论文多项式的因式分解的方法

多项式的因式分解的方法
摘要：在数学学习过程中，常常遇到多项式因式分解问题，本文对一元多项式因式分解的方法进行了初步的探索，归纳了一元多项式因式分解的12种方法，给出具体实例，并对每种方法加以评论。

关键词：一元多项式，因式分解
Abstract: In mathematics learning process, often encountered polynomial paper factoring decomposition method of factoring decomposition unary polynomial conducts a preliminary exploration of the dollar, puts forward the 12 species, the method of factoring decomposition polynomial actual examples are given, and comment of each method, let the reader more understandable.
Key Words: A dollar polynomial , factoring
多项式在高等代数中的重要性使我们有必要对多项式进行深入研究。

在高等代数中已经证明了数域上的多项式环内的每一个(n n ＞)0次多项式都可以分解成这个多项式环内不可约多项式的乘积，并且表达式唯一（因式次序及零次因式的差异除外）。

本文将对多项式因式分解的方法进行总结归纳。

多项式因式分解的方法很多，但具体到某一个多项式，要针对其特征，选取适当的方法，才能提高解题的效率。

所以我们要灵活掌握这些方法，这会为我们解题带来很多方便。

１ 求根法
（参见文献[]2）设多项式()x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- 是整系数多项式， 第一步 写出首项系数n a 的全部因数i v ，s i ,,2,1 =； 第二步 写出常数项0a 的全部因数j u ，t j ,2,1=； 第三步 用综合除法对
j i
u v 试验，确定()x f 的根；
第四步 写出()x f 的标准分解式。

解 先把它转换成求()x f =251074234-+++x x x x 的有理根。

()x f 的常数项和首项系数的全部因数分别为1±，2±与1±，2±，4±,则需要检验的有
理数为1±，2±，12±，1
4
±.
由于()1-f =0，故-1是()x f 的根，且易知()x f =()()
2734123-+++x x x x . 按照同样的方法可求()x g =273423-++x x x 的有理根，易知()x g 的有理根为
41，且4
1
是()x g 的单根。

∴251074234-+++x x x x =()()8444112++⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+x x x x
=()()()
21412++-+x x x x .
例2 求()x f =3261514x x x -+-在有理数域上的因式分解式。

解 先把它转换成求()x f =3261514x x x -+-的有理根。

由于()f x 是首项系数是1的整系数多项式，如果有有理根，必为整数根，且为常数项-14的因数。

由于-14的因数为1±，2±，7±，14±，经检验知()14f =-，()136f -=-，()20f =，
()272f -=-， ()7140f =，()7756f -=-， ()141764f =，()144144f -=-. 故2是()x f 的有理根，又由综合除法，得
2 1 -6 15 -14 2 -8 14 2 1 -4 7 0
2 -4 1 -2 3
可见2是()x f 的单根，所以()x f =()()2247x x x --+.
２ 待定系数法
解 ()x f 的首项系数1的因子有1±，常数项-4的因子有1±，2±，4±，故()x f 的根有可能是1±，2±，4±，将其代入()x f 逐一检验，得出-1和4是()x f 的有理根。

不妨设()x f =()()()32141x x x ax bx +-+++，利用多项式乘法法则将右边展开且合并同类项，得()x f =()()()()5432343134344x a x b a x b a x b x +-+--+--+---.
与()5321020154f x x x x x =----进行逐项比较，得3a b ==. 所以，()x f = ()()()3214331x x x x x +-+++=()()4
14x x +-.
３ 重因式分离法
（参见文献[]1）数域P 上任一次数大于0的多项式()x f 都有唯一的标准分解式
()x f ()()()x p x p x ap s r
s r
r
2121= （*）
其中a 为()x f 的首项系数，()()x p x p s 1是P 上首项系数为1的不可约多项式且两两互
异，s r r r ,,21 都是正整数。

对（*）式两边求导，得
()()()()()1211112··s r r r s f x a g x p x p x p x ---'= ， 其中每个()x p i 都不能整除()x g ，用辗转相除法求出
()()()=
'x f x f ,()()()x p x p x p s
r s r r 1121
12
1
--- ，
则存在()x q ()()()x p x p x ap s 21=使()x f =()()()x f x f ',()x q ，由此可见()x q 和()x f 具有完全相同的因式，差别只是()x q 中的因式的重数为1，所以求()x f 的因式就可以转化成求()x q 的因式。

例4 求多项式()x f 5321020154x x x x =----在有理数域上的标准分解式。

解 由()x f '425304015x x x =---，()()()x f x f ',13323+++=x x x ， 得
()=x g ()/x f ()()()x f x f ',432--=x x ，
所以()x g 的不可约因式为1,4+-x x . 但是
()()()x f x f ',()31+=x ，
由重因式定理，1+x 是 ()x f 的4重因式，所以 ()()()414
-+=x x x f .
例5 求多项式()x f 765432268176208x x x x x x x =+--++-+在有理数域上的标准分解式。

解 由()x f '=654327123032511220x x x x x x =---++-，用辗转相除法，得
()()()x f x f ',=5432584x x x x x +--+-.
于是
()q x =()/x f ()()()x f x f ',=()()2212x x x x +-=-+.
由于()x f 与()q x 有完全相同的不可约因式1x -，2x +，可见()x f 有根1，-2，再用综合除法
1 1
2 -6 -8 17 6 -20 8 1
3 -3 -11 6 12 -8 1 1 3 -3 -11 6 12 -8 0 1
4 1 -10 -4 8 1 1 4 1 -10 -4 8 0 1
5
6 -4 -8 1 1 5 6 -4 -8 0 1 6 12 8
1 1 6 1
2 8 0 1 7 19 1 7 19 27
可见1是()x f 的四重根，-2是()x f 的三重根。

所以()x f =()()4
3
12x x -+.
４ 利用矩阵的初等行变换法
（参见文献[]6）因为 ()()1001f x f x ⎡⎤⎢⎥'⎣⎦−−−−→初等行变换()()()()(),0f x f x u x v x ⎡⎤
'⎢⎥**⎢⎥⎣⎦
，并且()(),u x v x 满足()()()x f x f ',=()()()()u x f x v x f x '+，所以可根据以上过程求出
()()()x f x f ',，再用方法三求出多项式()x f 标准分解式。

例6 求()x f 5321020154x x x x =----在有理数域上的标准分解式。

解 由()53242
102015410568301x x x x x x x ⎡⎤----⎢⎥---⎢⎥⎣⎦−−−−→初等行变换
32
424121241516830
5x x x x x x x ⎡⎤-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦−−−−
→初等行变换
322
1331420
3340420x x x x x x x ⎡⎤
+++-⎢⎥⎢
⎥--++⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦
易见，()()()x f x f ',13323+++=x x x =()3
1x +， 又因为()/x f ()()()x f x f ',432--=x x =()()41x x -+， 所以 ()()()414
-+=x x x f .
５ 利用行列式的性质
（参见文献[]5）在高等代数中，行列式是一个较好的工具，我们可以巧妙地运用行列式的相关性质对一些多项式进行因式分解.我们知道二阶行列
2111a a 22
12
a a =21122211a a a a -，
由此启发，可以将一个多项式F 表示成2个新的多项式的差，而每个新的多项式又可表成2个多项式的乘积，即F=MN-PQ ，也即是
F=
Q M N
P
, 这样就把多项式F 转换成二阶行列式的形式，然后再对这个二阶行列式进行初等变换，提出因式。

例7 对多项式20246234--+-x x x x 进行因式分解。

解 原式=()
()x x x x 6546122+-++
=
4
2x
2
6165x x x +++
=24
4x - 22614x
x x +-- =()
42
-x 41 2
611
x x ++-
=(
)42-x ()
562++x x =()()()()5122++-+x x x x . 把202462
3
4
--+-x x x x 转化为
4
2x
2
6165x x x +++，而不是其它形式，是为了在接下来
的初等变换中，提出公因子()
42-x 。

这种化为二阶行列式进行因式分解的方法技巧性较强，关键在于如何把原多项式转化成恰当的二阶行列式，操作有点难度，不便通用。

下面介绍一种比较一般的方法。

对任意的一元n 次多项式
()=x P 0111a x a x a x a n n n n ++++--
均可写成n 阶行列式的形式
()=
x P 0
1
22
1
10000100000
1n n n x
x x
a a a a a x a -----+
在此基础上，利用行列式性质，通过降阶和提取公因式的方法分解。

例8 对多项式()x f =4325241511824x x x x +--+进行因式分解。

解 ()x f =100010
0012411815524
x x x x -----+
=21
012411852415
x
x x x ---+- =()51x -5150
1242
5
x
x x x -+ =-()
51x -2
1
2452x x x ---+ =()
351x -()2
1
18523
x
x x +- =()352x -21
13
1528333
x
x x x +++
=()
51x -()()
3
8
32x x x x ++-
=()3x +()
51x -1
82
x x +
=()3x +()51x -()()42x x +-.
６ 利用单位根的性质
（参见文献[]4）复数1的n 次根，即多项式()1n f x x =-的n 个复根，称为n 次单位根。

n 次单位根是()22cos
sin 0,1,2,,1k k i i n n n
ππ
ε=+=- 。

单位根在复数域中有特殊的地位，具有许多独特的性质。

下面我们利用它来求多项式()1221n n f x x x x x --=+++++ 在复数域、实数域或有理数域上的标准分解式。

例9 求()7621f x x x x x =+++++ 在实数域上的标准分解式。

解 因为()()811x f x x -=-，所以先求81x -在实数域上的标准分解式。

81x -的8个单位根是0cos0sin 01i ε=+=，1cos
sin
4
4
22
i π
π
ε=+=
+，
2cos
sin
2
2
i i π
π
ε=+=，333cos
sin 4422i ππε=+=-+，
4cos sin 1i εππ=+=-，555cos
sin 4422
i ππε=+=--，
633cos
sin 22i i ππε=+=-，777cos sin 44i ππε=+= ， 其中04,εε是实根，其余都是虚根，1ε与7ε共轭，2ε与6ε共轭，3ε与5ε共轭。

又由于17εε+=1ε·71ε=，2·ε61ε=，260εε+=，35εε+=3ε·51ε=， 所以在实数域上的标准分解式为
8
1x -=()()()()()()
7
2220
11111i i x x x x x x ε=-=+-++++∏.
从而得到()f x 在实数域上的标准分解式为
()
f x =()()()()
2221111x x x x ++++.
值得注意的是，利用单位根分解因式的方法局限性很大，仅适用于
()1221n n f x x x x x --=+++++ 和()1n f x x =-在指定数域上的标准分解 式。

７ 利用复根进行分解
（参见文献[]2）形如多项式21n x -，211n x +-，21n x +，211n x ++在[]R x 中的因式分解利用复根进行分解。

因为()21
01,k m i m
m
k k k x x w w e
π
-=-=-=∏，其中1211,,,,n w w w - 为1的m
次单位根。

又因为实系数多项式复根共轭出现，而
()()2
22cos
1k m k k x w x w x x m π-⎛⎫
--=-+ ⎪⎝
⎭
， 当m 为偶数时，1±均为根；当m 为奇数时，只有1为根，即
当2m n =时，21n
x -=()1
2
2112cos 1n k k x x x n π-=⎛⎫
--+ ⎪⎝
⎭∏；
当21m n =+时，有21
1n x
+-=()1
21212cos 121n k k x x x n π-=⎛⎫
--+ ⎪+⎝
⎭∏；
同理 ()210
1,k m i
m
m
k k k x x e
ππ
δδ+-=+=-=∏ ,
当m 为偶数时，无实根；当m 为奇数时，只有-1为根，即
当2m n =时，21n
x +=21212cos 12n
k k x x n π=-⎛⎫
-+ ⎪⎝
⎭∏，
当21m n =+时，21
1n x
++=()1
2112cos 1n k k x x x n π-=⎛⎫
+-+ ⎪⎝
⎭∏.
例10 求出41x +复数域、实数域上的分解式。

解 由41x +=0得，4cos sin x i ππ=+，则
22cos
sin
4
4
k k x i ππ
ππ
++=+，k ＝0，1，2，3。

即
122x =
+
，222x =-+，
322x =-
-
，422
x =-. 所以41x +复数域、实数域上的分解式分别为
41x +
=
2222x x ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-+--+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣
⎦2222x x ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
=(
)()
2211x x -++.
８ 与首末两项等距离的项的系数相等且最高次是偶数的多项式的因式分解方法
（参见文献[]3）设多项式
()f x =11
22
111
2
2
m m m
m m m m m m m a x a x
a x a x
a x a ----++++++++ ，
把()f x 的各项除以2
m x ，并转化为方程得
12211122
221110m m m m m m m
m
a x a x a x a x x x --+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++++++= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭ ① 再用换元法,令1x y x +
=，22212x y x +=-，()3231
3x y y x
+=-， 再将其代入①，求出x 、y 的值，再写出()f x 的分解式。

例11 在实数域上分解多项式432231632x x x x +-++. 解 把多项式的各项除以2x ，经整理，转化为方程
()()222131160x x x x +++-= .
用换元法,令1x x y +=，有22212x x y +=-， 代入得 ()2223160y y -+-=，即223200y y +-=， 解之得 1252,4y y ==- .
于是 152x x += 或 14x x +=-，
解之得 12x =，212x =
，32x =-
42x =- .
所以 432231632x x x x +-++=()(
)(
221222x x x x --++
=()(
)(
22122x x x x --++ .
９ 与首末两项等距离的项的系数相等且最高次是奇数的多项式的因分解方法
（参见文献[]3）这种多项式的特点是-1是它们的根。

设这种多项式为()f x ，()f x =()()1x g x +，再用方法八求出()g x 的分解式。

例12 在有理数域上分解多项式543225131352x x x x x +--++.
分析 这是与首末两项等距离的系数相等而最高次数是奇数，所以1x =-是543225131352x x x x x +--++的根，从而原多项式可以化为
()()4321231632x x x x x ++-++.
下面分解多项式432231632x x x x +-++.
把多项式432231632x x x x +-++的各项除以2x ，经整理，转化为方程
()()222131160x x x x +++-=.
用换元法, 令1x x y +=，有22212x x y +=-，
代入得
()2223160y y -+-=，
即
223200y y +-=，
解之得
1252,4y y ==-，
于是
152x x += 或 14x x +=-，
解之得
12x =，212x =，32x =-42x =-。

所以
432231632x x x x +-++
=()()(221222x x x x --++
=()()(22122x x x x --++.
所以
543225131352x x x x x +--++=()()()(122122x x x x x +--++.
10 各项系数和等于0的多项式的因式分解
（参见文献[]3）这种多项式的特点是1是它们的根。

设这种多项式为()f x ，()f x =()()1x g x -，再对()g x 进行因式分解。

例13 在有理数域上分解多项式43225412x x x x +++-.
解 多项式的各项系数和为1+2+5+4-12=0，因此,1x =必为
43225412x x x x +++-=0的根，因此由综合除法可得 1 1 2 5 4 -12
1 3 8 12
1 3 8 1
2 0 所以多项式可化为
()()3213812x x x x -+++.
接着对323812x x x +++进行因式分解，我们先把它转化为求()f x =323812x x x +++的有理根。

由于()f x 是首项系数是1的整系数多项式，如果有有理根，必为整数根，且为常数项12的因数。

由于12的因数为1,2,3,4,6,12±±±±±±，显然，
1，2，3，4，6，12不是()f x 的有理根，又经检验知
()16f -=，
()20f -=， ()312f -=-， ()436f -=-， ()6144f -=-，()121380f -=-. 故-2是()f x 的有理根。

又由综合除法，得
-2 1 3 8 12
-2 -2 -12
-2 1 1 6 0
-2 2
1 -1 8
可见，-2是单根。

所以
()f x =323812x x x +++=()()226x x x +++.
所以
43225412x x x x +++-=()()()2126x x x x -+++.
例14 在有理数域上分解多项式5432221x x x x x +-+--.
分析 这是与首末两项等距离的项的系数成相反数，必然有系数和等于0，所以1是54322210x x x x x +-+--=的根，所以多项式可以化为
()()43213231x x x x x -++++ ，
下面分解多项式4323231x x x x ++++ .
把多项式4323231x x x x ++++的各项除以2x ，经整理，转化为方程
()()2213120x x x x ++++=.
用换元法 ,令1x x y +=，有
22212x x y +=-，
代入得()22320y y -++=，即230y y +=，
解之得
120,3y y ==-.
于是
10x x += 或 13x x +=-，
解之得
1x i =，2x i =-，3x =，4x =. 所以
432
3231x x x x ++++=()()3322x i x i x x ⎛-+-+-+ ⎝⎭⎝⎭
=()21x x x ⎛+ ⎝⎭⎝⎭
. 故
5432221x x x x x +-+--
=()()2
11x x x x ⎛-+ ⎝⎭⎝⎭ =
()()()221131x x x x -+++.
11 一元三次多项式因式分解的方法1 (分组分解法)
（参见文献[]5）此方法是通过加项、减项或者拆项把一元三次多项式分解成二组，然后分别进行因式分解，再提取公因式，整理后再进行分解。

例15 将多项式()x f =3246x x x -++在有理数域上进行因式分解。

解 原式=()()32223246x x x x x --+-++
=()()2223223x x x x x -----
=()()2223x x x ---
=()()()213x x x -+-.
12 一元三次多项式因式分解的方法2( 赋10还原法)
（参见文献[]5）这种方法实质是一种探索性猜想与演绎。

我们猜想此多项式的分解式可能是三个一次因式的乘积，也可能是一个一次因式与一个二次因式的乘积，再通过特例来进行演绎以验证猜想的合理性。

这里令10x =代入计算出结果，再将其分解成各个质因数的乘积，经试探之后，合理组合成三个因数或者二个因数的乘积，然后把它拆成10（或者10的倍数）与其余数的和或者差，再把10还原成x ，经多次探索、验证之后可得到答案。

例16 将多项式3246x x x -++在有理数域上进行因式分解。

解 设()x f =3246x x x -++，则()310104f =-·
210106++=616=32·7·11, 注意到3x 的系数为1，可将()10f 重新组合得()108f =·
7·11=()()()102103101--+， 猜想()x f =()()()231x x x --+，经验证可知，此分解是正确的。

例17 将多项式3221x x --在有理数域上进行因式分解。

解 设()x f =3221x x --，则()102f =·
3210101--=1899=23·211, 因为211是质数，不能再分解。

经探索可知，原多项式不可能分解成三个一次因式的乘积，可将()10f 适当重新组合成
()109f =·
211=()101-(2·)210101++， 猜想()x f =()()2121x x x -++，经验证可知，此分解是正确的。

以上我们介绍了一元多项式因式分解的方法。

其中方法一（求根法）：书写简洁，思路清晰，不容易出错，但它必须建立在多项式有有理根的基础上，且若多项式需要检验的因子很多，而每个因子都要做一次相应的除法，这就给计算增加了一些麻烦，所以当可能的有理根比较少时采用综合除法；方法二（待定系数法）：比较基础，也比较直接，但会涉及求解方程组，计算量往往也不小，只有预先观察多项式的最高次项系数与常数项系数，同时找出多项式的有理根，才能有效降低待定系数法的难度；方法三（重因式分离法）及方法四（矩阵的初等行变换法）是线性代数中的两个基本方法，用途非常广泛，但它们都是建立在多项式有重因式的基础上，如果多项式没有重因式的话，这两种方法都无法使用；方法五（行列式法）和方法六（单位根法）的观念比较新颖，但技巧性较强，操作有一定的难度，即是说，我们在进行多项式的因式分解时，行列式法和单位根法可以作为备用方法，但不是首选方法。

本文还列出了典型且特殊的多项式分解因式的方法，如方法七至方法十二。

参考文献
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