高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充学案苏教版选修1-2(2021学年)

201７-２018版高中数学第３章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充学案苏教版选修１-２
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3.1 数系的扩充
学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程. 2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念。

３.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件.
知识点一复数的概念及代数表示
思考1 方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗?
思考2 若有一个新数i满足i2＝-1,试想方程x2+１＝０有解吗?
1.复数的定义
形如a+b i(a,b∈Ｒ)的数叫做复数，其中i叫做______＿＿___＿__，满足i2＝＿＿_＿＿___。

全体复数所组成的集合叫做＿_____＿__＿，记作Ｃ.
2.复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a+b i(a，b∈Ｒ),这一表示形式叫做复数的__＿_________,a与b分别叫做复数z的＿＿_＿__＿＿与_______＿.
知识点二复数的分类
思考１复数z＝a+b i在什么情况下表示实数？
思考2 实数集R和复数集Ｃ有怎样的关系？
1．复数a＋ｂi(a,b∈R)错误!
２．集合表示:
知识点三复数相等的充要条件
在复数集Ｃ={a＋ｂi|a，ｂ∈R}中任取两个复数a＋b i，c+d i(a,ｂ，c，d∈Ｒ),规定ａ＋bｉ与c+d i相等的充要条件是___＿＿_____＿＿____.
类型一复数的基本概念
例1 下列命题中，正确命题的个数是__＿___＿_.
①若ｘ,y∈C，则x+y i＝1＋ｉ的充要条件是x=y＝1;
②若a，b∈Ｒ且a>b,则a+i〉b＋i;
③若x2+y2＝0,则x=y＝０;
④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
⑤-１没有平方根．
反思与感悟(1)正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键,另外在判断命题的真假性时,需通过逻辑推理加以证明,但否定一个命题的真假性时,只需举一个反例即可,所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定＂的方法进行解答．
(2)复数的实部与虚部的确定方法
首先将所给的复数化简为复数的代数形式,然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部．
跟踪训练１若复数z=3＋ｂi〉0（b∈R），则b的值是____＿___．
类型二复数的分类
例2 实数ｍ为何值时,复数ｚ=m m＋2
m-1
＋（m2+2m－3）i是：(1）实数;（２)虚数;(3)纯虚数.
反思与感悟利用复数的概念对复数分类时,主要依据实部、虚部满足的条件,可列方程或不等
式求参数．
跟踪训练2 把例２中的“z”换成“z＝lg m+(ｍ-1)i”，分别求相应问题.
类型三复数相等
例3 已知集合M={1,2,（m２-3m-1)＋(m2-５m-6)i｝,集合Ｐ={-1，３},若Ｍ∩Ｐ＝｛３},求实数m的值．
反思与感悟两个复数相等,首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条
件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．
跟踪训练３ 已知错误!＝（ｘ2
-2x -３)i(ｘ∈Ｒ)，求x 的值．
1．在2＋７，27
i,0,8+５ｉ,(1－错误!)ｉ,0。

６1８这几个数中，纯虚数的个数为_＿___＿_＿．
2.以2i-＼r （5)的虚部为实部,以错误!ｉ＋２ｉ2
的实部为虚部的新复数是_＿＿＿__＿_＿__＿．
3.若x i-ｉ２＝ｙ＋２i,ｘ，y ∈R ,则复数x +y i=＿__＿__＿＿_＿。

4．下列命题：
①若a ∈R ，则(a ＋1)ｉ是纯虚数;②若(ｘ2－1）＋(x 2＋3x +２)i(ｘ∈R ）是纯虚数，则x =±1;③两个虚数不能比较大小.其中正确命题的序号是___＿＿＿＿＿.
5．已知复数z ＝错误!+(a 2－5a －6）ｉ(a ∈R ）,试求实数a 分别取什么值时，ｚ分别为：
(1)实数;(2）虚数;（３)纯虚数．
1．对于复数z=ａ+ｂi（a，b∈Ｒ)，可以限制ａ，ｂ的值得到复数z的不同情况.
2．两个复数相等,要先确定两个复数的实、虚部,再利用两个复数相等的充要条件进行判断.
ﻬ答案精析
问题导学
知识点一
思考1 没有．
思考２有解,但不在实数范围内.
1.虚数单位 -1 复数集
2．代数形式实部虚部
知识点二
思考1 b=0。

思考２RＣ.
1.实数虚数
知识点三
a=c且ｂ＝ｄ
题型探究
例1 ０
解析①由于x，y∈Ｃ,所以ｘ+yｉ不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,所以①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题．
③当x=１,y=i时,x2＋y2=０也成立，所以③是假命题．
④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时,复数为０,所以④是假命题．
⑤-1的平方根为±i，所以⑤是假命题．
跟踪训练1 0
解析只有实数才可比较大小，既然有z＝３+b i>0，则说明z=3＋b i是实数，故ｂ＝０。

例2 解（1)要使z是实数，m需满足m2+２m-3=0，且m m+2
m-１
有意义即m-1≠0，解得m=－3。

(2)要使z是虚数,m需满足m2+2ｍ－3≠0,且m m+2
m-1
有意义即m-1≠0,解得ｍ≠1且m≠－3。

（３)要使ｚ是纯虚数，m需满足＼f(m m＋2，m－1）＝0，m-1≠0，
且m2+2ｍ－３≠0，
解得ｍ＝0或m＝-2。

跟踪训练2 解（1）当错误!即m＝1时,复数z是实数．
(2）当m－１≠0且ｍ>0时,即m>0且ｍ≠1时,复数ｚ是虚数.
（3)当lg ｍ=0且m-1≠0时,此时无解,即无论实数m取何值均不能表示纯虚数.
例3 解由题设知3∈Ｍ,
∴(m2-3m-1)＋（m２－5m－6)ｉ＝３.
根据复数相等的定义，
∴错误!∴错误!
∴m=-1。

跟踪训练3 解∵x∈R,∴错误!∈R,
由复数相等的条件得：错误!
解得x＝3.
达标检测
１．2
解析错误!i,(1-错误!)i是纯虚数,2+错误!,0，０。

618是实数,8+5i是虚数.
2．2-2i
解析2ｉ－＼r(5)的虚部为2,5i＋2ｉ2的实部为－2，
∴所求的复数z=2-２i。

3．2+i
解析由i2＝－1得xｉ-i2=1+ｘｉ，即1+xｉ＝ｙ+2ｉ，根据两个复数相等的充要条件得错误!∴x+yｉ=２＋i。

4．③
解析当a＝-1时，(a+1）i＝0，故①错误;两个虚数不能比较大小,故③对；若(x2-1)+(x2＋3x+２)i是纯虚数，则错误!即ｘ=１,故②错.
5．解（1)当z为实数时,则错误!
∴错误!
∴当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有错误!
∴错误!即a≠±1且ａ≠6.
∴当a≠±1且ａ≠6时,ｚ为虚数．
(3)当z为纯虚数时,则有错误!
∴错误!
∴不存在实数a使ｚ为纯虚数.
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