高等数学（同济大学版）课程讲解1.9-1.10连续函数的性质

高等数学（同济大学版）课程讲解1.9-1.10连续函数的性质
课时授课计划
课次序号：07 一、课题：§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性
§1.10 闭区间上连续函数的性质
二、课型：新授课
三、目的要求： 1.了解连续函数的和、差、积、商的连续性；
2.了解反函数和复合函数的连续性；
3.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质．
四、教学重点：利用复合函数及初等函数的连续性求函数极限，利用零点定理证
明方程解的存在性.
教学难点：闭区间上连续函数的性质.
五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．
六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，
高等教育出版社；
2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．
七、作业：习题1–9 3（4），4（3）（4），5；习题1–9 1
八、授课记录：
九、授课效果分析：
复习
1.连续的定义：0
0lim ()()x x f x f x →=,三个条件缺一不可；
2.间断点的分类：第一类(可去型、跳跃型)，第二类（无穷型、振荡型）. 下面介绍连续函数的运算法则和闭区间上连续函数的几个性质．
第九节连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的四则运算
由连续函数的定义及极限的运算法则和性质，立即可得到连续函数的下列运算法则．定理1 若函数f （x ），g （x ）均在点x 0处连续，则()
()()()()()
f x f x
g x f x g x g x ±?、、（g （x 0）≠0），均在点x 0处连续．
如多项式函数0
()n
k n k k P x a x ==∑在（-∞，+∞）内连续，正切函数sin tan cos x
x x
=
在其定义区间内连续．
二、反函数的连续性
定理2 若函数()y f x =在区间x I 内单调增加（减少）且连续，则其反函数1()x f y -=在相应区间{(),}y x I y y f x x I ==∈内单调增加（减少）且连续．
从几何上看，该定理是显然的，因为函数()y f x =与其反函数1()x f y -=）在xoy 坐标面上为同一条曲线．
如sin y x =在[,]22
ππ
-上单调增加且连续，其反函数arcsin x y =在[1,1]-单调增加且连续．
三、复合函数的连续性
由连续函数的定义及复合函数的极限定理可以得到下面有关复合函数的连续性定理．
定理3 设函数[()]y f x ?=是由函数(),()y f u u x ?==复合而成的复合函数，
0()f g U x D ? ．如果()u x ?=在点0x 连续，又()y f u =在相应点00()u x ?=处连续，则
[()]y f x ?=在点0x 处连续．
推论若在某极限过程有l i m ()
x ?=A ，且y =f （u ）在u =A 处连续，则 lim [()]f x ?=f （A ），即 lim [()][lim ()]f x f x ??=
例1 求1
lim sin(1)x
x x
→∞
+．
解 1
1limsin(1)sin lim(1)sin e x x x x x
x →∞→∞??+=+=
．
例2 试证0ln(1)
lim
1x x x
→+=．
证因为ln y u =(u ＞0)连续, 故
100ln(1)lim limln(1)x x x x x x →→+=+1
00ln(1)lim ln lim(1)ln e =1x x x x x x →→??+==+=
．
由定理3及其推论,我们可以讨论幂指函数[]
()
()g x f x 的极限问题．幂指函数的定义域
要求()0f x >．当(),()f x g x 均为连续函数,且()0f x >时, []()
()g x f x 也是连续函数．在
求[]
()
lim ()g x x x f x →时,有以下几种结果:
(1) 如果0
lim ()x x f x →=A ＞0, 0
lim ()x x g x →=B ,则[]
()
lim ()g x x x f x →=A B ．
(2) 如果0
lim ()x x f x →=1, 0
lim ()x x g x →=∞,则[]
()
lim ()g x x x f x →=[]0
lim ()1()
e
x x f x g x →-.
(3) 如果0
lim ()x x f x →=A ≠1(A ＞0), 0
lim ()x x g x →=±∞,则[]
()
lim ()g x x x f x →可根据具体情况直接
求得．
例如，0
lim ()x x f x →=A ＞1，0
lim ()x x g x →=+∞，则[]
()
lim ()g x x x f x →=+∞．又如,0
lim ()x x f x →=A (0＜A ＜1), 0
lim ()x x g x →=+∞,则[]
()
lim ()g x x x f x →=0．
上面结果仅对x →x 0时写出,实际上这些结果对x →∞等极限过程
仍然成立．
例3 求10
sin 2lim x
x x x +→?? ???
．
解因为10
0sin 2lim 2,lim(1)1x
x x x x x +→→??
=+=
, 所以 110
sin 2lim 22x
x x x +→??
==
．
例4 求2
1lim 21x x x x →∞+??
+??
．
解由于11lim
212x x x →∞+=+，2lim x x →∞=+∞，因此 2
1lim 021x x x x →+∞+??
= ?+??
．例5 求1lim 1x
x x x →∞-??
+??
．解由于1lim 11x x x →∞-=+，lim x x →∞=∞，则1 2lim 1lim 2111lim e e e 1x x x
x x x x x x x x →∞→∞-??
-- ?-+??
+→∞-??=== ?+??
．例5也可按下列方法求解：12111e lim lim e 1e 11x
x x x x x x x x --→∞→∞??
- ?-=== ?+
+
．四、初等函数的连续性
我们遇到的函数大部分为初等函数，它们是由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而成的．由函数极限的讨论以及函数的连续性的定义可知：基本初等函数在其定义域内是连续的．由连续函数的定义及运算法则，我们可得出：初等函数在其定义区间内是连续的．
由上可知，对初等函数在其定义区间内的点求极限时，只需求相应函数值即可．
例6 求21ln(43)
lim arctan x x x x
→+-．
解初等函数2ln(43)
()arctan x x f x x
+-=在x =1的某邻域内有定义，所以
21ln(43)1ln(43)4lim arctan arctan1x x x x →+-+-==π
．例7 求22041lim 235
x x x x →--+．
解 22
0414011
l i m 23520305x x x x →-?-==--+?-?+5
．第十节闭区间上连续函数的性质
在闭区间上连续的函数有一些重要性质．它们可作为分析和论证某些问题时的理论根
据．这些性质的几何意义十分明显，我们均不给予证明．
一、最值定理
1.最值的定义
定义1 设函数()y f x =在区间I 上有定义，如果存在点x 0∈I ，使x I ?∈，有
0()()f x f x ≥（或0()()f x f x ≤）
，则称0()f x 为函数()y f x =在区间I 上的最大（小）值，记为
0()max ()x I
f x f x ∈=（或0()min ()x I
f x f x ∈=）
． 2. 最值定理
一般说来，在一个区间上连续的函数，在该区间上不一定存在最大值或最小值．但是如果函数在一个闭区间上连续，那么它必定在该闭区间上取得最大值和最小值．
定理 1 若函数()y f x =∈C ［a ，b ］，则它一定在闭区间［a ，b ］上取得最大值和最小值．
设f (x )∈C ［a ,b ］，
(1) f (x )为［a ,b ］上的单调函数由图1-40可看出，此时函数f (x )恰好在区间［a ,b ］的端点a 和b 取得最大值和最小值：
图1-40
y =f (x )↑,x ∈［a ,b ］，则[]
,max x a b ∈f (x )=f (b ), []
,min x a b ∈f (x )=f (a )；
y =f (x )↓,x ∈［a ,b ］，则[]
,max x a b ∈f (x )=f (a ), []
,min x a b ∈f (x )=f (b )．
(2) f (x )为［a ,b ］上的一般连续函数
在这种情形下，总可以将［a ,b ］分成有限个小区间，使函数f (x )
在每个小区间上保持单调增加或单调减少．于是，这有限个小区间的端点处的函数值中的最大者和最小者即分别为函数f (x )在［a ,b ］上的最大值和最小值，如图1-41所示．最大值为f (b )，而最小值为f (a 4)．
图1-41
3. 有界性定理
定理1表明：若()y f x =在闭区间［a ，b ］上连续，则存在x 1，x 2∈［a ，b ］，使得
12[,]
[,]
()min (),()min ()x a b x a b f x f x f x f x ∈∈==．于是，对任意x ∈［a ，b ］，有f （x 2）≤ f （x ）≤ f （x 1），
若取M =max{12(),()f x f x }，则有()f x ≤M ，从而有下述结论．定理2 若函数()y f x =∈C ［a ，b ］，则f （x ）在［a ，b ］上有界．
二、介值定理
1. 零点定理（根的存在定理）
图1-42
定理3 若函数()y f x =∈C （［a ，b ］），且f （a ）·f （b ）＜0，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ=．
零点定理的几何意义十分明显：若函数()y f x =在闭区间［a ，b ］上连续，且f （a ）与 f （b ）异号，则函数()y f x =对应的曲线至少穿过x 轴一次（见图1-42）．
例1 证明方程x 5
-3x =1在x =1与x =2之间至少有一根．
证令f (x )=x 5
-3x -1，[]1,2x ∈，则f (x )∈C （［1,2］），且f (1)=-3,f (2)=25,故由零
点定理，至少存在一点x 0∈(１,２)，使得f (x 0)=0，即方程x 5 -3x =1在x =1与x =2之间至少有一根．
例2 证明方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个不超过a +b 的正根．
证设f (x )=x -a sin x -b ,[]0,x a b ∈+ ,则f (x )∈C （［0,a +b ］），而
f (0)=0-a sin 0-b =-b ＜0,
f (a +b )=a +b -a sin (a +b )-b ＝a ［1-sin (a +b )］≥0．
1) 如果f (a +b )=0,则x 0=a +b 就是原方程的根．
2) 如果f (a +b )＞０，则由零点定理，至少存在一点0
x '∈(0,a +b ),使得f (0x ')=0．综上所述，方程x =a sin x +b 在（０，a +b ］上至少有一根，即至少有一个不超过a +b 的正根．
例3 设f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=f (b )=0，且存在正常数δ和δ１，使f (x )在(a ,a +δ)
及(b -δ１,b )内是严格单调增加的，证明至少存在一点x 0∈(a ,b )，使得f (x 0)＝０．
证由于f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=0,且f (x )在(a ,a +δ)上严格单调增加，故至少存在一点a 0∈(a ,a +δ),使得f (a 0)＞f (a )＝０．同理，至少存在一点b 0∈(b -δ１，b ),使得f (b 0)＜f (b )＝０．由f (x )∈C （［a 0,b 0］），f (a 0)f (b 0)＜0可知，至少存在一点x 0∈（a 0,b 0）?（a ,b ）,使得f (x 0)=0．
图1-43
2. 介值定理
由零点定理并运用坐标平移的方法，可以得到介值定理．定理4 设f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=A ,f (b )=B ,且A ≠Ｂ，则对于A ，B 之间的任意一个数C ，至少存在一点x 0∈(a ,b )，使得f (x 0)=C ．
该定理说明，当x 在［a ,b ］上变动时，［a ,b ］上的连续函数
所取得的函数值必完全充满某个区间［A ，Ｂ］(图1-43)．由介值定理我们还可得出:
推论设()y f x =∈C ［a ，b ］，[,]
m a x ()x a b M f x
∈=，[,]
min ()x a b m f x ∈=，则f （x ）必取得介于
M 与m 之间的任何值．
例4 设f (x )∈C (［a ,b ］)，a ＜x 1＜x 2＜…＜x n ＜b ，证明：至少存在一点x 0∈［x 1,x n ］，使得 f (x 0)=
12()()()
n f x f x f x n
+++ ．
证因为f (x )∈C （［x 1,x n ］），所以f (x )在［x 1,x n ］上有最大值和最小值存在．设M ＝
1[,]
max n x x x ∈f (x ),m =1[,]
min n x x x ∈f (x )，则m ≤f (x i )≤M , i =1,2,…,n ．
从而m ≤
12()()()
n f x f x f x n
+++ ≤M ．
由介值定理的推论，至少存在一点x 0∈［x 1,x n ］，使
f (x 0)＝12()()()
n f x f x f x n
+++ ．
应该注意，以上四个定理的共同条件“f (x )在闭区间［a ,b ］上连续”不能减弱．将区
间［a ,b ］换成(a ,b )，或去掉“连续”的条件，定理的结论都不一定成立．比如，y =
1x
在(0，1)连续，但1
x 在(0，1)内不能取到最大值，也无上界．又比如，f (x )= ,0,1,0x x x ≠??=?
在［-1,1］
上有定义，仅在x =0处不连续，(1)(1)0 f f -?<，但不存在x 0∈(-1,1)，使f (x 0)=0．
课堂总结
1.连续函数的运算法则：四则运算,反函数、复合函数、初等函数的连续性；
2.闭区间上连续函数的性质：最值定理、有界性定理、零点定理、介值定理.。