人教版数学高二A数学选修1-2测试卷(九)

高中同步测试卷(九)
章末检测 数系的扩充与复数的引入(A)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下面四个命题：
①－2i 是虚数，但不是纯虚数； ②任意两个复数都不能比较大小； ③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；
④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
2．已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( ) A ．5－5i B ．7－5i C ．5＋5i D ．7＋5i
3．已知z 1＝2－i ，z 2＝1＋3i ，则复数i z 1＋z 2
5的虚部为( )
A ．1
B ．－1
C ．i
D ．－i
4．若复数m (3＋i)－(2＋i)的模为17，则实数m ＝( ) A ．2 B ．－35 C ．－35或2 D.3
5
5．若复数i 满足z (1＋i)＝2i ，则在复平面内z 对应点的坐标是( ) A ．(1，1) B ．(1，－1) C ．(－1，1) D ．(－1，－1)
6．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b
i 为纯虚数”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．复数z ＝1－cos θ＋isin θ(2π<θ<3π)的模为( ) A ．2cos θ2 B ．－2cos θ2 C ．2sin θ2 D ．－2sin θ
2
8．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a －2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a ＝1”是“点M 在第四象限”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．设z 的共轭复数是z －，若z ＋z －＝2，z ·z －
＝2，则z －
z
＝( )
A ．i
B ．－i
C ．±i
D ．±1
10．若z ＝cos θ－isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的一个θ值是( ) A ．0 B.π
2
C ．π
D ．2π
11．下面是关于复数z ＝2
－1＋i 的四个命题，其中真命题为( )
p 1：|z |＝2；p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ；p 4：z 的虚部为－1. A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 4
12．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x i －y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋
y 的值为( ) A ．2 B ．－2i C ．－4 D ．2i
13．i 为虚数单位，复数⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1－i 1＋i 3
＝________．
14．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z －
＋z ＝________． 15．i 是虚数单位，i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝________．
16．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋i)x ＋1＋i ＝0有实根，则实数m ＝________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知z ＝（4－3i ）2（－1＋3i ）10
（1－i ）12，求|z |.
18．(本小题满分12分)已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m (1＋i)＝1＋n i ，求⎝ ⎛⎭
⎪
⎫m ＋n i m －n i 2
的
值．
19.(本小题满分12分)已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c 为实数)． (1)求b 、c 的值； (2)1－i 也是方程的根吗？
20．(本小题满分12分)已知复数z ＝(2x ＋a )＋(2－
x ＋a )i ，x ，a ∈R ，且a 为常数，试求|z |的最小值g (a )的表达式．
21.(本小题满分12分)已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝z
2＋i
，且|ω|＝52，求ω.
22．(本小题满分12分)设复数z1＝(a2－4sin2θ)＋(1＋2cos θ)i，a∈R，θ∈(0，π)，z2在复平面内对应的点在第一象限，且z22＝－3＋4i.
(1)求z2及|z2|；
(2)若z1＝z2，求θ与a的值．
参考答案与解析
1．[导学号28910054] 【解析】选A.①－2i 是纯虚数；②当两个复数都是实数时可以比较大小；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有表明x ，y 是否是实数；④当a ＝0时，没有纯虚数和它对应．故选A.
2．【解析】选C.(2＋i)(3＋i)＝6＋5i ＋i 2＝5＋5i.
3．[导学号28910055] 【解析】选A.i z 1＋z 25＝i
2－i ＋1＋3i 5＝i （2＋i ）5＋15＋35i ＝i ，虚部
为1.
4．【解析】选C.依题意得(3m －2)2＋(m －1)2＝17，解得m ＝－3
5或m ＝2，故选C.
5．[导学号28910056] 【解析】选A.z ＝2i
1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i （1－i ）2＝1＋i ，
即对应的点为(1，1)．
6．【解析】选B.由ab ＝0，得a ＝0或b ＝0，复数a ＋b
i 为纯虚数，即a －b i 为纯虚数，
则a ＝0且b ≠0，故选B.
7．[导学号28910057] 【解析】选 D.|z |＝（1－cos θ）2＋sin 2θ＝2－2cos θ＝4sin 2θ2
，
又2π<θ<3π，则π<θ2<3π2，sin θ2<0.故|z |＝－2sin θ
2
.
8．【解析】选A.z ＝(a －2i)(1＋i)＝(a ＋2)＋(a －2)i ，则点M 的坐标为(a ＋2，a －2)，当a ＝1时，坐标为(3，－1)，即点M 在第四象限，若点M 在第四象限，而a ＝1却不一定成立，故“a ＝1”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件．
9．[导学号28910058] 【解析】选C.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由z ＋z －
＝2，z ·z －
＝2，得a ＝1，b ＝±1，所以z －z
＝±i.
10．【解析】选B.因为z 2＝(cos θ－isin θ)2＝cos 2θ－isin 2θ，又z 2＝－1，
所以⎩⎪⎨⎪⎧cos 2θ＝－1，sin 2θ＝0，
再由选项验证得θ＝π2.
11．[导学号28910059] 【解析】选C.z ＝2
－1＋i ＝2（－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝－2－2i 2＝
－1－i ，
所以|z |＝2，z 的虚部为－1，所以p 1错误，p 4正确．z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，所以p 2正确．z 的共轭复数为z ＝－1＋i ，所以p 3错误．所以选C.
12．[导学号28910060] 【解析】选D.由x i －y ＝－1＋i 得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1
－y ＝－1，所以x ＋y ＝2，
(1＋i)x ＋
y ＝(1＋i)2＝2i.
13．【解析】⎝ ⎛⎭⎪
⎫1－i 1＋i 3＝⎝⎛⎭
⎫－2i 23
＝(－i)3＝i.
【答案】i
14．【解析】z ＝1－2i ，z －
＝1＋2i ，
z ·z －
＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i ＝5＋1－2i ＝6－2i. 【答案】6－2i
15．【解析】S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8， i S ＝i 2＋2i 3＋3i 4＋…＋7i 8＋8i 9，
两式相减得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 8－8i 9 ＝i （1－i 8）1－i
－8i 9，
∴S ＝i （1－i 8）（1－i ）2－8i 91－i ＝－8i 1－i ＝－8i （1＋i ）2＝4－4i.
【答案】4－4i
16．【解析】设x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理得(x 20＋mx 0＋1)＋(x 0＋1)i ＝0，由
复数相等的充要条件得⎩
⎪⎨⎪⎧x 20＋mx 0＋1＝0，
x 0＋1＝0，解得m ＝2.
【答案】2
17．【解】|z |＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
（4－3i ）2（－1＋3i ）10（1－i ）12
＝|4－3i|2|－1＋3i|10
|1－i|12
＝52×210（2）12
＝400. 18．【解】由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＋m i ＝1＋n i ， 即m ＝1，n ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n i m －n i 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2
＝－1. 19．【解】(1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0， 即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2，
∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2.
(2)由(1)知方程x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边得 x 2－2x ＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i 也是方程的根．
20．【解】|z |2＝(2x ＋a )2＋(2－
x ＋a )2 ＝22x ＋2
－2x
＋2a (2x ＋2－
x )＋2a 2，
令t ＝2x ＋2－
x ，则t ≥2，且22x ＋2－2x
＝t 2－2，
从而|z |2＝t 2＋2at ＋2a 2－2＝(t ＋a )2＋a 2－2. 当－a ≥2，即a ≤－2时，g (a )＝a 2－2； 当－a <2，即a >－2时，
g (a )＝（a ＋2）2＋a 2－2＝2|a ＋1|.
综上可知，g (a )＝⎩⎨⎧a 2－2，a ≤－2，
2|a ＋1|，a >－2.
21．【解】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i ， 由题意得a ＝3b ≠0，又因为|ω|＝⎪⎪⎪
⎪z
2＋i ＝52，
所以|z |＝a 2＋b 2＝510.将a ＝3b 代入，解得a ＝15， b ＝5或a ＝－15，b ＝－5. 故ω＝±15＋5i
2＋i
＝±(7－i)．
22．【解】(1)设z 2＝m ＋n i(m ，n ∈R )，则
z 22＝(m ＋n i)2＝m 2－n 2
＋2mn i ＝－3＋4i ， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝－3，2mn ＝4，解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2， 或⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－2， 所以z 2＝1＋2i 或z 2＝－1－2i.又因为z 2在复平面内对应的点在第一象限，所以z 2＝－1－2i 应舍去，故z 2＝1＋2i ，|z 2|＝ 5.
(2)由(1)知(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ＝1＋2i ，即⎩
⎪⎨⎪⎧a 2－4sin 2θ＝1，1＋2cos θ＝2，
解得cos θ＝1
2
，
因为θ∈(0，π)，所以θ＝π
3
，
所以a 2＝1＋4sin 2θ＝1＋4×3
4
＝4，a ＝±2.
π
综上，θ＝
3，a＝±2.。