高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题2.10 函数的综合问题与实际应用(练)

第10节函数的综合问题与实际应用
A 基础巩固训练
1.已知偶函数()f x 的定义域为R ，若()1f x -为奇函数，且()23f =，则()()56f f +的值为（） A.-3B.-2C.2D.3 【答案】D
2.衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天
数的关系式为：
kt V a e -=⋅，若新丸经过50天后，则需经过的天数为
A ．75天
B ．100天
C ．125天
D ．150天 【答案】A.
即需经过的天数为75天.
3.某种商品前两年每年递增20％，后两年每年递减20％，则四年后的价格与原来的价格比较，变化情况是（）
A.减少7.84％
B.增加7.84％
C.减少9.5％
D.不增不减 【答案】A
【解析】设原来的商品价格为1个单位，则四年后的价格为：
221(120)(1200.921692.16⨯+⨯-==％％)％，减少了7.84％，故选A.
4.函数21
x
y x -=
+，(],x m n ∈的最小值为0，则m 的取值范围是（） A.()1,2 B.()1,2- C.[)1,2 D.[
)1,2- 【答案】D
【解析】因为()23
111
x f x y x x -==
=-+++在()1,-+∞上单调递减，且()20f =，所以
2,12n m =-≤<；故选D.
5.已知函数的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的[]
12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()1212
0f x f x x x ->-；
②()()4f x f x +=-； ③()4y f x =+是偶函数；
若()6a f =，()11b f =，()2017c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（） A.a b c << B.b a c << C.a c b << D.c b a << 【答案】B
B 能力提升训练
1．若函数()log 2(0,1)x
a f x x a a -=->≠的两个零点是,m n ，则（）
A.1mn =
B.1mn >
C.1mn <
D.以上都不对 【答案】C
【解析】
由题设可得1log 2x
a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，不妨设1a >，画出方程两边函数1log ,2x
a y x y ⎛⎫
== ⎪⎝⎭的图像如
图，结合图像可知01,1m n <，且1log 2m
a m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1log 2n
a n ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，以上两式两边相减可
得()11log 022n m
a mn ⎛⎫⎛⎫
=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以01mn <<，应选答案C 。

2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为() A ．6升B ．8升C ．10升 D ．12升
【答案】B
3．宜黄高速公路连接宜昌、武汉、黄石三市，全长约350公里，是湖北省大三角经济主骨架的干线公路之一．若某汽车从进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶，已知该汽车每小时的运输成本由固定部分和可变部分组成，固定部分为200元，可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比（比例系数记为k ）．当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元．若使汽车的全程．．运输成本最低，其速度为． 【答案】100千米每小时
，当120v =时22004880.02kv k +=∴=
，即100v =时等号成立，取得最小值.
4．某人根据经验绘制了2019年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克． 【答案】190
9
【解析】前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析
式得⎩
⎪⎨
⎪⎧
10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝190
9
.
5．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是() A ．7B ．8C ．9 D ．10
【答案】C
C 思维拓展训练
1.三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.
①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.
【答案】1
Q ；
2.p
【解析】作图可得11A B 中点纵坐标比2233,A B A B 中点纵坐标大，所以第一位选1Q
分别作123,,B B B 关于原点的对称点123,,B B B '''，比较直线112233,,A B A B A
B '''斜率，可得22A B '最大，所以选2.p
2．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已
知三个房间的粉刷面积（单位：2
m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷
费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）
A ．ax by cz ++
B ．az by cx ++
C ．ay bz cx ++
D ．ay bx cz ++ 【答案】B 【解析】
3.对函数()f x ，如果存在00x ≠使得()()00f x f x =--，则称()()
00,x f x 与()()0
,x f x --为函数图像的一组奇对称点.若()x f x e a =-（为自然数的底数）存在奇对称
点，则实数的取值范围是（）
A.(),1-∞
B.()1,+∞
C.(),e +∞
D.[
)1,+∞ 【答案】B
【解析】由题意，函数存在奇对称点，即函数图像上存在两点关于原点对称，可设两点为11(,P x y ）
，22(,Q x y ），即11x y e a =-，22x y e a =-，因为关于原点对称，所以12x x e a e a -=-+
，即1222x x a e e =+≥，因为12x x ≠，所以1a >，故
选B ．
4．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线． （Ⅰ）写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；
（Ⅱ）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？
【答案】（Ⅰ）⎪⎩⎪
⎨⎧>≤≤=-1,)2
1(1
0,43t t t y t ；（Ⅱ）7916小时．
【解析】（Ⅰ）设⎪⎩⎪
⎨⎧>≤≤=-1,)2
1(10,t t kt y a t ，
5．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件．．，需另投入成本为)(x C ，当年产量不足80千件时，x x x C 103
1)(2
+=
（万元）.当年产量不小于80千件时，145010000
51)(-+
=x
x x C （万元）.每件．．商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（Ⅰ）写出年利润)(x L （万元）关于年产量x （千件．．）的函数解析式； （Ⅱ）年产量为多少千件．．
时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 【答案】（Ⅰ）2
140250(080),3
()100001200(80).x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
;（Ⅱ）100(千件).
【解析】（Ⅰ）因为每件．．商品售价为0.05万元，则千件．．商品销售额为0.05×1000万元，依题意得：
当800<<x 时，2501031)100005.0()(2---
⨯=x x x x L 2504031
2-+-=x x . 当80≥x 时，25014501000051)100005.0()(-+-
-⨯=x x x x L =⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-x x 100001200.
所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<<-+-=).
80(100001200),800(250403
1)(2
x x x x x x x L。