年高考数学北京卷文科试题及答案.doc

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2010年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．集合{}|03P x x =∈<Z ≤，{}
2|9M x x =∈Z ≤，则P M =
A ．{}12,
B ．{}012,,
C ．{}123,,
D ．{}0123,,,
2．在复平面内，复数65i +，23i -+对应的点分别为A ，B ．若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是
A ．48i +
B ．82i +
C ．24i +
D ．4i
+ 3．从{}12345,,,,中随机选取一个数为a ，从{}123,,中随机选取一个数为b ，则b a >的概率是 A ．
45
B ．35
C ．
25
D ．
15
4．若a ，b 是非零向量，且a b ⊥，a b ≠，则函数()()()
f x xa b xb a =+⋅-是 A ．一次函数且是奇函数
B ．一次函数但不是奇函数
C ．二次函数且是偶函数
D ．二次函数但不是偶函数
5．一个长方体去掉一个小长方体，所得集合体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视
图为
A ．
B ．
C ．
D ．
正（主）视图
侧（左）视图
6．给定函数①12
y x =，()12
log 1y x =+，③1y x =-，④12x y +=，其中在区间()01,上单调递减的函数的
序号是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④
7．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为 A ．2sin 2cos 2αα-+
B ．sin 3αα+
C ．3sin 1αα+
D ．2sin cos 1αα-+
8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点E ，F 在棱11A B 上，点Q 在棱CD 的中点，动点P 在棱AD 上，若1EF =，DP x =，1A E y =（x y ,大于零），则三棱锥P EFQ -的体积
A ．与x y ,都有关
B ．与x y ,都无关
C ．与x 有关，与y 无关
D ．与y 有关，与x 无关
第Ⅱ卷（选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．
9．已知函数2log 2
22x x y x x ,⎧=⎨-,<⎩
≥ 右图表示的是给定x 的值，求其对应的函数
值y 的程序框图．
①处应填写 ；②处应填写 ．
10．在ABC △中，若1b =
，c =23
C π
∠=，则________a =
11．若点()3P m ,到直线4310x y -+=的距离为4，且点P 在不等式23
x y +<表示的平面区域内，则m =_______．
12．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），
由图中数据可知________a =．若要从身高在[)120130,，[)130140,，[140150],三组内的学生中，
用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[]140150,内的学生中选取的人数应为________．
13．已知双曲线22221x y a b
-=的离心率为2，焦点与椭圆22
1259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标
为 ；渐近线方程为 ．
14．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，设顶点(,)P x y 的纵坐标与横坐标的函数关系式是
()y f x =，则函数()f x 的最小正周期为_____；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域
的面积为_______．
说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC 沿x 轴负方向滚动．
三、解答题．本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）
已知函数2()2cos2sin f x x x =+ （Ⅰ）求π3f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值．
16．（本小题共13分） 已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式．
17．（本小题共14分）
如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF AC ∥，AB ，1CE EF ==． （Ⅰ）求证：AF ∥平面BDE ；
（Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDE ； 18．（本小题共13分）
设函数()()3
203
a f x x bx cx d a =
+++>，且方程()90f x x '-=的两个根分别为1，4．
（Ⅰ）当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若()f x 在()-∞,+∞内无极值点，求a 的取值范围． 19．（本小题共14分）
已知椭圆C
的左、右焦点坐标分别是()0
，
)
y t =与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ，圆心为P ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；
（Ⅲ）设()Q x y ,是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值． 20．（本小题共13分）
已知集合()12n n S X X x x x ==,,
,，{}()01|122i x i n n ∈,=,,,≥ ．
对于()12n A a a a =,,,，()12n n B b b b S =,,
,∈，定义A 与B 的差为
()1122n n A B a b a b a b -=-,-,
,-；
A 与
B 之间的距离为()1
n i i i d A B a b =,=-∑．
（Ⅰ）当5n =时，设()01001A =,,,,，()11100B =,,,,，求A B -，()d A B ,； （Ⅱ）证明：n A B C S ∀,,∈，有n A B S -∈，且()()d A C B C d A B -,-=,；
（Ⅲ）证明：n A B C S ∀,,∈，()d A B ,，()d A C ,，()d B C ,三个数中至少有一个是偶数．
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2010年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．B 2．C 3．D 4．A 5．C
6．B 7．A 8．C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．2x < 2l o g y x = 10．1 11．3- 12．0.030 3
13．()40±,
0y ±=
14．4
π1+
三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分）
解：（Ⅰ）2π2ππ312cos sin 133344f ⎛⎫
=+=-+=- ⎪⎝⎭
．
（Ⅱ）()()()
2222cos 11cos f x x x =-+-
23cos 1x =-，x ∈R ．
因为[]cos 11x ∈-,，
所以，当cos 1x =±时，()f x 取最大值2；当cos 0x =时，()f x 取最小值1-．
16．（共13分） 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．
因为36a =-，60a =， 所以11
2650.a d a d +=-,
⎧⎨+=⎩
解得110a =-，2d =．
所以()1012212n a n n =-+-⋅=-． （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．
因为212324b a a a =++=-，18b =-， 所以824q -=-，即3q =． 所以{}n b 的前n 项和公式为()()114131n n n b q S q
-=
=--．
17．（共13分）
证明：（Ⅰ）设AC 与BD 交于点G ．
因为EF AG ∥，且1EF =1
12
AG AC =
=． 所以四边形AGEF 为平行四边形． 所以AF EG ∥．
因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， 所以AF ∥平面BDE ．
（Ⅱ）连结FG
因为EF CG ∥，1EF CG ==，且1CE =， 所以四边形CEFG 为菱形． 所以CF EG ⊥．
因为四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥． 又因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，
且平面ACEF 平面ABCD ，
所以BD ⊥平面ACEF ． 所以CF BD ⊥． 又BD EG G =，
所以CF ⊥平面BDE ．
18．由()3
23
a f x x bx cx d =
+++得()22f x ax bx c '=++． 因为()29290f x x ax bx c x '-=++-=的两个根分别为1，4， 所以290168360a b c a b c ++-=⎧⎨++-=⎩
⑴
（Ⅰ）当3a =时，由⑴式得2608120.b c b c +-=,
⎧⎨++=⎩
解得3b =-，12c =．
又因为曲线()y f x =过原点，所以0d =． 故()32312f x x x x =-+． （Ⅱ）由于0a >，所以“()3
23
a f x x bx cx d =
+++在()-∞,+∞内无极值点”等价于 “()220f x ax bx c '=++≥在()-∞,+∞内恒成立”． 由⑴式得295b a =-，4c a =．
又()()()2
24919b ac a a ∆=-=--． 解()()09190a a a >,⎧⎪⎨∆=--⎪⎩
≤得[]19a ∈,，
即a 的取值范围是[]19,．
19．（共14分）
解：
（Ⅰ）因为c a
，且c =
所以a
1b ．
所以椭圆C 的方程为2
213
x y +=．
（Ⅱ）由题意知()0P t ,()11t -<<．
由22
13
y t x y =,⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得
x = 所以圆P
当圆P 与x
相切时，t =
解得t =． 所以点
P 的坐标是0⎛,± ⎝⎭
． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P 的方程为()()
2
2231x y t pt +-=．因为点()Q x y ,在圆P 上，
所以
y t t = 设cos t θ=，0πθ∈,，则
cos t θθ
π2sin 6θ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
当π3θ=，即1
2
t =，且0x =时，y 取最大值2．
20．（共13分）
（Ⅰ）解：()()011101001010101A B -=-,-,-,-,-=,,,,．
()01110100103d A B ,=-+-+-+-+-=．
（Ⅱ）证明：设()12n A a a a =,,,，()12n B b b b =,,,，()12n n C c c c S =,,
,∈．
因为i a ，{}01i b ∈,，所以{}01i i a b -∈,()12i n =,,,．
从而()1122n n n A B a b a b a b S -=-,-,
,-∈．
又()1
n i i i i i d A C B C a c b c =-,-=---∑． 由题意知i a ，i b ，{}()0112i c i n ∈,=,,,．
当0i c =时，i i i i i i a c b c a b ---=-；
当1i c =时，()()11i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-． 所以()()1n
i i i d A C B C a b d A B =-,-=-=,∑．
（Ⅲ）证明：设()12n A a a a =,,,，()12n B b b b =,,,，()12n n C c c c S =,,,∈，
()d A B k ,=，()d A C l ,=，()d B C h ,=．
记()000n O S =,,
,∈，由（Ⅱ）可知
()()()d A B d A A B A d o B A k ,=-,-=,-=， ()()()d A C d A A C A d O C A l ,=-,-=,-=， ()()d B C D B A C A h ,=-,-=．
所以()12i i b a i n -=,,,中1的个数为k ，()12i i c a i n -=,,,中1的个数为l ．
设t 是1i i i i b a c a -=-=是成立的i 的个数，则2h l k t =+-． 由此可知，k ，l ，h 三个数不可能都是奇数．
即()d A B ,，()d A C ,，()d B C ,三个数中至少有一个是偶数．。