陕西省西安市临潼区华清中学2012届高三下学期第三次自主命题数学(文)试题

华清中学2012届高三下学期第三次自主命题数学（文）试题
一．选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若集合{}|sin 0E x x ==与{}|sin 20F x x ==，则（ ）
A ．E F E =
B ．F F E =
C ．F E =
D ． ∅=F
E 2.函数3
()f x ax bx =+在1a
x =处有极值,则ab 的值为( ）。

A. 3
B.3-
C.0
D.1 3. 若0m n <<，则下列结论正确的是（ ） A ．2
2
m
n
> B ．
1122m n
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．2
2log
log m n
> D ．1
12
2
log
log m n >
4．下列三个不等式中,恒成立的个数有( ）
①12(0)x x x +≥≠; ②(0)c c a b c a b
<>>>;
③(,,0,)a m a a b m a b b m b
+>><+。

A ．3
B .2
C 。

1
D 。

0
5.航模小组在一个棱长为6米的正方体房间试飞一种新型模型飞机，为保证模型飞机安全，模型飞机(外形不计）在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米，则模型飞机“安全飞行"的概率为( ）
A 。

127
B 。

116
C 。

827
D 。

38
6。

已知某http ：//www 。

/几何体的三视
图如右图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接
三角形构成，
根据图中的数据可得此几何体的体积为( ) A. 21
32
π+ B. 41
36
π+
C 。

2166
π+
D 。

2132
π+
7．若满足条件AB=3，C=
3
π
的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取
值范围是（ ）
A.()1,2 B 。

()2,3 C 。

()3,2 D 。

()2,2
8.把函数()2sin(2)16
f x x π=--的图象按向量(,1)3
a π=--平移后得到函数
()y g x =的图象,则函数()g x 的最大值为（
）
A ． 0 B. 1 C 。

3- D. －1
9。

函数2
1()3cos log 2
2
f x x x π=--的零点个数为（ ）
A 。

2 B.3 C.4 D 。

5 10．下列命题中
①命题“若0232
=+-x x ，则x = 1”的逆否命题为“若x ≠ 1，则0232
≠+-x x ”；
②过点（-1，2）且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程是
30;x y -+=
③若p q 且为假命题，则q p ,均为假命题 ;
④对命题p ：0
,x R ∈存在使得010
2
0<++x x ，则:p ⌝,x R ∈任意均有012
≥++x x 。

其中正确命题的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
第Ⅱ卷(非选择题 共100分）
二．填空题（本大题共5小题,每小题5分，共25分．）
11．设等差数列{}n
a 的前n 项和为
n
S ，若
25815a a a ++=，则9S = .
12。

设,a b 为实数，若复数()()112i a bi i +⋅+=+，则
a bi
-= .
13。

已知实数x ，y 满足210,||10
x y x y -+≥⎧⎨
--≤⎩且
3z x y
=-+的最大值
是 . 14.已知0
a
≠, ①设方程0
10
a x a
+=的1个根是1
x ,则10
1a a x
=-
；
②设方程2
120
a x
a x a ++=的2个根 是1
x 、2x ，则20
12
a a x x
=
；
③设方程3
20
1230
a x
a x a x a +++=的3个根是1
x 、2
x 、3
x ,则30
123
a a x x x
=-
；
④设方程4
320
12340
a x
a x a x a x a ++++=的4个根是1
x 、2
x 、3
x 、4
x ,则40
1234
a a x x x x
=
；
由以上结论，推测出一般的结论： 设方程1
2
1
2
1
0n
n n n n
a x a x a x a x a ---+++++=的n 个根是1x 、2x 、
、n
x ,
AD ＝3，则CE ＝ ;
（B)(极坐标系与参数方程选做题）已知抛物线C 1的参数方程为错误!(t 为参数)，圆C 2的极坐标方程为ρ＝r (r >0)，若斜率为1的直线经过抛物线C 1的焦点,且与圆C 2相切,则r ＝_ __;
（C ）（不等式选做题）已知a ∈R ，若关于x 的方程2
1
04
x
x a a ++-
+=有实根，则a 的取值范围是 ．
三．解答题:本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题满分12分)已知函数()21
2cos ,2
f x x x x =
--∈R. （I ）求函数()f x 的最小值和最小正周期；
（II ）设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且
第19
题图
乙
1 2 3
4
甲
()0c f C ==,sin 2sin B A =,求,a b 的值。

17．（本题满分12分)在等比数列{}n
a 中，0()n a n *
>∈N ,公比(0,1)q ∈，且35
46
39
2100a a a a a a ++=，又4是4
a 与6
a 的等比
中项。

（Ⅰ）求数列{}n
a 的通项公式；
（Ⅱ）设2log n n b a =,求数列{}||n
b 的前n 项
和n
S 。

18。

(本题满分12分)已知四棱柱11
1
1
ABCD A B C D -中，
1
AA ⊥底面ABCD ，90ADC ∠=，AB CD ||，1
22AD CD DD AB ====。

（Ⅰ）求证:11
AD B C ⊥;
(Ⅱ)求四面体11
A BDC 的体积。

19．(本题满分12分）某市在每年的春 节后，市政府都会发动公务员参与到植 树活动中去.林管部门在植树前,为保证 树苗的质量,都会在植树前对树苗进行
检测。

现从甲乙两种树苗中各抽测了10株
树苗的高度,量出的高度如下（单位：厘米） 甲： 37,21,31,20,29,19,32,23,25,33 乙: 10,30,47,27,46,14,26,10,44,46
（Ⅰ)根据抽测结果，完成答题卷中的茎叶图， 并写出甲、乙两种树苗的高度的中位数；
（Ⅱ）设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x ，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行的运算,问输出的S 大小为多少?并说明S 的统计学意义。

A 1
C
D 1D
A B B 1
C 1
20.(本题满分13分）已知函数11()()ln f x m x x m
x
=++-，
（Ⅰ）当2m =时，求()f x 的极大值；
（Ⅱ）当0m >时，讨论()f x 在区间(0,1)上的单调性.
21．(本题满分14分）已知两点M （-2，0)，N (2,0）， 动点P 在y 轴上的射影为H ，若PH PH ⋅、PN PM ⋅分别是公比为2的等比数列的第三、四项.
（Ⅰ)求动点P 的轨迹方程C ； （Ⅱ）已知过点N 的直线l 交曲线C 于x 轴下方两个不同的点A 、B ，设AB 的中点为R ，若过R 与定点),(Q 20-的直线交x 轴于点D(0
x ，0），求0
x 的取值范围.
华清中学第三次自主命题答案(文科数学)
一选择题 ABDBC CCABA
二填空题 11．45 ; 12。

; 13. —7;
14.
()0
-1n
n a a ； 15。

A 。

CE=27; B. 2 ;C 。

10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
三解答题
17解：（Ⅰ）∵35
46
39
2100,a a a a a a ++=即224
46
6
2100,a a a a ++=
∴2
46()100,a a +=又∵0,n a >∴46
10.a a += （2分) 又∵4为46,a a 的等比中项，∴46
16.a a =
∴46,a a 是方程2
10160x x -+=的两个根,而()0,1,q ∈∴46
,a a >
∴46
8,2,a a == （4分）
∴1
71
11,64,642.22n n n q a a --⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭ （6分)
(Ⅱ）2log 7,n n b a n ==-则{}n b 的前n 项和为(13)
,2
n n n T -=
∴当17n ≤≤时 (13)
0,;2
n n n n b S ->∴= 当8n ≥时，0,n b <12789()n n S b b b b b b =+++-++
+
()121272()n b b b b b b =-+++++++
()2(13)7(60)121384222
n n n n -+=-+⋅=-+
∴()*
2*1(13),(17,2
11384(8,2
n n n n n N S n n n n N ⎧-≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+≥∈⎪⎩且），且）
18解：（Ⅰ）由四边形1
1
A ADD 是正方形,
所以D A AD 1
1
⊥。

又⊥1
AA 平面ABCD ,
90=∠ADC ,所以DC AD DC AA ⊥⊥,1
， 而1
AA AD A =,
所以DC ⊥平面D D AA 11，DC AD ⊥1
. 又1
A D DC D =，
所以⊥1AD 平面
1
1DCB A ，故
C
B AD 11⊥。

（6分)
(Ⅱ)设所给四棱柱的体积为V ，则61=⋅=AA S
V ABCD
，
又三棱锥ABD A -1
的体积等于三棱锥1
1
1
C D A B -的体积，记为1
V , 三棱锥111C D A D -的体积又等于三棱锥CBD C -1的体积，记为2
V 。

而
3
221221311=
⨯⨯⨯⨯=V ，
3
4
22221312=
⨯⨯⨯⨯=V ，
所以所求四面体的体积为22221
=--V V
V .
(12分）
19．解：(Ⅰ）茎叶图如图2， 甲种树苗的中位数为27， 乙种树苗的中位数为28.5；
A
1
C
D 1D
A
B
B 1
C 1
（Ⅱ) 3721312029193223253327,10
x +++++++++==
……8分
22222222221064728542635.10
S +++++++++==
……10分
S 表示10株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量. S
值越小，表示长得越整齐，S 值越大，表示长得越参差不
齐。

……12分
20。

（Ⅰ）当2m =时,51()ln 2
f x x x x
=+-
22
51(2)(21)
()122x x f x x x x
--'=
--=-(0)x > （2分） 当102x <<或2x >时，()0f x '<；当122
x <<时，()0f x '>；
∴()f x 在1(0,)2和(2,)+∞上单调递减,在1(,2)2
单调递增;（5
分)
故53()=(2)ln 222
f x f =-极大。

(6分）
(Ⅱ)（1)222
11()1
1()1m x m x m m f x x x x
+-++'=--=- 2
1
()()
(0,0)x m x m x m x --=-
>> （8分） ① 当01m <<时，则1
1m >，
故(0,)x m ∈时，()0f x '<；(,1)x m ∈时，()0f x '>。

此时()f x 在(0,)m 上单调递减，在(,1)m 单调递增； （9分）
②当1m =时，则1
1m
=,故(0,1)x ∈,有22(1)()0x f x x -'=-<恒成立,
此时()f x 在(0,1)上单调递减； (11分）
③当1m >时，则101m
<<，故1(0,)x m
∈时，()0f x '<;1(,1)x m
∈时,()0f x '>，
此时()f x 在1(0,
)m 上单调递减，在1
(,1)m
单调递增 (13分）
21．解:(1）设),(y x P ，则),0(y H ，)0,(x PH -=，),2(y x PM ---=，),2(y x PN --=，4)2)(2(2
2
2
-+=+-+=⋅y x y x x PN PM ,2
x PH PH =⋅，
由题意知：242
2
2=-+x y x ，
即
)0(14
42
2≠=-x x y 为所求。

(2）设)2(:-=x k y l ,代入4
2
2
=-x y 得
084)1(2
2
2
=---k ky y k ,依题意有
1220
00
0121212<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧⇒><+>∆≠-k y y y y k AB 的中点坐标)
12,
12(222
--k k
k k ， RQ 方程：x
k
k k y 2
21
2-+=+,
令0=y ,得4
5)211(21
222
20
+--=
-+=
k k k k x ，
∵
12
2
<<k ，∴211<<k
， ∴)1,12(4
5
)
2
1
1(2
-∈+--k ，
∴)
222,2(0
+∈x。