4.4 函数y=Asin (ωx+φ)的图象及应用 最新高考大一轮复习 数学(文)

第四章 三角函数、解三角形
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解 (1)列表取值：
x
π 2
32π
52π
72π
92π
12x－π4
0
π 2
π
32π
2.用五点法画 y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的 简图时，要找五个特征点
如下表所示：
x
0－φ ω
π2－φ ω
π－φ ω
32π－φ ω
2π－φ ω
ωx＋φ
0
π 2
π
3π 2
2π
y＝Asin (ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
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考点一 函数 y＝Asin (ωx＋φ)的图象及变换 【例 1】 已知函数 f(x)＝3sin 12x－π4，x∈R. (1)画出函数 f(x)在一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数 y＝sin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象？
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2．函数 y＝2sin 12x－π3的振幅、频率和初相分别为(
)
A．2,4π，π3
B．2，41π，π3
C．2，41π，－π3
D．2,4π，－π3
C [由题意知 A＝2，f＝T1＝2ωπ＝41π，初相为－π3.]
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Hale Waihona Puke 4．4 函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象及应用
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[考纲考情分析] 1.了解函数 y＝Asin (ωx＋φ)的物理意义；能画 出函数的图象，了解参数 A，ω，φ 对函数图象变化的影响.2.会用三 角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的 重要函数模型.3.以考查函数 y＝Asin (ωx＋φ)的图象的五点法画图、 图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数 解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进 行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为选择题和填空题， 中档难度．
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4．已知函数 f(x)＝sin(x－π3)，要得到 g(x)＝cos x 的图象，只需
将函数 y＝f(x)的图象( )
A．向右平移56π个单位 B．向右平移π3个单位
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3．将函数 y＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动1π0个单位长
度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图
象的函数解析式是( )
A．y＝sin (2x－1π0)
B．y＝sin (2x－π5)
C．y＝sin (12x－1π0)
D．y＝sin (12x－2π0)
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[知识梳理]
1．y＝Asin (ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin (ωx＋ 振幅 周期 频率
φ)(A>0，ω>0)，x A
∈R
T＝2ωπ f＝T1＝2ωπ
相位 ωx＋φ
初相 φ
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C．向左平移π3个单位
D．向左平移56π个单位
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D [将函数 y＝f(x)＝sin(x－π3)的图象向左平移56π个单位，可得 y ＝sin(x＋56π－π3)＝cos x 的图象，故选 D.]
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3.函数 y＝sin x 的图象经变换得到 y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0) 的图象的两种途径．
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知识拓展 1．函数 y＝Asin (ωx＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上 加下减”． 2．由 y＝sin ωx 到 y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移 ωφ个单位长度而非 φ 个单位长度． 3．函数 y＝Asin (ωx＋φ)的对称轴由 ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z 确定； 对称中心由 ωx＋φ＝kπ，k∈Z 确定其横坐标．
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5．(2019·沈阳质检)函数 f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π) 的部分图象如图所示，则 fπ4的值为________．
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3 [由图象可知 A＝2，34T＝1112π－π6＝34π，
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[小题速练] 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y＝sin x－4π的图象是由 y＝sin x＋π4的图象向右平移π2个单 位长度得到的．( √ ) (2)将函数 y＝sin ωx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度，得到函 数 y＝sin (ωx－φ)的图象．( × ) (3)函数 y＝Acos (ωx＋φ)的最小正周期为 T，那么函数图象的两 个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )
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(4)由图象求函数解析式时，振幅 A 的大小是由一个周期内图象 中最高点的值与最低点的值确定的．( √ )
(5)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平 移”中平移的长度一致．( × )
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∴T＝π，∴ω＝2.
∵当 x＝π6时，函数 f(x)取得最大值，
∴2×π6＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝π6＋2kπ(k∈Z)，
∵0<φ<π，∴φ＝π6，
∴f(x)＝2sin 2x＋6π，
则 fπ4＝2sin π2＋6π＝2cos π6＝ 3.]