数学_2011年安徽省淮南市高考数学一模试卷(文科)(含答案)

2011年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1. 已知U={2, 3, 4, 5, 6, 7}，M={3, 4, 5, 7}，N={2, 4, 5, 6}，则（）
A M∩N={4, 6}
B M∪N=U
C (∁U N)∪M=U
D (∁U M)∩N=N
2. 若将复数1+i
1−i
表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b=()
A 0
B 1
C −1
D 2
3. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()
A ①②
B ①③
C ①④
D ②④
4. 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是()
A f(x)=x2
B f(x)=1
x
C f(x)=x4
D f(x)=sinx
5. 若x∈(e−1, 1)，a=lnx，b=(1
2
)lnx，c=e lnx，则( )
A b>c>a
B c>b>a
C b>a>c
D a>b>c
6. 已知函数f(x)=(x−a)(x−b)（其中a>b）的图象如图所示，则函数g(x)=a x+b的图象是（）
A B C D
7. 抛物线x=1
m y2的准线与双曲线x2
12
−y2
4
=1的右准线重合，则m的值是（）
A −8
B −12
C 4
D 16
8. 若实数x ，y 满足不等式组：{x −y ≥−1
x +y ≥13x −y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是
（ ）
A 3
B √52
C 2
D 2√2
9. 给出命题：
(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；
(2)设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l ⊥α，l // m ，则m ⊥α；
(3)已知α，β表示两个不同平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的充要条件；
(4)a ，b 是两条异面直线，P 为空间一点，过P 总可以作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一个平行．
其中正确命题个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3
10. 已知直线x =2及x =4与函数y =log 2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y =lgx 图象的交点分别为C ，D ，则直线AB 与CD( )
A 相交，且交点在第I 象限
B 相交，且交点在第II 象限
C 相交，且交点在第IV 象限
D 相交，且交点在坐标原点
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11. 设α是第三象限角，tanα=5
12，则cosα=________．
12. 已知定义在R 上的函数f(x)满足：f(x)⋅f(x +2)=13，若f(1)=2，则f(2011)=________．
13. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2+2n −1，则a 1+a 3+a 5+...+a 25＝________． 14. 点G 是△ABC 的重心，AG →
=λAB →
+μAC →
，(λ, μ∈R)，若∠A =120∘，AB →
⋅AC →
=−2，则|AG →
|最小值为________．
15. 已知函数f(x)={e −x −2,(x ≤0)
2ax −1,(x >0) (a 是常数且a >0)．对于下列命题：
①函数f(x)的最小值是−1； ②函数f(x)在R 上是单调函数；
③若f(x)>0在[1
2,+∞)上恒成立，则a 的取值范围是a >1；
④对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f(x 1+x 22
)<
f(x 1)+f(x 2)
2
．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16. 已知函数f(x)=cos2x−sin2x+2√3sinxcosx+1．
（1）已知：x∈[−π
2，π
3
]，求函数f(x)单调减区间；
（2）若函数f(x)按向量a→平移后得到函数g(x)，且函数g(x)=2cos2x，求向量a→．
17. 某中学的高二(1)班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一
个4人的课外兴趣小组．
(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从
小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
(3)试验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二次做
实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．
18. 如图是以正方形ABCD为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，
四边形EFGH为截面，且AB=BC=√2，AE=1，BF=DH=2，CG=3
（1）证明：截面四边形EFGH是菱形；
（2）求几何体C−EFGH的体积．
19. 已知函数f(x)=ex−ln x．
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若在区间[1
e
,e]内存在x0，使不等式f(x)<x+m成立，求m的取值范围．
20. 已知等比数列{a n}满足：2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（I）求数列{a n}的通项公式；
（II）若b n=a n log21
a n
，S n=b1+b2+...+b n，求2n+1−S n>60n+2成立的正整数n的
最小值．
21. 已知椭圆C的方程是x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)，点A，B分别是椭圆的长轴的左、右端点，
左焦点坐标为(−4, 0)，且过点P(3
2,5
2
√3)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知F是椭圆C的右焦点，以AF为直径的圆记为圆M，试问：过P点能否引圆M的切线，
若能，求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形的面积；若不能，说明理由．
2011年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）答案
1. B
2. B
3. D
4. D
5. A
6. A
7. B
8. C
9. B
10. D
11. −12
13
12. 13
2
13. 350
14. 2
3
15. ①③④
16. 解：（1）f(x)=cos2x−sin2x+2√3sinxcosx+1=√3sin2x+cos2x+1
=2sin(2x+π
6)+1．由2kπ+π
2
≤2x+π
6
≤2kπ+3π
2
，∴ kπ+π
6
≤x≤kπ+2π
3
，
∴ 当k=−1时，∴ −5π
6≤x≤−π
3
；当k=0时，∴ π
6
≤x≤2π
3
，
又∵ x∈[−π
2，π
3
]，∴−π
2
≤x≤−π
3
，或π
6
≤x≤π
3
，
所以，函数f(x)单调减区间为：[−π
2，−π
3
]和[π
6
，π
3
]．
（2）g(x)=2cos2x=2sin(2x+π
2)=2sin2(x+π
4
)，
把f(x)=2sin(2x+π
6)+1=2sin2(x+π
12
 )项左平移π
6
个单位，再向下平移1个单位，即得
g(x)的解析式，
故g(x)=2sin2(x+π
12+π
6
)+1−1=2sin2(x+π
4
)，所以，向量a→=(−π
6
,−1)．
17. 解：(1)P=4
60=1
15
，
∴ 每个同学被抽到的概率为1
15
，
所以课外兴趣小组中男、女同学的人数分别为3，1；
(2)把3名男同学和1名女同学记为a1，a2，a3，b，
则选取两名同学的基本事件有(a1, a2)，(a1, a3)，(a2, a3)，(a1, b)，(a2, b)，(a3, b)，共6种，
其中有一名女同学的有3种，
∴ 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P=3
6=1
2
；
(3)x¯1=68+70+71+72+74
5
=71，
x¯2=69+70+70+72+74
5
=71，
∴ s12=1
5
[(68−71)2+(70−71)2+(71−71)2+(72−71)2+(74−71)2]=4，
s22=1
5
[(69−71)2+(70−71)2×2+(72−71)2+(74−71)2]=3.2，
∴ 第二次做实验的同学的实验更稳定.
18. 解：（1）证明：因为平面ABFE // 平面CDHG，且平面EFGH分别交
平面ABFE、平面CDHG于直线EF、GH，所以EF // GH．
同理，FG // EH．
因此，四边形EFGH为平行四边形．
因为BD⊥AC，而AC为EG在底面ABCD上的射影，所以EG⊥BD．
因为BF=DH，所以FH // BD．
因此，FH⊥EG．
所以四边形EFGH是菱形．
（2）连接CE、CF、CH、CA，则V C−EFGH=V−V C−ABFE−V C−ADHE∵ AE=1，BF=
DH=2，CG=3且几何体是以正方形ABCD为底面的正四棱柱的一部分，∴ 该几何体的体
积为V=√22
×2=4，V C−ABFE=1
3
×S
四边形ABFE
×BC=1
3
×1
2
(AE+BF)⋅AB×BC=
1
6
(1+2)√2√2=1
同理，得V C−ADHE=1
所以，V C−EFGH=V−V C−ABFE−V C−ADHE=4−1−1=2，即几何体C−EFGH的体积为2．
19. 解：（1）函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=e−1
x
．
当f′(x)>0时，e−1
x >0时，解得x>1
e
；
当f′(x)<0时，e−1
x <0，又x>0，解得0<x<1
e
．
∴ f(x)的单调增区间为(1
e ,+∞)；单调减区间为(0,1
e
)．
（2）由不等式f(x)<x+m得f(x)−x<m，令g(x)=f(x)−x，则g(x)=(e−1)x−ln x．
由题意，问题可转化为：
在区间[1
e
,e]内，g(x)min<m，
即只要m大于g(x)在区间[1
e
,e]内的最小值即可．
g′(x)=e−1−1
x
，
令g′(x)=0，得x=1
e
−1．
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化如下表：
min
∴ m的取值范围是(1+ln(e−1),+∞)．
20. 解：(I)设等比数列a n的首项为a1，公比为q，
依题意，有{2a1+a3=3a2
a2+a4=2(a3+2)⇒{a1(2+q2)=3a1q(1)
a1(q+q3)=2a1q2+4(2)由（1）及a1≠0，得q2−3q+2=0⇒q=1，或q=2，
当q=1时，（2）式不成立；当q=2时，符合题意，
把q=2代入（2）得a1=2，所以，a n=2⋅2n−1=2n，
(II)b n=a n log21
a n =2n⋅log21
2n
=−n⋅2n，
∴ −S n=1×2+2×22+3×23++n×2n(3)
∴ −2S n=1×22+2×23+3×24++(n−1)×2n+n×2n+1(4)（3）−(4)得S n=−n⋅2n+1+2n+1−2，
2n+1−S n>60n+2，
即∴ n⋅2n+1>60n，
∴ 2n+1>60，
又当n≤4时，∴ 2n+1≤25=32<60，
当n≥5时，∴ 2n+1≥26=64>60，
故使2n+1−S n>60⋅n+2成立的正整数n的最小值为5．
21. 解：(1)因为椭圆C的方程为x2
a2+y2
b2
=1，(a>b>0)，左焦点坐标为(−4, 0)，
∴ a2=b2+16，
即椭圆的方程为x 2
b2+16+y2
b2
=1，
∵ 点(3
2，5
2
√3)在椭圆上，
∴ 9
4(b2+16)+75
4b2
=1，
解得b2=20或b2=−15（舍），由此得a2=36，
所以所求椭圆C 的标准方程为x 236+y 2
20=1. (2)由(1)知A(−6, 0)，F(4, 0)，又P(32,5
2√3)， 则可得AP →
=(152,5
2√3)，FP →
=(−52,5
2√3)，
所以AP →
⋅FP →=0，即∠APF =90∘，
所以△APF 是直角三角形，
所以，以AF 为直径的圆M 必过点P ，因此，过P 点能引出该圆M 的切线，设切线为PQ ，交x 轴于Q 点，
又AF 的中点为M(−1, 0)，则显然PQ ⊥PM ， 而k PM =
5
2√3−03
2
−(−1)=√3，
所以PQ 的斜率为−
√33
， 因此，过P 点引圆M 的切线方程为：y −5√3
2
=−
√33
(x −3
2
)，即x +√3y −9=0，
令y =0，则x =9， ∴ Q(9, 0)， 又M(−1, 0)，
所以S 扇形MPF =1
2×5×5×π
3=
25π6
，
因此，所求的图形面积是S =S △PQM −S 扇形MPF =
25√32
−
25π6
=
75√3−25π
6
．。