短时临界动力学的普适特征函数

中山大学
博士学位论文
短时临界动力学的普适特征函数
姓名：***
申请学位级别：博士
专业：理论物理
指导教师：***
20030508
论文题目：短时临界动力学的普适特征函数
专业：理论物理
博士生：何春山
指导老师：李志兵教授
摘要
本文首先回顾了研究临界现象的理论和方法，并对近年来发展起来的短时临界动力学方法作了系统的介绍。

已有研究表明，对具有标度变换不变性的初态，系统在早期演化过程中呈现普适的幂次标度行为；推广短时标度关系，使之可以描述更普遍的短时临界动力学过程是我们主要关心的问题。

引入特征函数是推广标度关系的一条重要途径．人们猜想特征函数是普适的，即它不依赖于系统的微观相互作用和动力学规则细节，和临界指数一样，适用于同一普适类的所有模型．为了验证特征函数的普适性，我们着重研究了以吸附一退吸附过程为代表的非可逆模型关于初始序参量的特征函数。

分别采用次序演化和同步演化两种动力学演化规则进行ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ数值模拟，结果表明，特征函数可以有效地描写具有任意初始序的短时临界动力学过程，而且是普适的．在非Ｉ临界区，观测到与初态有关的指纹效应．
短时临界动力学和有序化动力学分别由临界固定点和低温固定点支配，它们各有不同的标度律．有序化过程如何过渡到短时临界动力学过程是一个值得探索的问题．我们通过求解具有初始关联的动力学球模型入手，研究系统在两种温度之间的过渡演化．在这个例子中，我们首次给出关联长度不为零的初态的临界动力学演化的严格解．这个解可描写系统从任意初始温度和外场的平衡态向另一任意温度的平衡态演化的动力学过程．从磁化的精确解中找到了标度变换下的初始外场（＾ｏ）、初始序参数（ｍｏ）和环境温度（Ｔ）三个参数的重整化流方程，而这三个参数与标度因子之间的关系式即是描述动力学过渡现象的特征函数．
本文还介绍了近年来颇受重视的角转移矩阵重整化群方法，并用这个方法求解了二维伊辛模型的临界点、关联函数及临界指数．
关键词：短时临界动力学，标度行为，普适性特征函数，球模型，关联，过渡现象，转移矩阵，重整化群
Ｉ
Ｔｉｔｌｅ：ＵｎｉｖｅｒｓａｌＣｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃＦｕｎｃｔｉｏｎｓｏｆＳｈｏｒｔ—ｔｉｍｅＣｒｉｔｉｃａｌＤｙｎａｍｉｃｓ
Ｍａｊｏｒ：ＴｈｅｏｒｅｔｉｃａｌＰｈｙ８ｉｃｓ
Ｎａｍｅ：ｔｉｅＣｔｌｕｌｌ．ｓｈａｈ
Ｓｕｐｅｒｖｉｏｒ：Ｐｒｏｆ．ＬｉＺｈｉ—ｂｉｎｇ
ＡＢＳＴＲＡＣＴ
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ＩＩ
第１章前言
１．１历史背景
相变是自然界中一个有趣的现象，也是统计物理学中一个重要的研究课题。

五十年代以前，处理此类问题主要是采用近似的（如平均场近似）和严格解析计算方法。

尽管采用的方法各不相同，但都是沿着一条传统的途径，即通过直接计算配分函数，进而求得热力学量及临界点附近的性质。

那时的计算机还不发达，基本上没有数值模拟计算的结果。

严格的可解模型不多，对一般的模型而言只有平均场近似的结果。

五十年代后，随着实验技术的发展，陆续积累了不少的有关Ｉ临界现象的实验资料，一再发现与平均场的预言有明显的差别。

六十年代中后期，Ｒｕｓｈｂｒｏｏｋｅ，Ｇｒｉｆｆｉｔｈｓ，Ｄｏｍｂ，Ｗｉｄｏｍ，Ｆｉｓｈｅｒ和Ｋａｄａｎｏｆｆ等人提出了临界现象的标度理论，唯象地概括了临界现象的规律；随后，Ｋａｄａｎｏｆｆ在别人工作的基础上首次提出了普适类的概念，即具有相同的空间维数和序参量维数以及对称性的体系属于同一普适类，它们有相同的临界指数和标度关系，也就是具有相同的临界行为。

七十年代初，Ｗｉｌｓｏｎ把量子场论中的重整化群思想引入到统计物理中，并建立了关于临界现象重整化群理论，从而为临界现象的理论研究打开了新的一页。

１９７２年，Ｈａｌｐｅｒｉｎ等人首先把平衡态现象的Ｗｉｌｓｏｎ重整化群方法［１１推广应用于研究临界动力学现象，引进了动力学临界指数。

，写出了含有时问的标度关系式吲。

一直以来，人们研究的对象大多是处于平衡或近甲衡的统计系统在二阶相变点附近出现的临界现象。

由于空间和时间关联的无穷大，系统在临界点呈现普适性和标度行为。

临界系统的普适行为由临界指数来表征，而确定临界指数也就成了研究』临界现象的一个主要的和饶有兴趣的工作．近二十年来，由于计算机技术的迅速发展，数值计算成了研究Ｉ临界现象的主要方法之一。

用数值计算求临界指数通常是对
第ｉ章前言
系统处于甲衡态的各种构形进行ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ模拟ｊ其中Ｂｉｎｄｅｒ通过有限空间尺度标度行为来获得临界指数是具有代表性的有效方法附】。

动力学ｉ临界指数Ｚ的测量传统上是利用有限系统在长时区的时间关联的指数衰减特性来获得的∞］。

定性上，一个自旋系统在临界点附近存在大尺度涨落，
热扰动要消除这种涨落需要很长时间，因此在近临界点偏离甲＾衡值的任何物理量的弛豫时间均趋于无穷大，给传统的数值模拟带来巨大的困难。

为了克服这个所谓临界慢化困难，物理学的同行曾作了大量的艰苦工作，由Ｓｗｅｎｄｓｅｎ—Ｗａｎｇ首创的非定域ｃｌｕｓｔｅｒ方案在临界甲衡态ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ模拟中获得成功【“。

但他们的方案的核心是改变系统演化的动力学规律，因而对非平衡态动力学本身的研究没有帮助。

近十年来，临界动力学现象的研究有了许多新的突破，尤其是短时临界动力学概念的提出，即系统在远离平衡态时也具有普适性和标度行为的特征。

长期以来，人们普遍认为在临界动力学的短时区不存在普适行为，然而Ｊａｎｓｓｅｎ、Ｓｃｈａｕｂ和Ｓｃｈｍｉｔｔｍａｎｎ用重整化群的方法１７ｌ对无序初态临界弛豫过程的理论研究表明，系统除了在长时区呈现已知的普适标度行为外，还在早期具有另一段普适标度区，这就是短时临界现象．它发生在微观时间标度ｔ。

＊的后面的一小段，而结束于系统失去对初态记忆的长时标度ｔＬ之前。

作者还导出了在宏观短时区的标度关系式：
其中Ｍ【‘）是磁化强度（序参数）的第☆阶矩，ｔ是动力学演化时问，ｒ＝（Ｔ—Ｔｃ）／Ｅ是约化温度，ｂ是空间标度变换因子。

这个标度关系的特点是包含有其初始序参量ｍｏ。

它意味着动力学过程具有规律性的时区向前推进了一大步。

它改变了过去长期认为临界动力学过程只有指数弛豫和代数弛豫两个普适标度区的概念。

在由Ｊａｎｓｓｅｎ、Ｓｃｈａｕｂ和Ｓｃｈｍｉｔｔｍａｎｎ从理论研究上提出短时临界动力学的前后，Ｈｕｓｅ以及Ｈｕｍａｙｕｎ和Ｂｒａｙ也用ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ模拟观察到早期标度律的一些现象ｉｓ，…。

从（１－１）式可看出，除２
』ｊ历史背景
了我们熟知的静态临界指数卢、ｖ和动态临界指数。

外，还有一个新的临界指数ｚｏ，它是初始序在标度变换下的反常量纲。

基于这个标度关系，可以预测在时间演化的早期，磁化率（序参数）会经历一段临界初始增长，
其关系式为
Ｍ（ｔ１。

ｍｎｔｏ’ｆ１－２）
其中０７＝（ｚｏ一９／”）／ｚ。

这个标度行为显示出短时临界现象对初态的记忆短时Ｉ临界现象的最重要特征。

描写初始序增长的临界指数目７最先由李志兵，Ｒｉｔｓｃｈｅｌ和郑波等人在Ｉｓｉｎｇ模型的ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ模拟中测量到［１０］。

此后，对各种临界系统的大量计算机模拟证实，短时普适标度行为是一种普遍的非平衡态临界现象［［０－１４］。

基于短时普适标度律关系式（１一１）．李志兵、Ｓｃｈｉｉｌｋｅ和郑波等人还发展了一套数值计算临界指数的有效方法，即动力学ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ方法［１２ｉ４１。

其核心思想足在非平衡系统的早期标度区测量物理量，从它们的标度行为中提取甲－衡态和动力学临界指数。

Ｓｃｈｉｉｌｋｅ和郑波把这种方法推广到临界点的测定１１１１也获得了成功。

动力学ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ方法是目前较理想的数值计算甲衡态临界指数和动力学临界指数的通用方法。

许多研究结果表明，在＂ｌｆｔｏ一０和１两个固定点，系统在时间早期演化过程中都呈现出普适的幂次标度行为。

人们不禁要想，当初态偏离这两个固定点时临界动力学过程的行为是怎样的？如何推广标度关系式（１－１），使其适用于更广泛的初始条件？对无初始关联但ｍｏ有限的情况，郑波首先引入一个与，ｎｏ相关的标度函数，推广了短时标度关系㈣。

图１－１在温度轴标出了几种非ｍ１衡动力学过程的关系，每种过程用一带箭头的曲线表示，其起点表示初态温度，终点表示非平衡态演化所处的环境温度。

其中有序化动力学（ＯＤ）、短时Ｉ临界动力学（ＳＣＤ）和临界弛豫动力学（ＣＲＤ）是近年广受关注的动力学过程，而推广的短时临界动力学（ＧＳＣＤ）、推广的临界弛豫动力学（ＧＣＲＤ）和无序化动力学（ＤＤ）过程是本文提出的新课题。

下面将看到，通过引入若干特征函数可以给出这些动力
第１章前言
图１—１：几种非平衡态动力学过程：
１．ＯＤ：有序化动力学（ＯｒｄｅｒｉｎｇＤｙｎａｍｉｃｓ）；
２．ＳＣＤ：短时临界动力学（Ｓｈｏｒｔ—ｔｉｍｅＣｒｉｔｉｃａｌＤｙｎａｉｎｉｃｓ）；
３．ＣＲＤ：临界弛豫动力学（ＣｒｉｔｉｃａｌＲｅｌａｘａｔｉｏｎＤｙｎａｍｉｃｓｌ；
４．ＧＳＣＤ：推广的短时临界动力学（ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＳｈｏｒｔ—ｔｉｍｅＣｒｉｔｉｃａｌＤｙｎａｍｉｃｓ）５．ＧＣＲＤ：推广的临界弛豫动力学（ＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＣｒｉｔｉｃａｌＲｅｌａｘａｔｉｏｎＤｙｎａｍｉｃｓ）６．ＤＤ：无序化动力学（ＤｉｓｏｒｄｅｒｉｎｇＤｙｎａｍｉｃｓｌ。

学过程的统一描述，我们还将验证特征函数的普适性
１．２研究内容及意义
非下衡动力学过程具有重要的应用和理论意义。

动力学相变中的标度律因其反映了动力学过程的自相似性等普遍特点，并具有普适性而受到广泛关注。

近些年来，短时临界动力学研究工作很活跃，但关注的初态大多都是具有标度不变性的、位于高温无序固定点和低温全有序固定点的情况。

本博士论文重点研究非标度不变初始状态对动力学过程的影响。

目的是打破目前短时临界动力学标度关系对初始状态的限制，试图得到适用于更普遍初始状态的普适动力学标度理论。

主要思想是引入适当的特征函数，推广标度律的概念。

我们猜想这些特征函数是普适的，即它不依赖于系统的微观相互作用和动力学规则细节，和临界指数一样，适用于同一普适类的所有模型。

因此，检验特征函数的普适性是非常重要的。

ｊ２研究内容及意义论文的内容主要体现在三个方面：
·研究初始状态对一种典型的非甲衡非可逆吸附一退吸附过程的影响。

通过引入初始序特征函数，推广已知的标度律，所得的标度关系突破了原来只适用于完全有序和无序两种特定初态的限制而适角于任意初始序，首次检验了初始序特征函数的酱适性。

此外，本部分还讨论了在超临界相初态微观细节的可观测性。

·我们求解了动力学球模型，通过引入一个与初始外场有关的特征函数把动力学标度关系进一步推广，使之可以描述包含有限初始关联的任意初态的非平衡演化过程。

得到的广义标度关系式为
０（￡，｛２：｝，｛Ｐ。

｝，７１７，ｈ’。

？ｎｏ）＝６一。

ＱＱ（ｂ２ｔ．｛６１ｆ，），｛６球），￡（６，Ｔ’），Ｋ（６，ｈ’，Ｔ’Ｘｐｆ６，ｍｏ，∥，丁’））（１．３）
其中Ｔ７＝嚣Ｔ为约化环境温度，ｈ７＝７而ｈ为约化外场，７７ｔ０是初始磁化。

从理论上证明了初始裸参数在动力学演化中的混和现象。

·汁算了伊辛模型的关联长度，通过这一实例说明角转移矩阵重整化群方法也是计算二维统计模型非定域量的很有效方法。

１．２．１吸附一退吸附过程的普适特征函数
一般初态的演化规律是一个重要的课题，目前尚无深入的讨论。

郑波首先提出用特征函数描写任意初始序的临界动力学过程，并在Ｉｓｉｎｇ模型和Ｐｏｔｔｓ模型中印证了他的想法ｉ“，”一。

文献ｆ１７１给出了动力学球模型的广义标度关系和特征函数的解析表达式。

以上讨论的过程都是满足细致甲．衡条件的可逆过程，对于非平衡非可逆过程，这方面的工作还很缺乏。

非可逆吸附一退吸附过程等价于一种有向接触过程Ｉ”。

２“，是非甲衡过程的具有代表性的模型。

我们在对吸附退吸附过程的模拟中首次发现了非各态历经的不可逆过程中的初始序特征函数，并获得了关于初始序ｎｏ和标度因子ｂ的特征函数的完整三维图象。

通过这个特征函数，我们得到一条适用于
第ｊ章前言
非可逆非各态历经过程的广义标度关系，它可以描述初态具有任意初始序（但初始关联等于零）的吸附一退吸附过程标度行为。

我们还为此特征函数的普适性提供了数值的证据。

１．２．２动力学球模型
球模型是伊辛模型的一种推广，具有二阶临界点１２１，２２］，和京茨堡一朗道（Ｇｉｎｚｂｕｒｇ—Ｔｔａｎｄａｕ）模型的大Ｊｖ极限属于同一普适类。

它是著名的可解统计模型之一，具有重要的理论价值。

它也在凝聚态物理中有应用，例如可应用于研究铁磁体、反铁磁体及超流氦等的临界性质。

通过严格求僻动力学球模型可加深和拓广对临界动力学现象的理解，掌握与球模型属于同一普适类的系统的性质和规律。

Ｓｕｚｕｋｉ首先研究了有长程相互作用的球模型的动力学过程，特别是它的“临界慢化”现象删。

现在，人们对有或无长程相互作用的球模型的静态和动力学的一般性质，以及动力学过程的中长期行为研究得比较透彻。

近年来对非平衡动力学球模型的早期演化的研究也取得了长足的进展。

陈渊、郭硕鸿、李志兵、叶爱军等人在２０００年发表的一篇文章｛１１中严格求解了从零关联初态开始演化的动力学球模型，得到了球模型的特征函数；此外文中还发现，当动力学过程所处环境温度不等于临界温度时，也可以通过一个特征函数来描写。

但仍有一些还未解决的问题。

文章『１７１中的解只适应于初始温度无穷高或等于零的演化过程，还没有求出初始关联不为零时的动力球模型的早期标度行为，即任意的初始温度和外场下的动力学标度关系。

本章将解决这个问题，给出动力学球模型从任意初始平衡态淬火到任意温度热库的非甲衡演化的一般标度关系。

１．２．３角转移矩阵重整化群方法计算关联函数
６密度矩阵重整化群方法（Ｄｅｎｓｉｔｙ—ｍａｔｒｉｘＲｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎＧＩｏｕｐ
Ｍｅｔｈｏｄ）
１２研究内容及意义是山Ｗｈｉｔｅ等㈦２５ｊ提出的。

１种有效的数值计算方法。

近年来被广泛应用到许多一维量子格点模型的计算中。

密度矩阵重整化群方法通过保留行一行转移矩阵的最大的本征值等技巧，可以精确地计算量子系统的能谱和热力学函数。

在计算的过程中，通过忽略掉不重要的小本征值及本征矢，只保留较大的、起重要作用的前Ⅳ个本征值及本征态的方法，从而达到减少相空间维数的目的，理论上可以将系统扩展到无穷大，因而大大提高计算的准确性。

然而，在靠近临界温度（临界点）时，自由能收敛速度变慢，原因是行．行转移矩阵的最大本征值几乎是简并的，这使得需要保留较多的本征态，即熏整化相空间维数需要大大增加。

此外，简并性大大降低了Ｌａｎｃｚｏｓ对角化的效率，以致难以得到满意的结果，需要有新的算法来处理临界点附近计算不收敛的问题。

因为Ｂａｘｔｅｒ角转移矩阵的本征值分布比行一行转移矩阵要稀疏，它在临界点附近可以快速收敛，因而基于角转移矩阵的密度矩阵重整化群方法更适合计算二维经典统计模型。

Ｎｉｓｈｉｎｏ和Ｏｋｕｎｉｓｈｉ首创角转移矩阵重整化群（ＣｏｒｎｅｒＴｒａｎｓｆｅｒＭａｔｒｉｘＲｅｎｏｒｍａｌｉｚａｔｉｏｎＧｒｏｕｐ）方法１２６］将密度矩阵表示成角转移矩阵的乘积，结合Ｗｈｉｔｅ等人的重整化群思想，在扩展点阵的迭代过程中系统地削减相空间维数，使其相空间维数限制在一个有限值．因此系统很容易扩展到非常大的格点尺寸，计算误差大大减少。

角转移矩阵重整化群（ＣＴＭＲＧ）方法是目前在临界点附近计算二维系统统计性质的一种有效方法。

但目前用这种方法计算过的热力学量均是如磁化率，自由能密度之类的定域量。

ＣＴＭＲＧ方法计算非定域量的效率尚不清楚。

关联函数是一个比较难于准确计算的重要的非定域物理量。

蒙特卡罗模拟关联函数的困难主要是由于有限点阵误差和缺失自ｇ－均性。

我们将利用ＣＴＭＲＧ方法来计算二维伊辛模型的关联函数，以检验ＣＴＭＲＧ方法的有效性。

通过同已知的关联函数Ｉ临界指数作比较，使我们相信ＣＴＭＲＧ方法在计算关联函数方面也是十分高效的。

第ｊ章前言
１．３论文结构
论文的组成结构安排如下：第二章简要介绍一下本文要用到的短时临界动力学理论和研究方法。

第三、四、五章主要介绍我们的研究成果。

其中第三章是关于非平衡非可逆过程的初始序普适函数的ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ模拟计算，着重研究以吸附一退吸附模型为代表的非可逆模型的关于初始序参量的特征函数，证明其普适性；第四章是关于动力学球模型初始关联普适函数的解析计算；第五章足用角转移矩阵重整化群方法来计算二维伊辛模型的关联函数，确定临界点及Ｉ临界指数。

在最后一章，对博士期间的工作进行总结，并对未来的工作作出展望。

８
第２章短时临界动力学理论
２．１临界现象简介
相变问题是统计物理学的一个重要分枝。

如果在相变点系统的自由能（也可以用化学势肛）连续而一阶导数不连续，则称为一阶相变。

如果在相变点系统的自由能及其一阶导数连续，而二阶导数不连续，则称为二阶相变。

一阶相变的特征足在相变时伴随有潜热的吸收或放出，并有体积变化，在相变点两相可以共存。

二阶相变有以下特点１２７］：
１发生相变时没有相变潜热及体积变化。

２体系在相变前后的宏观状态连续变化，而微观对称性产生突变。

例如在各向同性的铁磁体中，在相变前具有三维空间的全部旋转对称性，相变后产生自发磁化，有了一个特定的磁化方向，立刻失去无穷多个对称元索，这种现象也被称为对称破缺。

而系统的宏观状态在相变前后始终保持连续的，也正是在这个意义上，二阶相变也被称为连续相变。

３由于二阶相变是微观对称性的突变，因而没有亚稳态，也不可能有两相共存区。

４在相变点自由能函数及其一阶导数连续，而二阶导数不连续，有奇异性。

二级相变的相变点亦称为临界点。

在临界点附近，体系表现出一系列奇异的物理现象，称为临界现象。

描述二阶相变关键的物理量是序参量，它可以直观地理解为体系有序程度的量度。

对不同的体系，对应着不同的序参量。

如在铁磁相变中自发磁化强度Ｍ为序参量，而液气相变中液相与气相的密度差ＰＬ—ＰＧ为序参量。

作为序参量，满足一个共同的特点，即在Ｔ＜疋时，序参量是温度丁的单调下降函数，当Ｔ＞疋时序参量为零。

具体的讲，在低温为有序相，序参量不为零．随着温度升高，序参量连续下降，直到Ｔ≥疋序参量变为
９
第２章短时临界动力学理论
零。

在临界温度Ｔ＝咒两边，序参量是连续变化，没有跃变，这是与一阶相变不同的地方。

虽然一阶相变也可以定义一个序参量，但序参量在相变点两边会产生跃变。

在临界点附近，系统内部出现各种尺度的涨落，关联长度发散，系统具有标度不变性，各种热力学函数满足由若干个临界指数刻画的标度关系。

由于在临界点，空间关联长度为无穷大，微观作用细节对系统的大尺度行为的影响将变得不重要，因而系统的标度行为呈现普适性，即具有相同的空问维数和序参量维数以及对称性的体系属于同一普适类，它们有相同的Ｉ临界指数，也就是有相同的临界行为［２８－３０］。

实验观测和理论研究都表明，在ｉ临界点的邻域，某些热力学量可以表示成幂函数的形式，这些幂一般是非整数，这就是临界指数。

例如Ｉｓｉｎｇ模型，各物理量有以下的临界行为：
序参量空间关联长度
磁化率
比热对于一个处于平衡态的统计系统，系统处在临界温度冗时，空间尺度发散，关联长度∈变得无穷大，结果系统的微观细节被抹去而不重要，唯一的特征长度是关联长度∈，所有热力学量的奇异性都来源于此。

在临界点，∈一。

，对其作任何尺度变换的结果仍然是无穷大，这时系统普适性的标度行为开始呈现出来。

临界动力学研究在临界点附近的非平衡现象，需要研究物理量在与时间有关的扰动作用下如何变化，以及当扰动撤去后系统如何趋向平衡态。

临界动力学现象研究中，主要兴趣在于序参量或其它慢变量的大尺度涨落的时间演化。

为了描述动力学临界现象的中长期标度行为，需引入动力学临界指数ｚ№３１１“。

与平衡态临界现象相似，由于空问关联长度与时间关１０
＜簪｜｜ｎ１∥（，～
～∞∞～１∞
＝＝…卜Ｈ∽盯～～～ＭＭ
ｆｘ
ｃ
２．ｊ临界现象简介联长度发散，动力学临界指数也具有普适性并满足确定的标度律［３４－３６１。

对于磁系统，如Ｉｓｉｎｇ模型，物理可观测量（？的有限尺度动力学标度关系式为［３１，３７－３９ｉ：
Ｑ（ｔ．Ｔ，Ｌ）＝Ｄ１蛔Ｑ（ｂ—ｔ、６１／”Ｔ，６。

Ｌ）（２－１１这里ｔ是时问，，＝写玉是约化温度，Ｌ是系统格点的尺寸，６是标度因子，而／Ｊ是静态指数，Ｚ是动力学指数，ｄＱ则是Ｑ的反常量纲．在长时区，
动力学标度不依赖韧始条件，系统失去对初始条件的记忆。

由时刻ｔ＝０起的微观时问尺度ｔ。

；。

内，系统的演化行为依赖于微观相互作Ｊ｝｝ｉｆ细节及初态条件，因而没有普适性。

但当时阎足够长，满足ｔ＞＞￡。

时，系统的演化就呈现出普适性。

可采用一些特征时间标度将演化时间划分为不同的演化区，在这些演化区内系统会有不同的标度行为。

其中的一个特征时问标度就是长时区时间标度ｔ，一ｒ…，∥是前述的甲衡态临界指数之一。

￡，是序参量Ｍ（ｔ）＝＜Ｐ（ｘ，￡）＞的线性弛豫特征时间ｆ４０】。

ｔ＞＞ｔ，的时间区域称为线性弛豫区，Ｍ（￡）一ｅ－ｔ／“…ｔ。

＜＜ｔ＜＜ｔ，称为非线性弛
豫区…。

４】（代数弛豫区），ａ，Ｉ（ｔ）～￡一。

归。

可见动力学临界指数。

与平衡态临界指数卢、ｖ一起确定了动力学临界现象的中长期行为。

所以动力学临界指数的确定是临界动力学研究的一个重要课题。

通常动力学模型不能精确求解，一般采用简化近似和汁算机模拟。

临界指数ｚ的计算主要采用与重整化群结合的ｓ展开或计算机模拟的方法。

其中计算机数值模拟是一种比较重要而有效的手段。

从式（２－１）可得出时间关联长度已的有限尺度标度关系
已～上。

（２－２）过去计算机模拟主要是通过测量自关联函数Ｃ∽ｒ７）在长时区的指数衰减来测量动力学临界指数ｚ。

但在临界点附近，计算机模拟会遇到临界慢化即时间关联长度趋于无穷的困难。

为此人们作了许多尝试，其中比较有效的克
第２章短时临界动力学理论
服临界慢化的一种办法是非定域的ｃｈｌｓｔｏｒａｌｇｏｒｉｔｈｍ方法。

但是这种方法有这样的缺点：它的动力学是人为设计的非定域动力学，。

很小或等于零，因而不能由此获得原系统的动力学性质［ｏ，４５】；另外，它在实际使用时比较复杂，耗费的计算机ＣＰＵ资源极大．随着早期临界动力学研究的进展，人们发现在非甲衡的短时区也可以测量ｚ和甲衡态的临界指数。

这种所谓动力学ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ方法不受临界慢化所困扰，因而是一种十分高效的方法．
２．２短时临界动力学综述
在前言里面讲过，过去相当长的一段时闯里，人们认为在动力学演化的早期阶段没有普适的标度行为，但近十年的研究彻底改变了这种状况。

ｔ９８９年Ｈ．Ｋ．３ａ，ＩＩ￥Ｓｅｎ，Ｂ．Ｓｃｈａｕｂ和Ｓ．Ｓｃｈｍｉｔｔｍａｎ【７ｌ对Ｏ（Ｎ）矢量模型鸽动力学Ａ模型进行研究。

通过用ｄ＋１维场论表示动力学过程，把动力学系统早期演化问题化为一个比甲衡态理论高一维的带半无穷达界的场论问题。

使用维数正规法并进行Ｅ＝４一ｄ展开到２阶，由重整化群方程得到反常量纲即临界指数，从而首先提出在演化的早期阶段存在一个新的普适标度区，假设Ｉｓｉｎｇ模型处于７’》疋温度下，由于远离临界点，空问关联很小。

另外还假设系统的磁化强度ｍｏ很小，但不为零。

在时刻ｔ＝０快速切换至温度Ｔ笺正且外场ｈ＝０的环境下，则热力学量会经历弛豫过程。

菲平衡的初始条件可表示为：
初始关联函数：
１２
ｃ（ｚ，ｚ７）＝（（西（ｚ．ｏ）一ｍｏ）（ｍ（ｚ７，ｏ）一，ｎ。

））＝０（２—３）
初始序参数：
ｍｎ＝＜中（ｚ、０）＞一０（２－４）在演化的早期阶段，即ｔ７—０，关联函数Ｃ（ｘ，￡：ｚ
７，ｔ７）和响应函数。