常见分布的数学期望和方差

O
1
x
1
dx
x
( x y)dy
1
dy
y
(x
y ) dx
1
．
0
0
0
0
3
E(Z ) E[g( X , Y )]
g( x, y) f ( x, y)dxdy
22
练习：
P131 习题四
23
1
2
.
16
3. 正态分布 X ~ N(, 2 )
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
，
x
( 0)
2
E( X ) xf ( x)dx
1
2
(
xe
x )2 2 2
dx
奇
函
数
1
t2
( t ) e 2 dt
2
令 x t
t2
te 2 dt
1
t2
e 2 dt .
2
2
EX 1000 0.5 500，DX 1000 0.5 0.5 250．
由切比雪夫不等式，
P{
X
}
2 2
P{450 X 550} P{| X 500 | 50}
1
DX 502
1
250 2500
0.90 .
12
二、常见连续型分布的数学期望和方差
1. 均匀分布 X ~ U(a, b) .
5
3. 泊松分布 X ~ P()
P{ X k} k e , k 0,1,2, , ( 0)
k!
由无穷级数知识知， ex
xk ,
x (, )
k0 k!
E( X ) k k e k e
k0 k!
k1 (k 1)!
e i e e .
i0 i!
6
3. 泊松分布 X ~ P()
P{ X k} k e , k 0,1,2, , ( 0)
k!
E( X ) ，D( X )
E( X 2 ) k 2 k e k k e
k0 k!
k1 (k 1)!
k
(k 1)
e
k2
(k 1)!
k e
k1 (k 1)!
2
，
所以 D( X ) 2 2 .
分布
k!
数
k 0,1,2,
pq
npq
学 期
均匀 分布
f (x)
1 b
a
,
a
x
b
0 , else
望 与
指数 分布
f
(
x)
e x
0,
,
x0 else
( 0)
ab 2 1
(b a)2 12 1
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ，
(
x) 2 2
2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
E( X i ) p , D( X i ) p(1 p) ,
而 X= X1+X2+…+Xn ， Xi 相互独立，
n
n
所以 E( X ) E( X i ) E( X i ) np .
i 1
i 1
n
n
D( X ) D( X i ) D( X i ) np(1 p) .
i 1
i 1
2
2. 二项分布 X ~ B(n, p)
P{ X k} Ckn pkqnk , k 0,1,2, , n (q 1 p)
E( X )
n
k
C
k n
p
k
q
n
k
k0
n
k
k 1
n! k!(n
k )!
pk q nk
n
np
(n 1)!
p q k 1 n1(k 1)
k1 (k 1)!(n k )!
.
20
例2 设随机变量 X 在区间[a, b] 上均匀分布， EX 1 ， EX 2 4 ，试求 a 和 b（a b ）．
解 DX EX 2 (EX )2 3 ；
ab 2
(b a)2 12
EX 1， DX 3
；
a b 2， b a 6 ；
a 2， b 4 .
所以 D( X ) np(np p 1) (np)2 np(1 p) .
4
下面利用期望和方差的性质重新求二项分布的
数学期望和方差.
设 X ~ B ( n, p )，X表示n重伯努利试验中的成功次数.
设
1 X i 0
如第i次试验成功 如第i次试验失败
i=1,2,…,n
则
Xi
P
10
p 1 p
1
f
(
x)
b
a
,
a xb
0 , 其它
b
1
E( X ) xf ( x)dx x dx
a ba
1 b2 a2 a b
.
ba 2
2
13
二、常见连续型分布的数学期望和方差
1. 均匀分布 X ~ U(a, b) .
E( X ) a b ，D( X ) (b a)2
2
12
E( X 2 ) x2 f ( x)dx b x2 1 dx
n1
np
(n 1)!
p i q n1 i
i0 i!(n 1 i)!
令i k1
np( p q)n1 np .
3
2. 二项分布 X ~ B(n, p)
P{ X k} Ckn pkqnk , k 0,1,2, , n (q 1 p)
E( X ) np ，D( X ) np(1 p)
)
，Y
~
N
(
2
,
2 2
)
，且X ,Y
相互
独立，则 E( XY )
， D( XY )
.
解 E( XY ) 12 ,
D( XY ) E[( XY )2 ] [E( XY )]2
[D( X ) (EX )2 ][D(Y ) (EY )2 ] (12 )2
(12
2 1
)(
22
2 2
)
Leabharlann Baidu
12 22
a ba
1 b3 a3 b2 ab a2 ，
ba 3
3
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 (b a)2 . 12
14
2. 指数分布 X ~ E( ) .
e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
x ex dx
0
x de x
0
xex
0
exdx
0
1
ex
0
1
.
15
2. 指数分布 X ~ E( ) .
E( X )
1
，D( X
)
1
2
E( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 ex dx
0
x 2 de x x 2ex
0
0
2
0
x ex
dx
2
2
.
D( X )
E( X 2 ) [E( X )]2
因此 X 在区间[2,4] 上均匀分布．
21
例3 假设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都在区间(0,1) 上
均匀分布，试求随机变量 Z X Y 的数学期望．
解 易见X和Y的联合概率密度为
y x y
f (x,
y)
1, 0，
0
x 1，0
其它
y
1，
1
x y
x y
11
E | X Y | 0 0 | x y | dxdy
k 1
p kqk1
k 1
p
1 p2
1 p
.
8
4. 几何分布 P{X k} (1 p)k1 p , k 1,2,
E( X ) 1 p
，D(
X
)
1
p p2
E( X 2 ) k 2qk1 p k(k 1)qk1 p kqk1 p
k 1
k2
k 1
2 (1 q)3 q p
1 p
概率分布或概率密度
数学期望
方差
种
0-1 P{ X k} pkq1k ，k 0,1
常 分布
(0 p 1, q 1 p)
p
见 分
二项 分布
P{ X
k}
C
k n
pk q nk
k 0,1,2, , n (0 p 1,q 1 p)
np
布 的
泊松 P{ X k} k e ，( 0)
7
4. 几何分布 P{X k} (1 p)k1 p , k 1,2,
由无穷级数知识知，
k0
xk
1 1 x
，x
1
逐项求导， kxk1
k 1
1 (1 x)2
，x
1
令 x q 1 p ，(0 q 1)
有
k 1
kq k 1
1 (1 q)2
1， p2
所以
E( X )
kqk1 p
与 2X 的关系是则( ).
A.有相同的分布
B.数学期望相等
C.方差相等
D.以上均不成立
解 选(B).
11
例3 设事件A在每次试验中出现的概率为0.5，试利 用切比雪夫不等式估计1000次独立试验中，事件A出 现450到550之间的概率．
解 设X表示事件表示在1000次独立试验中出现的次数，
则 X ~ B(1000, 0.5) ,
2q p2
p
1 q p2
，
所以
1 q D( X ) p2
1 p2
q p2
1 p p2 .
9
xk
1
，x 1
k0
1 x
逐项求导， kxk1
k 1
1 (1 x)2
，x
1
再逐项求导， k(k
k2
1) x k2
2 (1 x)3
，
x
1
令 x q，
k(k 1)qk2
k2
2 (1 q)3
.
10
例1 设X服从二项分布B(n,p),则有 ( ).
A. E(2 X 1) 2np B. E(2 X 1) 4np 1 C. D(2 X 1) 4np(1 p) 1 D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解 选(D).
例2 设随机变量X ,Y 相互独立且分布相同，则 X Y
17
3. 正态分布 X ~ N(, 2 ) E( X ) ，D( X ) 2
令 x t
D( X ) E[X E( X )]2 1
(x
)2
e
( x )2 2 2
dx
2
2
2
t2
t
2e
2
dt
2
2
t2
t de 2
2 2
t2
te 2
2 2
t2
e
2 dt
2
.
18
几 分布
E( X 2 )
n
k 2Ckn
k0
pkqnk
n
np k
k 1
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
p k 1q n k
n np (k
k 1
1) (k
(n 1)! 1)!(n
k)!
pk1q nk
n k 1
(k
(n 1)! 1)!(n
k)!
p
k
1
q
n
k
np[(n 1) p 1]，
第三节
1
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)