天津市河西区高三数学上学期形成性质量调查试题 理(含解析)

天津市河西区2014届高三数学上学期形成性质量调查试题 理（含解析）
理科数学 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.若复数z 满足i iz 42+=，则在复平面内z 对应的点的坐标是( ) （A ）2(，)4
（B ）2(，)4- （C ）4(-，)2-
（D ）4(，)2-
2.下列命题为真命题的是（ ）
（A ）若q p ∨为真命题，则q p ∧为真命题
（B ）“5=x ”是“0542=--x x ”的充分不必要条件
（C ）命题“若1-<x ，则0322>--x x ”的否命题为“若1-<x ，则0322≤--x x ” （D ）若命题p ：R x ∈∃，使012<++x x ，则p ⌝：R x ∈∀，使012>++x x
3.在ABC ∆中，若2tan -=A ，则A cos =（ ） （A ）5
5
-
（B ）
5
5 （C ）552-
（D ）5
5
2 【答案】A
4.已知函数)3
sin()(x x f -=π
，则要得到其导函数)('x f y =的图象，只需将函数)(x f y =的图象上所有的
点（ ） （A ）向左平移
2π
个单位长度 （B ）向右平移
2π
个单位长度
（C ）向左平移32π个单位长度 （D ）向右平移3
2π
个单位长度
5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） （A ）64
（B ）72 （C ）80
（D ）112
【答案】C
【解析】
试题分析：该几何体的直观图如图所示：
7.如图，1F 、2F 是双曲线122
22=-b
y a x 0(>a ，)0>b 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两个
分支分别交于点A 、B ，若2ABF ∆为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
（A ）3
3
±
（B ）2± （C ）15± （D ）6±
8.用)(A C 表示非空集合A 中元素的个数，定义⎩⎨⎧--=*),()(),()(A C B C B C A C B A )()()
()(B C A C B C A C <≥，若1{=A ，}2，
)({2ax x x B +=}0)2(2=++ax x ，且1=*B A ，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则)(S C =（ ）
（A ）4 （B ）3 （C ）2
（D ）1
选B.
考点：1.二次方程根的个数；2.集合元素.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9.若直线01=+-y x 与圆2)(22=+-y a x 有公共点，则实数a 的取值范围是 .
11.在如图的程序框图中，输出的值为x ，则，12
3log x x += .
12.已知O 为坐标原点，2(A ，)1，x P (，)y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≤+≤+-012553034x y x y x
AOP ∠⋅cos 的最大值等
于
.
当目标函数平移到C 点取得最大值，⎩⎨⎧=-+=+-02553034y x y x 解得⎩⎨⎧==25
y x ,()25，C ,代入目标函数
12252max =+⨯=z AOP ∠⋅cos 的最大值为
5
5
12. 考点：1.向量的数量积的坐标表示；2.线性规划.
13.如果关于x 的不等式0)(<x f 和0)(<x g 的解集分别为a (，)b 和b 1(，)1a
，那么称这两个不等式为“对偶不等式”.如果不等式x x ⋅-θ2cos 34202<+ 与不等式x x ⋅+θ2sin 42201<+为“对偶不等式”，且
2
(π
θ∈，)π，那么θ= .
【答案】
6
5π 【解析】
三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数x x f 2cos )(=x x cos sin +. （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和最小值； （Ⅱ）若4
(
π
α∈，
)2
π
且4
62)83(-=+
παf ，求α的值.
16.某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当文明交通宣传志愿者，20名学生的名额分配为高一12人，高二6人，高三2人．
（Ⅰ）若从20名学生中选出3人做为组长，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；
（Ⅱ）若将4名教师随机安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a b 3=. （Ⅰ）当1=c ，且ABC ∆的面积为4
3
时，求a 的值； （Ⅱ）当3
3
cos =
C 时，求)cos(A B -的值． 【答案】（Ⅰ）1=a ;（Ⅱ）3
3
. 【解析】
18.若正数项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11=a ，点n S P (，)1+n S 在曲线2)1(+=x y 上. （Ⅰ）求2a ，3a ；
（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅲ）设1
1+⋅=n n n a a b ,n T 表示数列{}n b 的前项和，若a T n ≥恒成立，求n T 及实数a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)5;332==a a ;(Ⅱ)12-=n a n ;(Ⅲ)3
1≤
a . 【解析】 试题分析： (Ⅰ)根据已知点n S P (，)1+n S 在曲线2)1(+=x y 上，代入曲线，得到n S 与1+n S 的关系，再
根
19.如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A 和B ，且与n 2(=，)1-共线．
（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；
（Ⅱ）若直线m kx y +=与椭圆E 有两个不同的交
点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．
20.已知函数x x f ln )(=，a x x g +=22
1)(（a 为常数），直线l 与函数)(x f 、)(x g 的图象都相切，且l 与函数)(x f 图象的切点的横坐标为1．
（Ⅰ）求直线l 的方程及a 的值；
（Ⅱ）若)(')1()(x g x f x h -+= [注：)('x g 是)(x g 的导函数]，求函数)(x h 的单调递增区间； （Ⅲ）当R k ∈时，试讨论方程k x g x f =-+)()1(2的解的个数．。