2020-2021学年甘肃省白银市靖远县高三(上)期末数学试卷(文科)

2020-2021学年甘肃省白银市靖远县高三（上）期末数学试卷
（文科）
一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．||＝（）
A．B．C．10D．
2．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣12＜0}，则∁R A＝（）
A．{x|x≤﹣2或x≥6}B．{x|﹣2≤x≤6}C．{x|﹣6＜x≤2}
D．{x|x≤﹣6或x≥2}
3．2020年以来，网络直播行业迎来新的发展机遇，直播带货模式成为企业的“标配”．由中国互联网络信息中心（CNNIC），占整体手机网民的62.0%．
根据以上信息，下列说法不正确的是（）
A．2018～2020年我国网络直播用户一直保持增长态势
B．2020年我国手机网民未超过9亿
C．2020年底我国网络直播用户规模较2018年底增长1.63亿
D．2016～2020年我国网络直播用户规模和使用率变化的趋势一致
4．已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最大值为（）A．4B．14C．16D．21
5．已知双曲线（a＞0，b＞0）有一条渐近线与直线2x﹣3y+1＝0垂直，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
6．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．已知正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，30条棱，20个面（其中a为棱长），已知一个正二十面体各棱长之和为，则该正二十面体内切球的半径为（）
A．B．C．D．
7．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a n＞0，a4+a3＝2（a2+a1），S6＝7，则a5+a6＝（）A．B．C．4D．8
8．执行如图所示的程序框图，输出的点都在函数（）
A．y＝|2x﹣5|﹣2的图象上B．y＝|2x﹣3|﹣2的图象上
C．y＝cos（πx）的图象上D．y＝2sin（πx）的图象上
9．已知a＝lg2，3b＝10，则log56＝（）
A．B．C．D．
10．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减（4）＝0，则不等式xf（x）（）A．（﹣4，0）∪（4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（0，4）
C．（﹣4，0）∪（0，4）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
11．如图，已知抛物线C1：y2＝8x，圆C2：x2+y2﹣4x＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆依次交于点P，M，N，Q，则|PM|•|QN|＝（）
A．2B．4C．6D．8
12．已知函数f（x）满足2f（x+2）﹣f（x），当x∈（0，2]时，
．若对任意的m∈（4，6]（0，+∞），使得不等式f（m）≤g（n），则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知单位向量，的夹角为，则|﹣．
14．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17＝17，则a5+2a11＝．
15．已知函数，若函数f（x）在上没有零点．
16．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的球心O到平面ACB1的距离为，点M为棱CC1上的一个动点，则的最小值为．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
17．“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，并将这100人按年龄分为第1组[25，35），45），第3组[45，第4组[55，65]，已知区间[25，35），45），[45，[55，65]上的频率依次成等差数列．
（1）分别求出区间[25，35），[35，[45，55）上的频率；
（2）现从年龄在[35，45）及[45，55）的人群中按分层抽样抽取5人，用x表示抽到作为宣讲员的年龄在[35，45）的人数，55）的人数，求满足x﹣y＞0的概率．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，P A＝AB＝PB＝2（1）证明：AE⊥平面PBC．
（2）已知点F是边BC的靠近B点的三等分点，求点B到平面AEF的距离．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B＞A．
（1）求；
（2）已知D为AB上一点，满足∠BCD＝∠ACD＝60°，CD＝1
20．已知椭圆M的焦点在坐标轴上，且经过P（，1），Q（0，2）两点．（1）求椭圆M的标准方程；
（2）已知过点（0，1）且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆M交于A，点C与点B关于y轴对称，证明直线AC过定点
21．已知函数．
（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1）；
（2）若关于x的方程f（x）＝e﹣2x在[0，+∞）上有解，求实数a的取值范围．
选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗……，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的极坐标中，，所在圆的圆心分别为（0，0），，，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧．（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+x2﹣ax．
（1）当a＝0时，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）若x∈（﹣1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．
2020-2021学年甘肃省白银市靖远县高三（上）期末数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．||＝（）
A．B．C．10D．
【分析】利用复数运算法则求出＝1﹣3i，由此能求出结果．
【解答】解：∵＝＝＝2﹣3i，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查复数的模的求法，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力等核心思想，是基础题．
2．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣12＜0}，则∁R A＝（）
A．{x|x≤﹣2或x≥6}B．{x|﹣2≤x≤6}C．{x|﹣6＜x≤2}
D．{x|x≤﹣6或x≥2}
【分析】先利用一元二次不等式的解法求出集合A，再利用补集的定义求解即可．【解答】解：因为A＝{x|x2﹣4x﹣12＜5}＝{x|﹣2＜x＜6}，
所以∁R A＝{x|x≤﹣6或x≥6}．
故选：A．
【点评】本题考查了集合的补集，考查运算求解能力，属于基础题．
3．2020年以来，网络直播行业迎来新的发展机遇，直播带货模式成为企业的“标配”．由中国互联网络信息中心（CNNIC），占整体手机网民的62.0%．
根据以上信息，下列说法不正确的是（）
A．2018～2020年我国网络直播用户一直保持增长态势
B．2020年我国手机网民未超过9亿
C．2020年底我国网络直播用户规模较2018年底增长1.63亿
D．2016～2020年我国网络直播用户规模和使用率变化的趋势一致
【分析】利用题中给出的统计数表中的信息，对各个选项进行逐一的分析判断即可．【解答】解：对于A，因为2018年12月我国网络直播用户规模为3.97亿，2020年12月为5.69亿，故选项A正确；
对于B，因为8.6÷0.62≈3.03＞9，故选项B错误；
对于C，因为5.8﹣3.97＝1.63，故选项C正确；
对于D，因为2016～2020年我国网络直播用户规模先增后减再增，所以2016～2020年我国网络直播用户规模和使用率变化的趋势一致．
故选：B．
【点评】本题考查了统计图表的理解和应用，考查数据分析能力，解题的关键是正确读取统计图表中的数据信息，属于基础题．
4．已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最大值为（）
A．4B．14C．16D．21
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】作出不等式组表示的可行域（图略），当直线y＝﹣x+z过点（7，z取得最大值16．
解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（7，
作出直线y＝﹣x，由图可知，
z有最大值为7+4＝16．
故选：C．
【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是中档题．
5．已知双曲线（a＞0，b＞0）有一条渐近线与直线2x﹣3y+1＝0垂直，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出a，b关系，然后求解离心率即可．
【解答】解：由题可知双曲线的渐近线方程为，则，即，，又c2＝a2+b5，可得e2＝＝，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查推理论证和运算求解能力，是基础题．
6．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．已知正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，30条棱，20个面
（其中a为棱长），已知一个正二十面体各棱长之和为，则该正二十面体内切球的半径为（）
A．B．C．D．
【分析】由已知求得正二十面体的棱长，代入已知体积公式可得正二十面体的体积，正二十面体内切球的半径为r，再由等体积法列式求得r．
【解答】解：由题可知，正二十面体的棱长，
设正二十面体内切球的半径为r，
，
解得，
故选：B．
【点评】本题考查多面体的内切球，利用等体积法求解是关键，是基础题．
7．记S n为等比数列{a n}的前n项和，a n＞0，a4+a3＝2（a2+a1），S6＝7，则a5+a6＝（）A．B．C．4D．8
【分析】先求出公比，再根据求和公式求出首项，问题得以解决．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则，
∴，
解得，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查等比数列，考查运算求解能力，属于基础题．
8．执行如图所示的程序框图，输出的点都在函数（）
A．y＝|2x﹣5|﹣2的图象上B．y＝|2x﹣3|﹣2的图象上
C．y＝cos（πx）的图象上D．y＝2sin（πx）的图象上
【分析】根据程序，进行运行，确定输出的点的坐标，根据坐标确定对应的函数关系式．【解答】解：由程序框图知，第一次输出（0，第二次输出（1，
第三次输出（3，﹣1），1），
经检验得，这些点都在函数y＝|3x﹣3|﹣2的图象上，
故选：B．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据程序运算，计算出输出结果是解决本题的关键．
9．已知a＝lg2，3b＝10，则log56＝（）
A．B．C．D．
【分析】利用指数与对数的互换表示出lg3，然后利用换底公式以及对数的运算法则求解即可．
【解答】解：由题可得，即，
故原式＝．
故选：A．
【点评】本题考查对数的运算，主要考查了对数式与指数式的互化，换底公式的运用，对数的运算法则的运用，考查了运算求解能力．
10．已知偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减（4）＝0，则不等式xf（x）（）A．（﹣4，0）∪（4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（0，4）
C．（﹣4，0）∪（0，4）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：因为偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，
根据偶函数的对称性可知，f（x）在（0，且f（﹣4）＝0，
由xf（x）＞0可得或，
即或，
解x＞6或﹣4＜x＜0，
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．
11．如图，已知抛物线C1：y2＝8x，圆C2：x2+y2﹣4x＝0，过圆心C2的直线l与抛物线和圆依次交于点P，M，N，Q，则|PM|•|QN|＝（）
A．2B．4C．6D．8
【分析】由抛物线的方程求出F的坐标，由圆的方程求出圆的圆心与半径，圆心与F重合，设出直线的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理求出P，Q的横坐标的乘积，由此即可求解．
【解答】解：由抛物线C1：y2＝2x，得焦点为F（2，
圆的标准方程为（x﹣2）6+y2＝4，所以圆心为（5，半径r＝2，
设P（x1，y5），Q（x2，y2），设直线l：x＝my+5，
将直线l代入抛物线方程可得y2﹣8my﹣16＝6，
则y1y2＝﹣16，，
故|PM|⋅|QN|＝（|PF|﹣r）（|QF|﹣r）＝（x8+2﹣2）（x6+2﹣2）＝x3x2＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线的方程与性质，考查了直线与抛物线的位置关系的应用，属于中档题．
12．已知函数f（x）满足2f（x+2）﹣f（x），当x∈（0，2]时，
．若对任意的m∈（4，6]（0，+∞），使得不等式f（m）≤g（n），则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【分析】求出f（x）在（4，6]上的最大值为1，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，问题转化为f（m）max≤g（n）max，即，求出a的范围即可．
【解答】解：当x∈（0，2]时，，2]上的最大值为3，又2f（x+2）﹣f（x）＝8，则f（x+2）＝，所以f（x）在（4，
对于函数，有，则在（7，1）上，函数g（x）为增函数，
在（1，+∞）上，函数g（x）为减函数，
则函数g（x）在（2，+∞）上，
若对任意的m∈（2，6]，+∞），
使得不等式f（m）≤g（n）成立，
必有f（m）max≤g（n）max，即，解得，
即a的取值范围为，
故选：C．
【点评】本题考查导数与最值的问题，考查化归与转化、函数与方程、以及运算求解能力和推理论证能力．
二、填空题：本大题共4小题．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知单位向量，的夹角为，则|﹣1．
【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力．
【解答】解：因为，所以．故答案为1．
【点评】考查单位向量的概念，向量数量积的运算．
14．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17＝17，则a5+2a11＝3．
【分析】由已知结合等差数列的求和公式及通项公式即可直接求解．
【解答】解：因为数列{a n}是等差数列，，
所以a3+a17＝2，从而2a4+16d＝2，
即a1+8d＝1，a5+8a11＝3a1+24d＝2．
故答案为：3．
【点评】本题考查等差数列，考查运算求解能力，属于基础题．
15．已知函数，若函数f（x）在上没有零点．
【分析】由题意利用余弦函数的图象及其性质，可得﹣≤，由此求得ω的取值范围．
【解答】解：∵函数在上没有零点，
结合ωx﹣∈（﹣，﹣）﹣≤，
解得，
所以，ω的取值范围是，
故答案为：．
【点评】本题考查余弦函数的图象及其性质，考查运算求解能力，属于中档题．16．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的球心O到平面ACB1的距离为，点M为棱CC1上的一个动点，则的最小值为．
【分析】说明BD1为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的直径，设正方体的棱长为a，B到平面ACB1的距离为h，利用，求解，然后求解a，点M 在棱CC1上一个动点，要求MD1+MA的最小值，
只需把平面DD1C1C沿CC1旋转到平面AA1C1C在一个平面内，结合图形，连接AD1，则AD1的长度即MD1+MA的最小值．求解即可．
【解答】解：球心到截面ACB1的距离即正方体中心到截面ACB1的距离，
BD2为正方体ABCD﹣A1B1C3D1的外接球的直径，且BD1⊥平面ACB8．
设正方体的棱长为a，B到平面ACB1的距离为h，，由，得，所以，
因为球心到平面ACB1的距离为，解得a＝4，
又点M在棱CC1上一个动点，要求MD1+MA的最小值，
只需把平面DD8C1C沿CC1旋转到平面AA7C1C在一个平面内，
如图所示，连接AD1，则AD5的长度即MD1+MA的最小值．
因此，．
故答案为：．
【点评】本题考查线与面的位置关系，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：17．“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成
了全民自觉参与，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，并将这100人按年龄分为第1组[25，35），45），第3组[45，第4组[55，65]，已知区间[25，35），45），[45，[55，65]上的频率依次成等差数列．
（1）分别求出区间[25，35），[35，[45，55）上的频率；
（2）现从年龄在[35，45）及[45，55）的人群中按分层抽样抽取5人，用x表示抽到作为宣讲员的年龄在[35，45）的人数，55）的人数，求满足x﹣y＞0的概率．
【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系即可解答；
（2）按分层抽样抽取5人，再从中选3人作为生态文明建设知识宣讲员，列举所有基本事件，利用古典概型可得答案．
【解答】解：（1）[25，35），45），55）上的频率之和为1﹣0.04×10＝4.6，
且前三个频率成等差数列（设公差为d），故[35，
从而2d＝0.7﹣0.2＝5.2，解得d＝0.6．
故区间[25，35），45），55）上的频率分别为0.1，3.3．
（2）由题意知[35，45）组抽取2人，B；[45，记这三人分别为a，b，c．
从中抽取8人有（A，B，a），B，b），B，c），a，b），a，c），b，c），a，b），a，c），b，c），b，c），
其中x﹣y＞0的有（A，B，a），B，b），B，c），
所以满足x﹣y＞0的概率为．
【点评】本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，古典概型的应用，属于中档题．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AB⊥平面ABCD，P A＝AB＝PB＝2（1）证明：AE⊥平面PBC．
（2）已知点F是边BC的靠近B点的三等分点，求点B到平面AEF的距离．
【分析】（1）由ABCD为正方形，可证明CB⊥AB，利用面面垂直的性质定理可得BC⊥平面P AB，从而得到AE⊥BC，利用等腰三角形的中线就是高，可得AE⊥PB，由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线AB的方向向量的平面的法向量，然后利用点到平面距离的计算公式求解即可．
【解答】（1）证明：因为P A＝AB，F为PB的中点，
因为ABCD为正方形，所以CB⊥AB，
又面P AB⊥平面ABCD，平面P AB∩平面ABCD＝AB，
所以BC⊥平面P AB，又AE⊂平面P AB，
所以BC⊥AE，PB∩BC＝B，BC⊂平面PBC，
所以AE⊥平面PBC；
（2）解：因为P A＝AB＝PB＝5，所以，建立空间直角坐标系如图所示，7，0），2，8），1，1），，故
，
则有，令x＝﹣3，z＝﹣1，故，
所以点B到平面AEF的距离．
【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定定理的应用以及点到平面距离的求解，解题的关键是建立空间直角坐标系，将距离问题转化为空间向量问题进行求解，属于中档题．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B＞A．
（1）求；
（2）已知D为AB上一点，满足∠BCD＝∠ACD＝60°，CD＝1
【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简，再由正弦定理即可求解；
（2）由已知结合三角形的面积公式可得a，b的关系，进而可求a，b，再由三角形的面积公式可求．
【解答】解：（1）由b sin B+c sin C＝3c sin2A+a sin A，得b4+c2＝6ac cos A+a2，
所以2bc cos A＝6ac cos A，
又B＞A，所以cos A≠6，即．
（2）在△ABC中，，
可得ab＝a+b，又b＝3a，b＝4，
所以△ABC的面积为．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式的应用，属于中档题．20．已知椭圆M的焦点在坐标轴上，且经过P（，1），Q（0，2）两点．（1）求椭圆M的标准方程；
（2）已知过点（0，1）且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆M交于A，点C与点B关于y轴对称，证明直线AC过定点
【分析】（1）依题意，设椭圆的方程为mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0），把点，Q（0，2）坐标代入，得m，n，进而可得答案．
（2）由题意知直线l的方程为y＝kx+1（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理，可得x1+x2，x1x2，由点C与B关于y轴对称，得C（﹣x2，y2），写出直线AC的方程，令x＝0，得y，即可得出答案．
【解答】解：（1）依题意，设椭圆的方程为mx2+ny2＝8（m＞0，n＞0）．
∵椭圆过点，Q（8，
∴解得
∴椭圆的标准方程为．
（2）由题意知直线l的方程为y＝kx+1（k≠0），
代入，得（k2+4）x6+2kx﹣3＝6，设A（x1，y1），B（x4，y2），
则，．
∵点C与B关于y轴对称，∴C（﹣x4，y2），
∴直线AC的方程为．
令x＝0，得
＝，
∴直线AC过定点（4，4）．
【点评】本题考查椭圆的方程，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21．已知函数．
（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1）；
（2）若关于x的方程f（x）＝e﹣2x在[0，+∞）上有解，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求得a＝0时，f（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率和切点，由直
线的点斜式方程可得所求切线的方程；
（2）化简方程f（x）＝e﹣2x，令g（x）＝e x（x2+ax+a）﹣1，求得导数，讨论a≥0，a＜0时，g（x）的单调性，可得最小值，解不等式可得所求范围．
【解答】解：（1）当a＝0时，，则，
，，
所以方程为，即，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．
（2）由f（x）＝e﹣2x，可得e x（x2+ax+a）﹣2＝0．
令g（x）＝e x（x2+ax+a）﹣6，则g'（x）＝e x（x+2）（x+a），
令g'（x）＝0，解得x7＝﹣2，x2＝﹣a．
①当a≥5时，g'（x）＞0在[0，
所以函数g（x）在[6，+∞）上单调递增，
所以g（x）min＝g（0）＝a﹣1，由a﹣1≤2，所以0≤a≤1．
②当a＜4时，则﹣a∈（0，
显然在[0，﹣a）上，g（x）单调递减；
在[﹣a，+∞）上，g（x）单调递增．
故函数g（x）在x＝﹣a处取得最小值，且，
因为a＜0，所以ae﹣a﹣1＜7，符合条件．
综上，实数a的取值范围是（﹣∞．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗……，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的极坐标中，，所在圆的圆心分别为（0，0），
，，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧．（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝
【分析】（1）直接利用转换关系，把极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用极坐标方程的应用求出结果．
【解答】解：（1）阴阳鱼图案中实线部分中的弧，，所在圆的圆心分别为（0，，，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M5是弧．由题意得，，
，
．
（2）解方程，
得，此时P的极坐标为；
解方程，得，
此时P的极坐标为．
故P的极坐标为，．
【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极坐标方程和极坐标，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+x2﹣ax．
（1）当a＝0时，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）若x∈（﹣1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．
【分析】（1）原不等式可化为|x|2+|x|﹣2＜0，解一元二次不等式即可求得|x|的取值范围，再去绝对值即可求得不等式的解集；
（2）对a分类讨论，去绝对值，即可求得满足条件的a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝0时，原不等式可化为|x|+x2＜3，即|x|2+|x|﹣2＜7，
解得﹣2＜|x|＜1，
所以﹣2＜x＜1，即原不等式的解集为（﹣1．
（2）当a≤﹣8时，因为x∈（﹣1，
所以由f（x）＞0，可得（x﹣a）+x（x﹣a）＞2，
即（x﹣a）（x+1）＞0，显然恒成立；
当a＞﹣7时，，
因为当﹣1＜x＜a时，f（x）＞0显然不能恒成立．
综上，a的取值范围是（﹣∞．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题．
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