江西南昌市2012—2013学年度高三第一次模拟测试数学文

南昌市2012—2013学年度高三第一次模拟测试
数学（文）试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

共150分。

考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条
形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字在答题卡上作答，若在试卷题上作答，答案无效。

3．考试结束，监考号将试题卷、答题卡一并收回。

第I 卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。

1．已知集合A ，B ，则A ∪B=A 是A ∩B=B 的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
2．函数2
()21
f x x x =--的定义域是 A ．1{|}2
x x ≠
B ．1
{|}2x x >-
C ．1{|1}2x x x ≠-≠且
D ．1
{|1}2
x x x >-≠且
3．若复数z 满足12(i
i i z
+=为虚数单位），则z 的虚部为 A ．2i B ．2 C ．i -
D ．-1
4．在数列*
11{},2,212,{}n n n a a n N a a a +=-∈=+中若且对任意的有则数列前10项的和为
A ．5
B ．10
C ．
52
D ．
54
5．已知命题：“如果,//,x y y z x z ⊥⊥则”是假命题，那么字母x ，y ，z 在空间所表示的几何图形
可能是
A ．全是直线
B ．全是平面
C ．x ，z 是直线，y 是平面
D ．x ，y 是平面，z 是直线
6．已知函数()cos()f x A x ωθ=+的图象如图所示，2(),()2
3
6
f f π
π
=--
=则
A ．23
- B ．12
-
C ．
23 D ．
12
7．程序框图如图，如果程序运行的结果为s=132，那么判断框中可填入
A ．10k ≤
B ．10k ≥
C ．11k ≤
D ．11k ≥
8．双曲线22221x y b a -=-与抛物线2
18
y x =有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为
3
，则双曲线的离心率等于
A ．2
B ．
3
C ．
2
D
9．下列说法中，不正确的是 A ．点(
,0)()tan(2)84
f x x π
π
=+为函数的一个对称中心 B ．设回时直线方程为ˆ2 2.5y
x =-，当变量x 增加一个单位时，y 大约减少2.5个单位 C ．命题“在△ABC 中，若sin sin A B =，则△ABC 为等腰三角形”的逆否命题为真命题
D ．对于命题p ：“
01x x ≥-”则p ⌝“01
x
x <-” 10．已知正△ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的
距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积 的最小值是 A ．74π B ．2π
C ．94
π
D ．3π
第II 卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11．已知(cos 40,sin 40),(sin 20,cos 20),a b a b ==⋅则= 。

12．若一个圆台的主观图如图所示，则其全面积等于 。

13．张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6：30—7：30之间把报纸送到他家，张先生离开
家去上班的时间的早上7：00—8：00之间，则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是 。

14．若对任意的,|||1||1||1|a R x x a a ∈+-≥+--不等式恒成立，则实数x 的取值范围是 。

15．已知函数()sin(
)tan()(,,).(1)155
f x a x b x a b x R f π
π
=+∈=为常数若，则不等式 2(31)log f x >的解集为 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样
本，得频率分布表如下：
（1）写出表中①②位置的数据；
（2）为了选拔出更优秀的学生， 高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行
第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；
（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组
的概率。

17．（本小题满分12分）设角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，已知2
5cos()sin .24
A B C ++= （1）求角A 的大小；
（2）若1,AB AC ⋅=-求BC 边上的高AD 长的最大值。

18．（本小题满分12分）如图，多面体ABC —A 1B 1C 1中，三角形ABC 是边长为4的正三角形，
AA 1//BB 1//CC 1，AA 1⊥平面ABC ，AA 1=BB 1=2CC 1=4。

（1）若O 是AB 的中点，求证：OC 1⊥A 1B ；（2）在线段AB 1上是否存在一点D ，使得CD//平面A 1B 1C 1，若存在确定D 的位置；若不存在，说明理由。

19．（本小题满分12
分）设正项数列{},{}n n n a S a 的前项和若和都是等差数列，且公差相等，
（1）求{}n a 的通项公式；（2）若125,,n a a a 恰为等比数列{b }的前三项，记数列
2132
1
,log 4log 4n n n c b b ++=
⋅数列{}n c 的前n 项和为,.n n T T 求
20．（本小题满分13分）已知函数2
()ln (1,(1))f x ax b x f =-在点处的切线方程为3 1.y x =- （1）若()f x 在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，求实数k 的取值范围；（2）
若对任意[0,]x ∈+∞，均存在3
2111
[1,3],ln 2()3
26
c t t t ct f x +∈-+++≤使得，试求实数c 的取值范围。

21．（本小题满分14
分）已知点(1,0),(1,0),(,):||||M N P x y PM PN -+=动点满足 （1）求P 的轨迹C 的方程；（是否存在过点(1,0)N 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，并且
曲线C 存在点Q ，使四边形OAQB 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说
明理由。

参考答案
一、选择题（本大题共10题，每小题5分，共50分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5，共25分）
11.
32 12.5π+ 13.78 14. 13
(,][,)22
-∞-+∞ 15. ()0,2 三、解答题：（本大题共6小题，共75分）
16.解：（1）①的位置为12，②的位置为0.30……4分
（2）抽样比为6130
5
=，所以第三、四、五组抽中的人数为3，2，1……8分
（3）设2人中至少有1名是第四组为事件A ，则63()1155P A =-=……12分
17.解：（1）1cos 5cos ,24A A --+
=1cos 2
A =-，因为(0,)A π∈，所以23A π
=…6分 （2）由1AB AC ⋅=-知2=bc ， ……8分
所以1sin 2ABC S bc A ∆=
=，而a ==……10分，
当且仅当b c ==11分
所以BC 边上的高AD ……12分
18．解：(1)取线段11A B 的中点为E ，连接CO E C OE ,,1 已知等边ABC 是边长为4，11124
AA BB CC ===，
1AA ⊥ 平面ABC
，
111
////AA BB CC
∴11AA B B 是正方形，AB CO AB OE ⊥⊥,, 又O OE CO = 1EOCC AB 面⊥∴
1111,||EOCC OC AB B A 面⊂, 故 1OC ⊥11A B ……6分
（2）设1OE
AB D =，则点D 是1AB 的中点，
所以，ED ∥1AA ,11
2
ED AA =……8分 又11112
1
,||AA CC AA CC =
, 所以四边形1CC ED 是平行四边形，…10分
∴1//CD C E ，∴//CD 平面111
A B C
即存在点D 使得//CD 平面111A B C ，点D 是1AB 的中点.…12分 19.解：设{}n a 的公差为d ，则1(1)2
n n n d
s na -=+
,
=
102d a ⎧
-=⎪⎪……2分，
则d =
120d a =>，所以1
2d =，……4分，
所以：1124d a ==……5分，1121
(1)424
n n a n -=+-⋅=
……6分 （2）由112235139
,,444b a b a b a ======，得到：等比数列{}n b 的公比3q =，
所以：11
34
n n b -=⨯， ……8分
所以1
331111
log 3log 3(1)1
n n n c n n n n +=
==-⋅++……10分 111
111
11223
11
n T n n n =-+-+
+
-=-
++……12分 20. （1）()2b
f x ax x '=-，由(1)3(1)2f f '=⎧⎨=⎩，得21
a b =⎧⎨=⎩…………………………2分
2
()2ln f x x x =-，2141()40x f x x x x -'=-==，得12
x =，………………3分
所以 10131122112
k k k k ⎧
⎪-≥⎪
⎪
-<⇒≤<⎨⎪
⎪+>⎪⎩…………………………………………………………6分
（2）设3
2111
()ln 2326
c g t t t ct +=-
+++根据题意可知min min ()()g t f x ≤…………7分 由（1）知min 11
()()ln 222
f x f ==
+ ……………………………………………………8分 2()(1)(1)()g t t c t c t t c '=-++=--，
当1c ≤时，()0g t '≥；()g t 在[1,3]t ∈上单调递增，min ()(1)ln 22
c
g t g ==
+，
满足min min ()()g t f x ≤……………………………………………………………………9分 当13c <<时，()g t 在[1,]t c ∈时递减 ，在[,3]t c ∈时递增，
32min 111()()ln 2626g t g c c c ==-+++，由321111
ln 2ln 26262
c c -+++≤+得
322320,(1)(22)0c c c c c -+≥---≥，此时13c ≤<……………………………10分
当3c ≥时，()0g t '≤；()g t 在[1,3]t ∈上单调递减，min 314
()(3)ln 223
c g t g ==-++ 31433141(3)ln 2ln 2ln 223232
c g ⨯=-
++≤-++=+……………………………………12分 综上，c 的取值范围是(])
,113,⎡-∞++∞
⎣ ………………………………………13分
21. 解：（1）由PM PN +=C 是以,M N 为焦点的椭圆，且1a c ==，b =，
所以曲线C 的方程为22
1.32
x y +=………………………………6分 （2）设1122(,)(,)A x y B x y 、
，由题意知l 的斜率一定不为0，故不妨设:1l x my =+，代入椭圆方程整理得2
2
(23)440m y my ++-=，…………………7分
显然0.∆>则121222
44
,2323
m y y y y m m +=-
=-++①，…………………8分 假设存在点Q ，使得四边形OAQB 为平行四边形，其充要条件为OQ OA OB =+，则点Q 的坐标为
1212(,)x x y y ++。

由点Q 在椭圆上，即22
1212()() 1.32
x x y y +++=
整理得2222
11221212232346 6.x y x y x x y y +++++=………………………………10分
又A B 、在椭圆上，即22
22112223623 6.x y x y +=+=，
故1212233
x x y y +=-②………………………………………………………11分
所以2
12121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++
将①②代入上式解得2m =±………………………………………………………13分
即直线l 的方程是：12
x y =±+，即220x ±-=…………………………14分。