二次根式的有关概念和性质

专题01 二次根式的有关概念和性质
一、单选题
1．（2022·重庆万州·九年级期末）下列各式中，属于二次根式的是（ ）
A ．2x
B ．1
2x x +C D 【答案】C
【解析】
【分析】
)0a ³的式子是二次根式．
【详解】
解：A. 2x 不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意；B. 1
2x x +，不是二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
C.
D. 故选C
【点睛】
本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键．
2．（2020·山东定陶·八年级期末）当 x ＝－3
）
A ．3
B ．－3
C ．±3
D 【答案】A
【解析】
【分析】
把x ＝－3代入二次根式进行化简即可求解.
【详解】
解：当x ＝－33===.
故选A.
【点睛】
本题考查了二次根式的计算，正确理解算术平方根的意义是关键.
3．（2020·四川·眉山市东坡区苏辙中学九年级阶段练习）若|x 0A ．5
B ．﹣6
C ．6
D ．36【答案】C
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质求出x 、y ，然后把x 、y 的值代入所求式子根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】
解：∵|x 0，
∴x +2＝0，y －3=0，解得：x =﹣2，y =3，
6==．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了非负数的性质和算术平方根的定义，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
4．（2021·贵州毕节·m 的取值范围是（ ）A ．3m ³-且2
m ¹B ．3m >-且2m ¹C ．2
m ³-D ．3
m >-【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】
解：由题意得：30m +…且20m -¹，
解得：3m -…且2m ¹，
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0．
5．（2021·陕西碑林·有意义，则x 的值可能为（ ）A ．8
-B ．5-C ．0D ．10
-【答案】C
【解析】
【分析】直接根据二次根式有意义的条件进行解答即可．
【详解】
解：280x +Q …，
4x \-…，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根号内为非负数是解本题的关键．
6．（2021·北京丰台·八年级期末）下列运算正确的是（ ）
A =
B =
C =
D =【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式的计算法则，以及二次根式的化简方法进行计算．
【详解】
A 、原式＝，所以A 选项不符合题意；
B ，所以B 选项不符合题意；
C 不能合并，所以C 选项不符合题意；
D ，所以D 选项符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查二次根式的计算法则，以及二次根式的化简，掌握二次根式的计算法则是解决本题的关键．
7．（2021·贵州毕节·八年级阶段练习）实数a 、b
果为（ ）
A ．22a b
+B ．2a -C ．2b -D ．22a b
-【答案】B
【解析】
【分析】先根据数轴判断出a 、b 和-a b 的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．
【详解】
解：由数轴可知：0a <，0b >，0
a b -<
a b a b
=-+-a b a b
=-+--2a
=-故选：B ．
【点睛】
此题考查的是二次根式的化简，掌握利用数轴判断字母符号和二次根式的性质是解决此题的关键．
8．（2021·陕西高陵·八年级阶段练习）实数a ，b =
（ ）
A ．-a b
B ．2a b -+
C ．a b +
D ．2
a b ++【答案】B
【解析】
【分析】先根据数轴上两点的位置确定1a +和1b -的正负，再根据二次根式的性质化简计算即可．
【详解】
解：观察数轴可得，10a -<<，12b <<，
∴10a +>，10b ->，
\()
11a b =+--11
a b =+-+2
a b =-+故选B ．
【点睛】
本题主要考查了结合数轴上点的位置化简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
9．（2021·山东·20-=，那么这个等腰三角形的周长为（ ）
A ．8
B ．10
C ．8或10
D ．9【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次根式和绝对值的性质，求得a b ，，分情况讨论，求解即可．
【详解】
解：20
-=∴40a -=，20b -=，解得4a =，2
b =当腰长为2，底边为4时，∵224+=，不满足三角形三边条件，不符合题意；
当腰长为4，底边为2时，∵2464+=>，4402-=<，满足三角形三边条件，
此时等腰三角形的周长为44210++=．
故选：B
【点睛】
本题主要考查的是非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．
10．（2021·全国·=+x 、y 、z 为有理数．则xyz ＝（ ）
A ．3
4B ．5
6C ．7
12D ．13
18
【答案】A
【解析】
【分析】
将已知式子两侧平方后，根据x 、y 、z 的对称性，列出对应等式，进而求出x 、y 、z 的值即可求解．
【详解】
=
∴3x y z =++++
∴x+y+z=3===，,
x+y+z=31
=23yz=43
xz=2xy ìïïïï\íïïïïî
()29xyz ,0,0,016x y z \=
³³³，∴xyz ＝34
，故选择：A ．
【点睛】
本题考查二次根式的加减法，x 、y 、z 对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键．
二、填空题
11．（2022·浙江·九年级专题练习）当m ＝____
取到最小值．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据二次根式的非负性即可解答．
【详解】
0，
∴当m ﹣2＝0，即m ＝2
0．
故答案为：2．
【点睛】
0．
12．（2021·浙江浙江·八年级期末）已知有理数,a b 满足等式52b a =+
，则=a ______；b =_____．
【答案】
23- 136【解析】
【分析】
根据有理数的定义以及等式的性质即可求出答案．
【详解】
解：由于52b a =-，
52b a \-+由于a 与b 是有理数，
23
a \=-，520
b a -+=，23a \=-，136
b =．故答案为：23-；136
．【点睛】
本题考查实数，解题的关键是将等式进行适当的变形，本题属于中等题型．
13．（2021·江苏新区·八年级期末）△ABC 的三条边长a 、b 、c 满足8c =60-=，则△ABC ____直角三角形（填“是”或“不是”）
【答案】不是
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件以及绝对值的非负性，得出,a b 的值，运用勾股定理逆定理验证即可．
【详解】
解：60-=，
∴40a -=，60b -=，
∴4,6a b ==，
则22246528+=¹，
∴222a b c +¹，
∴△ABC 不是直角三角形，
故答案为：不是．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，勾股定理逆定理等知识点，根据题意得出,a b 的值是解本题的关键．
14．（2021·四川省巴中中学八年级期中）若有理数x 、y =则x y m --的值是______．
【答案】7
【解析】
【分析】
根据二次根式的非负性求出x 值，同理求出y 值，从而得到m ，代入计算即可．
【详解】
解：=，
∴20x -³，20x -³，
∴x =2，
0=，
∴30y +=且10y m -+=，
∴y =-3，
∴-3-m +1=0，
∴m =-2，
∴x -y -m =2-（-3）-（-2）=7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，正确得出x ，y 的值是解题关键．
三、解答题
15．（2021·全国·八年级课时练习）小球从离地面为h （单位：m ）的高处自由下落，落到地面所用的时间为t
（单位：s ）．经过实验，发现h 与2t 成正比例关系，而且当20h =时，2t =．试用h 表示t ，并分别求当10h =和25h =时，小球落地所用的时间．
【答案】函数的解析式为h =5t 2；h =10时，t h =25时t 【解析】
【分析】
根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量的值，可得函数值．
【详解】
解：设h =kt 2，由h =20时，t =2，得
20=22k ，解得k =5．
函数的解析式为h =5t 2，
当h =10时，t 2=2，解得t
当h =25时，t 2=5，解得t 【点睛】
本题考查了函数关系式，利用了待定系数法求解析式．
16．（2021·湖北黄冈·八年级期中）若实数x ，y 满足2y =
【解析】
【分析】
根据被开方数是非负数，可得x ，y 的值，根据代数式求值，可得答案．
【详解】
解：由题意，得10x -…，10x -³，
解得1x =，
当1x =时，2y =．
当1x =，2y ==．【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出x ，y 的值是解题关键．
17．（2021·全国·0=，则b a 的平方根．【答案】1
2±
【解析】
【分析】
分式值为零的条件是分子等于零且分母不为零，根据条件求出,a b 的值．
【详解】
0=，其中4a ¹-，
则160-=，
即2160a -==，由2160a -=，解得：4,4a a ==-（舍去）
0=，解得：1b =-，
14
b a \=，b a \的平方根为12
±，故答案是：12
±．【点睛】
本题考查零分式值为零的条件及平方根的性质，解题的关键是：分母不为零的条件不能少．
18．（2019·贵州·贵阳市清镇养正学校八年级阶段练习）若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且a 、b 、c 满足等
｜b-12｜+（c-13）2＝0．
（1）求出a 、b 、c 的值．
（2）△ABC 是直角三角形吗？请说明理由．
【答案】（1）5,12,13a b c ===；（2）△ABC 是直角三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式的非负性、绝对值的非负性、平方的非负性解题即可；
（2）由（1）中a 、b 、c 的值，结合勾股定理逆定理解题．
【详解】
解：（1）212(13)0
c +-＝5,12,13a b c \===；
（2）△ABC 是直角三角形，理由如下：
222
51213+=Q 222
a b c \+=\△ABC 是直角三角形．
【点睛】
本题考查二次根式的非负性、绝对值的非负性、平方的非负性、勾股定理的逆定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
19．（2021·福建省福州屏东中学七年级期中）阅读材料并解决下列问题：
已知a 、b 是有理数，并且满足等式52b =+
a ，求a 、
b 的值．
解：∵52b =a
即5(2)b a =-∴2b ﹣a ＝5，﹣a ＝2
3
解得：a ＝﹣213,36
b =
（1）已知a 、b (1b -=﹣1，则a ＝ ，b ＝ ．
（2）已知x 、y 是有理数，并且满足等式x 2y +-=x +18，求xy 的平方根．
【答案】（1）4，1；（2）【解析】
【分析】
（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可．
（2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x 和y ，再求xy 的平方根．
【详解】
解：（1）(11b -=，
1b -=，
)1a b b --=-，
∴b =1，a -b =3，
∴a =4；
（2
218y +-=+，
∴(
3182y x y -=-+，
∴321820
y x y -=ìí-=î，解得：739
x y ì=ïíï=î，∴xy =21，
∴xy 的平方根为
【点睛】
此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题．
20．（2021·陕西兴平·八年级期中）若a ，b
5b +=+，求a +b 的值．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据二次根式的双重非负性，求得a 的值，根据a 的值求得b 的值，代入求解即可；
【详解】
0³³，则60a -³且1220a -³，
解得6a =．
故05b =+，
解得5b =-．
则6(5)1a b +=+-=．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的双重非负性，求出a 的值是解题的关键．
21．（2021·上海市进才中学北校八年级阶段练习）已知x =
【答案】32
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，以及x 为奇数确定x 的值，将代数式进行化简，进而代入求值即可．
【详解】
90,70x x ->ìí-³î
Q 解得79x £<，
Q x 为奇数，
7x \=，
=
当7x =时，原式8=32=．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，分式的化简求值，根据二次根式的性质化简，掌握以上知识是解题的关键．
22．（2022·贵州松桃·八年级期末）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．
==
=．
解决问题：化简下列各式
；
．
【答案】(1)2
2
-【解析】
【分析】
（1）将根号里面的7拆分成4和3，4写成2的平方，3将算式整体开方；
（2）将根号里面的9拆分成4和5，4写成2的平方，5将算式整体开方．
(1)
==(2)
2
==【点睛】
本题考查乘法公式的逆用，能够快速的寻找，归纳，总结，并应用规律是解决本题的关键．
23．（2022·江苏·南京玄武外国语学校八年级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，A 、B 、C 三点在格点上（网格线的交点叫做格点），现将ABC V 先向上平移4个单位长度，再关于y 轴对称得到111A B C △．
（1）在图中画出111A B C △，点1C 的坐标是______；
（2）连接1AA ，线段1AA 的长度为______；
（3）若(),P a b 是ABC V 内部一点，经过上述变换后，则111A B C △内对应点1P 的坐标为______．
【答案】（1）画图见解析，()11,2C ；（2）（3）()
,4a b -+【解析】
【分析】
（1）分别确定,,A B C 平移与轴对称后的对应点111,,,A B C 再顺次连接111,,,A B C 再根据1C 的位置可得其坐标；（2）利用勾股定理求解1AA 的长度即可；
（3）根据平移的性质与轴对称的性质依次写出每次变换后的坐标即可.
【详解】
解：（1）如图，111A B C △是所求作的三角形，其中()11,2,C
（2）由勾股定理可得：1AA =
故答案为：
（3）由平移的性质可得：
(),P a b 向上平移4个单位长度后的坐标为：(),4,a b +
再把点(),4a b +沿y 轴对折可得：()1,4.P a b -+
故答案为：(),4.
a b -+【点睛】
本题考查的是画平移与轴对称后的图形，平移的性质，轴对称的性质，坐标与图形，二次根式的化简，掌握“平移与轴对称的作图及平移与轴对称变换的坐标变化规律”是解本题的关键.。