G DB ，的中点F , 分别过G F ，作AC AB ，的垂线, 两垂线相交于H 点, 连结DH. 因为C B D E ，，，四点共圆, 所以C B D E ，，，四点所在圆的圆心为H , 半径为
DH .由于90A
∠︒＝, 故////GH AB HF AC ， , 从而512251
()2
HF AG DF ===
=，－.故C B D E ，，，四点所在圆的半径为52
23.解: (1)易得直线l 的方程为10x y --=,曲线C 的方程为2
2
(2)4x y +-=,圆心(0,2)C ,半径2r =,圆心C 到直线l 的距离021
222
d --=
=
>, 所以直线l 与曲线C 相离. (2)易得点P 到直线l 的最大距离为32
22
d r +=+, 过圆心且垂直于直线l 的直线方程为2y x =-+, 联立22(2)4
2
x y y x ⎧+-=⎨=-+⎩,
所以2
242x x =⇒=±易得点(2,22)P +
24.解: (1)证明: 记()3,
21221,213,1x f x x x x x x ≤-⎧⎪
=--+=---<<⎨⎪-≥⎩
,
由2210x -<--<, 解得1122x -<<, 则11,22M ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.
(2)由(1)得2211
,44a b <<.
因()()()()22222222
14418164241410ab a b ab a b a ab b a b ---=-+--+=-->,
所以22
144ab a b ->-, 故144ab a b ->-。