2020届湖南省长沙市雅礼中学高三第5次月考数学(理)试题(解析版)

2020届湖南省长沙市雅礼中学高三第5次月考数学（理）试
题
一、单选题
1．复数z 满足()2
14z i i +=，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．2 B ．-2
C ．2i -
D ．2i
【答案】A
【解析】根据复数的乘法与除法运算,化简即可求得复数z .结合共轭复数的定义即可得
z .
【详解】
将式子()2
14z i i +=化简可得
()
2
44221i
i z i
i =
=
=+ 根据共轭复数定义可知2z = 故选:A 【点睛】
本题考查了复数乘法与除法的运算,共轭复数的概念,属于基础题.
2．已知命题p ：x R ∀∈，2230x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．()p q ∨⌝
C ．p q ⌝∨
D ．()p q ⌝∨⌝
【答案】C
【解析】解不等式可判断命题p ,根据不等式性质可判断q ,即可由复合命题的性质判断命题真假. 【详解】
命题p :x R ∀∈,2230x x -+≥
因为()2
120x -+≥,所以命题p 为真命题
命题q ：若22a b <,则a b <,当1,4a b ==-时不等式不成立,所以命题q 为假命题 由复合命题真假判断可知p q ∨为真命题;()p q ∨⌝为真命题;p q ⌝∨为假命
题;()p q ⌝∨⌝为真命题 综上可知,C 为假命题 故选:C 【点睛】
本题考查了命题真假的判断,复合命题真假的判断,属于基础题.
3．已知3n
a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中7x 的系数为（ ） A ．20 B ．30
C ．40
D ．50
【答案】C
【解析】根据二项式系数和可求得n 的值,由各项系数和可求得a 的值,进而由二项定理展开式的通项求得7x 的系数即可. 【详解】
因为3n
a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中各项的二项式系数之和为32 则232n =,解得5n =
所以二项式为5
3a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
因为5
3a x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式各项系数和为243
令1x =,代入可得()5
512433a ==+ 解得2a =
所以二项式为5
32x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
则该二项式展开式的通项为()
53
15415
522r
r
r r r r r T C x C x
x --+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭
所以当展开式为7x 时,即1547r x x -=
解得2r =
则展开式的系数为225241040C ⋅=⨯=
故选：C
【点睛】
本题考查了二项定理的综合应用,二项式系数与项的系数概念,二项展开式的通项及应用,属于基础题.
4．中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第三天走的路程里数为（ ） A ．192 B ．48
C ．24
D ．88
【答案】B
【解析】根据题意可知此人行走的里程数为等比数列,设出第一天行走的里程,即可由等比数列的前n 项和公式,求得首项.即可求得第三天行走的路程里数. 【详解】
由题意可知此人行走的里程数为等比数列 设第一天行走的路程为m ,且等比数列的公比为1
2
q =
则由等比数列的前n 项和公式()111n n a q S q
-=
-
代入可得
6112378112
m ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=
- 解得192m =
根据等比数列的通项公式1
1n n a a q -=代入可得2
31192482a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭
故选:B 【点睛】
本题考查了等比数列通项公式及前n 项和公式的实际应用,对题意理解要正确,属于基础题.
5．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且2c a =，则sin B 的值为（ ） A ．
34
B
C ．1 D
【答案】B
【解析】根据sin A ,sin B ,sin C 成等比数列,再由正弦定理可得2b ac =.结合2c a =,代入余弦定理,即可求得cos B ,再由同角三角函数关系式即可求得sin B . 【详解】
因为sin A ,sin B ,sin C 成等比数列 则2sin sin sin B A C =⋅ 由正弦定理sin ,sin ,sin ,222a b c A B B R R R
=
==代入可得2b ac = 又因为2c a =,代入余弦定理2222cos b a c ac B =+-
代入化简可得2223
cos 24
b a
c B ac +-==
因为0B π<<,所以sin 0B >
而由同角三角函数关系式,可知2
2
37sin 1cos 144B B ⎛⎫=-=-=
⎪⎝⎭
故选:B 【点睛】
本题考查了等比中项定义及应用,正弦定理与余弦定理解三角形,同角三角函数关系式应用,综合性强,但难度不大,属于中档题.
6．执行如图所示的程序框图，若输出的ｋ＝6，则输入整数p 的最大值是（ ）
A ．32
B ．31
C ．15
D ．16
【答案】A 【解析】
．．．．．．
否输出n ＝6，
的否定，得整数p 的最大值
是32.
7．已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y 关于x 的线性回归方程为$1.31y x =-，则m 的值为（ ）
A ．3.1
B ．2.9
C ．2
D ．3
【答案】A
【解析】根据线性回归方程的性质可知,线性回归方程会经过样本的平均数点,代入即可求得m 的值. 【详解】 由表可知1234
2.54
x +++=
=
0.1 1.84 5.944
m m y ++++==
根据回归方程的性质可知,线性回归方程会经过样本的平均数点
y 关于x 的线性回归方程为$1.31y x =-
则满足
5.9 1.3 2.514
m
+=⨯- 解方程求得 3.1m = 故选:A 【点睛】
本题考查了线性回归方程的性质,线性回归方程必经过样本的平均数点,即可求得样本中的未知量,属于基础题.
8．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左焦点为F ，直线y =与椭圆C 相交于
A ，
B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆
C 的离心率为（ ）
A ．
12
B 1
C D 1
【答案】D
【解析】可解得点A 、B 坐标，由AF BF ⊥，得0AF BF =u u u r u u u r
g ，把222b a c =-代入该
式整理后两边同除以4a，得e的方程，解出即可，注意e的取值范围【详解】
解：由
22
22
1
3
x y
a b
y x
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，消
y可得得22222
(3)
a b x a b
+=，解得
22
3
x
a b
=±
+
，分别代入22
3
3
ab
y
a b
=±
+
，
22
(
3
A
a b
∴
+
，
22
3
)
3
ab
a b
+
，
22
(
3
B
a b
-
+
，
22
3
)
3
ab
a b
-
+
，
∴
22
(
3
AF c
a b
=+
+
u u u r
，
22
3
)
3
ab
a b
+
，
22
(
3
BF c
a b
=-
+
u u u r
，
22
3
)
3
ab
a b
-
+
，
AF BF
⊥
Q
∴2222
2
2222
3
33
a b a b
AF BF c
a b a b
=--=
++
u u u r u u u r
g，
22
2
22
4
3
a b
c
a b
∴=
+
，(*)
把222
b a c
=-代入(*)式并整理得224222
44()
a c c a a c
-=-，
两边同除以4a并整理得42
840
e e
-+=，解得2423
e=-
31
e
∴=-，
故选D．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题．9．如图，在ABC
∆中，AD AB
⊥，3
DC BD
=
u u u r u u u r
，2
AD=
u u u r
，则AC AD
⋅
u u u r u u u r
的值为（）
A．3 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【解析】根据题意,建立平面直角坐标系.表示出各个点的坐标,利用向量数量积的坐标运算即可求得AC AD
⋅
u u u r u u u r
.
【详解】
根据题意,由AD AB ⊥可建立如下图所示的平面直角坐标系:
过C 作CE AD ⊥交x 轴于E .设AB a =
因为3DC BD =u u u r u u u r ,2AD =u u u
r
则由BAD CED ∆∆:,所以3,6CE a DE == 所以()8,3C a -
所以()()8,3,2,0AC a AD =-=u u u r u u u r
则
()()8,32,016AC AD a ⋅=-⋅=u u u r u u u r 故选:D 【点睛】
本题考查建立平面直角坐标系,利用坐标法求向量的数量积,属于基础题. 10．通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且
()23000,50X N :.则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）
（参考数据：若()2
,X N
μσ:，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，
()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=）
A ．0.0456
B ．0.6826
C ．0.9987
D ．0.9772
【答案】D
【解析】根据正态分布符合(
)2
3000,50
X N :,可求得旅客人数在
22X μσμσ-<≤+内的概率.结合正态分布的对称性,即可求得旅客人数不超过3100
的概率. 【详解】
每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ,且(
)2
3000,50
X N :
根据3σ原则可知
30001003000100X -<≤+
则()0.9544P X =
由正态分布的对称性可知()0.9544
300031000.47722
P X <≤== 则()31000.47720.50.9772P X ≤=+= 故选:D 【点睛】
本题考查了正态分布的应用,3σ原则求概率问题,属于基础题.
11．在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是（ ） ①直线 ②圆 ③椭圆 ④抛物线 A ．①② B ．①③
C ．①②③
D ．②④
【答案】A
【解析】讨论两根电线杆是否相等.当两个电线杆的高度相等时,到上端仰角相等的点在地面上为两根电线底部连线的垂直平分线.当两个电线杆的高度不同时,在底面建立平面直角坐标系,可根据轨迹方程的求法求解. 【详解】
当两根电线杆的高度相等时,因为在水平地面上视它们上端仰角相等
所以由垂直平分线的定义可知,点P 的轨迹为两根电线底部连线的垂直平分线,即轨迹为一条直线
当两根电线的高度不同时,如下图所示:
在地面上以B 为原点,以BD 所在直线为y 轴 设(),,
AB n CD m n m ==>,()(),0,,,BD a D a P x y ==,
由题意可知,APB CPD ∠=∠,即tan tan APB CPD ∠=∠ 所以满足
n m PB PD
=,即n PD m PB ⨯=⨯
由两点间距离公式,代入可得
n m =化简可得()()2
2
222222220n m
x n m y an y n a -+--+=,()n m >
即222222222
20an n a x y y n m
n m
+-+=-- 二次项的系数相同,且满足
()
2
22222222
222
2222
24440an n a a n m D E F n m n m n m ⎛⎫+-=--⨯=> ⎪ ⎪--⎝⎭- 所以此时动点P 的轨迹为圆
综上可知,点P 的轨迹可能是直线,也可能是圆 故选:A 【点睛】
本题考查了轨迹方程的求法,圆方程的判别方法,对空间想象能力要求较高,属于中档题. 12．已知(){}0P f αα==，(){}
0Q g ββ==，若存在P α∈，Q β∈，使得
n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 距零点函数”.若()()2020log 1f x x =-与
()2x g x x ae =-（e 为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为
（ ） A ．2
14,e e ⎛⎤
⎥⎝⎦ B ．214,
e e ⎛⎤
⎥⎝⎦ C ．242,e e ⎡⎫
⎪⎢⎣
⎭ D ．3242,e e ⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ 【答案】B
【解析】先求得函数()f x 的零点,表示出()g x 的零点,根据“n 距零点函数”的定义,求得
()g x 的零点取值范围.通过分离参数,用()g x 的零点表示出a .构造函数,利用导函数研
究函数的单调性和最值,即可求得a 的取值范围. 【详解】
因为()f x 与()g x 互为“1距零点函数”. 且当
()()2020log 10f x x =-=时,2x =
设()2
0x
g x x ae =-=的解为0x
由定义n αβ-<可知, 021x -<
解得013x <<
而当()2
0x
g x x ae =-=时, 0
2
0x x a e =
令()()0
2
0001,3,x x h x x e =∈
则()()0
2
0000,2'1,3x x x h x x e
-=∈ 令()0'0h x =,解得02x =或00x =（舍）
所以当012x <<时,()0'0h x >, ()0
2
00x x
h x e =单调递增且()11h e = 当023x <<时, ()0'0h x <,()0
2
0x x h x e =单调递减,且()393h e =
所以()()02max 4
2h
x h e
==
即()0214,h x e e ⎛⎤
∈
⎥⎝⎦
则214,a e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
故选:B 【点睛】
本题考查了函数新定义的应用,利用导数分析函数的单调性与最值,利用分离参数和构造函数法求参数的取值范围,属于难题.
二、填空题 13．
3
1x dx -⎰
的值为______.
【答案】
52
【解析】将定积分根据积分区间及绝对值函数,写成分段函数形式,结合微积分基本定理即可求解. 【详解】
将定积分根据积分区间及绝对值函数,写成分段函数形式为
()()3
13
1
111x dx x dx x dx -=-+-⎰⎰⎰
根据微积分基本定理可得
()()3
13
1
111x dx x dx x dx -=-+-⎰
⎰⎰
2123
011122x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2211113311222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2211113311222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
52
= 故答案为:52
【点睛】
本题考查了利用微积分基本定理求定积分值,属于基础题. 14．已知函数cos y x =与()sin 202y x πϕϕ⎛
⎫
=+<< ⎪⎝
⎭
，
它们的图象有一个横坐标为6
π
的交点，则ϕ的值是______. 【答案】
3
π 【解析】将交点的横坐标分别代入两个函数解析式,根据正弦函数的图像与性质及结合
02
π
ϕ<<
即可求得ϕ的值.
【详解】
因为函数cos y x =与()sin 2y x ϕ=+有一个交点的横坐标为6
π 则cos
sin 266ππϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭
即sin 32
πϕ⎛⎫+=
⎪⎝⎭ 由正弦函数的图像与性质可知
233k ππϕπ+=+或22,33
k k Z ππ
ϕπ+=+∈
因为02
π
ϕ<<
所以当0k =时,代入可求得2333
πππϕ=
-= 故答案为:3
π 【点睛】
本题考查了正弦函数与余弦函数值的求法,正弦函数的图像与性质的应用,属于基础题. 15．一个圆上有8个点，每两点连一条线段.若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为______（用数字回答）. 【答案】70
【解析】由题意可知,平面内任意两点连线可形成直线,而两条直线有一个交点,即平面内4个点的连线有1个交点,进而可求得圆内交点个数. 【详解】
由题意可知,平面内任意两点连线可形成直线,而两条直线有一个交点,即平面内4个点的连线有1个交点
所以交点个数为4
870C =
故答案为:70 【点睛】
本题考查了平面几何中的组合问题,关键在于分析出交点个数与所给点个数的关系,属于基础题.
16．已知,,0,2παβγ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，且2
22cos
cos cos 2αβγ++=，则
cos cos cos sin sin sin αβγαβγ
++++的最小值为______.
【解析】根据同角三角函数关系式及基本不等式,可得sin sin αβγ+≤,同理证
明另外两组式子成立,不等式两边同时相加,化简即可得解. 【详解】
由题意知2
2
2
sin sin sin 1αβγ++=, 则2
222sin
sin 1sin cos αβγγ+=-=
2222sin sin 1sin cos αγββ+=-=
2222sin sin 1sin cos βγαα+=-=
因为,,0,
2παβγ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,则22
2sin sin sin sin αβαβ⋅≤+,不等式两边同时加22sin sin αβ+
可得()(
)2
2
2sin sin 2sin sin αβαβ+≤+
开平方可得()22sin sin 2sin sin 2cos αβαβγ+≤+=,
同理
()22sin sin 2sin sin 2cos βγβγα+≤+=,()22sin sin 2sin sin 2cos γαγαβ+≤+=,
相加可得2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 2cos αβγαβγ++≤
++
化简得
cos cos cos 2sin sin sin αβγ
αβγ
++≥++ 故答案为:2 【点睛】
本题考查了三角函数式的化简求值,同角三角函数关系式的应用,根据基本不等式求最值,属于中档题.
三、解答题
17．已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点M 从点
B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示.将轴截
面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转()0θθπ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点P .
（1）求曲线Γ的长度； （2）当2
πθ=
时，求点1C 到平面APB 的距离.
【答案】（1）2π；（2
）
2
244
πππ++
【解析】（1）将圆柱的一半展开,可知曲线Γ的长度为矩形的对角线长度.其中矩形的宽为圆柱的高,长为底面的半圆长,即可求得曲线Γ的长度. （2）当2
πθ=
时,以底面的圆心O 为原点建立空间直角坐标系.写出各个点的坐标,求得
平面ABP 的法向量,即可求得点1C 到平面APB 的距离. 【详解】
（1）曲线Γ的长度为矩形的对角线长度.其中矩形的宽为圆柱的高,长为底面的半圆长, 其中AD π=,底面的半圆长为1
212
ππ⨯⨯⨯= ∴Γ的长为2π （2）当2
πθ=
时,建立如图所示的空间直角坐标系:
则有()0,1,0A -、()0,1,0B 、1,0,
2P π⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
、()11,0,C π-, 所以()0,2,0AB =u u u r 、1,1,2AP π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭u u u r 、()11,0,OC π=-u u u u
r .
设平面ABP 的法向量为(),,n x y z =r
,
则00n AB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ,代入可得2002y x y z π
=⎧⎪⎨-++=⎪⎩
, 令2z =,得(),0,2n π=r
,
所以点1C 到平面PAB 的距离为
12
4
OC n d n π⋅==+u u u u r r r 【点睛】
本题考查了圆柱的展开图及距离的求法,利用空间向量求点到平面距离,属于中档题.
18．已知数列{}n a 的前n 项和为1,1,0n n S a a =>22
11n n n S a S λ++=-,其中λ为常数.
(1)证明: 12n n S S λ+=+；
(2)是否存在实数λ,使得数列{}n a 为等比数列,若存在,求出λ;若不存在,说明理由. 【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】分析：（1）11n n n a S S ++=-Q ，2211n n n S a S λ++=-，∴()2
2
11n n n n S S S S λ++=--，
整理后即得结果；（2）由（1）可得()122n n a a n +=≥，检验n=1也适合即可.
详解：（1）11n n n a S S ++=-Q ，22
11n n n S a S λ++=-，
()2
211n n n n S S S S λ++∴=--，
()1120n n n S S S λ++∴--=，
10,0n n a S +∴>∴>， 120n n S S λ+∴--=；
12n n S S λ+∴=+，
（2）12n n S S λ+=+Q ，
()122n n S S n λ+=+≥，
相减得：()122n n a a n +=≥，
{}n a ∴从第二项起成等比数列，
212S S λ=+Q 即2112a a a λ+=+， 210a λ∴=+>得1λ>-， ()2
1,12,n n a λ-+⎧∴=⎨⎩
,1,2
,n n =≥
若使{}n a 是等比数列
则2
132a a a =，
()()2
211λλ∴+=+，
1λ∴=-（舍）或1λ=经检验得符合题意．
点睛：已知n S 求n a 的一般步骤：（1）当1n =时，由11a S =求1a 的值；（2）当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式；（3）检验1a 的值是否满足（2）中的表达式，若
不满足则分段表示n a ；（4）写出n a 的完整表达式.
19．如图，过抛物线()2
20y px p =>上一点()12P ，，作两条直线分别交抛物线于
()11A x y ，，()22B x y ，，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：
（Ⅰ）求12y y +的值；
（Ⅱ）若直线AB 在y 轴上的截距[]13b ∈-，
时，求ABP △面积ABP S △的最大值． 【答案】（I ）；（Ⅱ）
323． 【解析】【详解】试题分析：（I ）设出PA ，PB 的点坐标，根据PA PB k k =-，得到
121222
11y y x x --=--，进而根据点在抛物线上，把x 换成y ，即可得出结果；（II ）由21122112
4()AB y y k x x x x y y -=
=≠-+，得出124
1AB k y y ==-+，设直线AB 的方程为
y x b =-+，与抛物线联立可得2121211()4421AB x x x x b =++-=+，又点P
到直线AB 的距离为32
b d -=
，所以
2311
4212(1)(3)222
ABP
b S AB d b b b ∆-=⋅=⋅+⋅=+-，构造关于b 的函数，求导利用单调性求最值即可． 试题解析：解（Ⅰ）由抛物线过点
，得
，
设直线PA 的斜率为
，直线PB 的斜率为
，由PA 、PB 倾斜角互补可知
，
即，
将，代入得．
（Ⅱ）设直线AB 的斜率为
，由，
得，
由（Ⅰ）得，将其代入上式得．
因此，设直线AB 的方程为
，由
，消去y 得
，
由
，得
，这时，
，
2121211()4421AB x x x x b =++-=+，又点P 到直线AB 的距离为
，所以2311
4212(1)(3)222
ABP b S AB d b b b ∆-=
⋅=⋅+⋅=+-， 令
，则由
，令
，得
或． 当时，，所以单调递增，当
时，，所以
单调递减，故
的最大值为
，故
面积
的最大值为
132323f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
． （附：
，当且仅当
时取
等号，此求解方法亦得分）
【考点】直线与抛物线的位置关系；面积公式；函数的最值．
20．响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人.
（1）能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？（2）为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
附：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++．
参考数据：
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：（1）根据所给数据，制作列联表，利用公式求得2
K，与临界值比较，即可得结论；（2）ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5，求出相对应的概率，即可得到ξ的分布列及数学期望.
试题解析：（1）根据所给条件，制作列联表如下：
∴2
K的观测值
()
()()()()
()
22
200644456364
120801001003 n ad bc
k
a b c d a c b d
-⨯⨯-⨯
=== ++++⨯⨯⨯
，
∵2
K的观测值
4
1.323
3
k=>，由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的
前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；
（2）设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m 人，女代表n 人，则m n ξ=+，
根据已知条件可得1,2,3,4,5ξ=，()()122
32232
541
11,0?20C C C P P m n C C ξ======； ()()()12121123223222323254543
21,12,0?·10
C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ====+===+=；
()()()()
1221022112
3232232222323232
54545431,22,13,07 (15)
P P m n P m n P m n C C C C C C C C C C C C C C C C ξ====+==+===++=；
()()()2103211
32232223232
54541
42,23,1?·6C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ=====+===+=； ()()032
23232
541
53,2?60
C C C P P m n C C ξ======， ∴ξ的分布列是：
∴1371114123452010156605
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．已知函数()1,f x xlnx ax a R =++∈
（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：
2223122421
n n n
ln ln ln n n n +<+++<++L ．
【答案】（1）[1,)-+∞.（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）由()0f x ≥，得1ln a x x -≤+恒成立，令()1
ln F x x x
=+.求出()F x 的最小值，即可得到a 的取值范围；
∵24n n +为数列()()112n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和，1n n +为数列()11n n ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
的前n 项和.
∴只需证明
()()
2
1
1ln 12n n n n +<++ ()
1
1n n <+即可. 试题解析：
（1）由()0f x ≥，得ln 10x x ax ++≥ (0)x >. 整理，得1
ln a x x -≤+恒成立，即min 1ln a x x ⎛⎫-≤+ ⎪⎝
⎭.
令()1ln F x x x =+
.则()22111
'x F x x x x
-=-=. ∴函数()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. ∴函数()1
ln F x x x
=+
的最小值为()11F =. ∴1a -≤，即1a ≥-. ∴a 的取值范围是[
)1,-+∞.
（2）∵24n n +为数列()()112n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和，1n n +为数列()11n n ⎧⎫⎪
⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
的前n 项
和.
∴只需证明
()()
2
1
1ln 12n n n n +<++ ()
1
1n n <+即可. 由（1），当1a =-时，有ln 10x x x -+≥，即1
ln x x x
≥-. 令11n x n +=
>，即得1ln 11n n n n +>-
+ 1
1
n =+. ∴2
211ln 1n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭
()()112n n >++ 1112n n =-++. 现证明()
2
11
ln
1n n n n +<+，
即<
=
=()* 现证明1
2ln (1)x x x x <-
>. 构造函数()1
2ln G x x x x
=-- ()1x ≥，
则()212'1G x x x =+- 22
21
0x x x -+=≥.
∴函数()G x 在[
)1,-+∞上是增函数，即()()10G x G ≥=. ∴当1x >时，有()0G x >，即1
2ln x x x
<-
成立.
令x =()*式成立. 综上，得()()211ln 12n n n n +<++ ()
11n n <+. 对数列()()112n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩
⎭，21ln n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭，()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭分别求前n 项和，得 223ln 2ln 242n n <++ 21ln 1
n n n n ++⋅⋅⋅+<+. 22．已知直线l 的参数方程为13x t y t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为1cos 2tan x y ϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩
（ϕ为参数）.
（1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；
（2）若点P 的坐标为()1,1，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值.
【答案】（1
）2
；（2）23 【解析】（1）将直线的参数方程和曲线C 的参数方程化为普通方程,即可利用点到直线距离公式求得曲线C 的右顶点到直线l 的距离.
（2）先将直线的参数方程化为标准参数方程,再将直线方程与曲线C 的普通方程联立,根据参数方程的几何意义即可求得PA PB ⋅的值.
【详解】
（1）直线l 的普通方程为20x y +-=,曲线C 的普通方程为2
2
14y x -=, 曲线C 为双曲线,其右顶点为()1,0
利用点到直线距离公式可知2
d ==； （2）将直线l
的标准参数方程改为1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
, 并代入2
2
14y x -=
化简可得2320t --=,
设一元二次方程的两根为1t ,2t , 故1223PA PB t t ⋅==
. 【点睛】
本题考查了参数方程与普通方程的转化,直线标准参数方程的求法,直线与曲线交点的参数方程求法,属于中档题.
23．（1）已知a ，b ，c 都是正实数，证明：2b a c a b c b
++≥+； （2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：222222496a b c x y z ax by cz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩
，求a b c x y z
++++的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）
23 【解析】（1）构造三元基本不等式, 即可证明不等式成立.
（2）根据三元柯西不等式,可得使等号成立的条件.利用等式成立,结合方程思想,即可求得a b c x y z
++++的值. 【详解】
（1）由三元基本不等式知
1b a c b a b c a b c b a b c b +++=++-+
+12≥=, 当且仅当b a b c a b c b
+==+时取等号. （2）由三元柯西不等式知()()()2
222222a b c x y z ax by cz ++++≥++, 结合方程组可知不等式当a b c x y z
==时取等号, 所以设(0)a b c k k x y z
===>, 即a kx =,b ky =,c kz =,
所以()2222222a b c k x y z ++=++,
即2
49k
=,解得
2
3 k=,
从而
2
3 a b c
k
x y z
++
== ++
【点睛】
本题考查了利用三元基本不等式证明不等式成立,三元柯西不等式的综合应用,属于中档题.。