南充市七年级数学试卷平面图形的认识(二)压轴解答题专题练习(附答案)

南充市七年级数学试卷平面图形的认识（二）压轴解答题专题练习(附答案)
一、平面图形的认识（二）压轴解答题
1．问题情境：如图1，已知， .求的度数.
（1）经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作，根据平行线有关性质，可得 ________.
（2）问题迁移：如图3，，点P在射线OM上运动，， .
①当点P在A，B两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由.
②如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），请你直接写出
、、之间的数量关系，
（3）问题拓展：如图4，，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________.
2．如图，长方形中，，为边上一点，将长方形沿折叠( 为折痕)，使点与点重合，平分交于，过点作交于点，
（1）求证:
（2）若，求的度数
3．如图
（1）问题情境：
如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°。

求∠PAB+∠PCD的度数。

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD=________。

（2）问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β。

当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由。

（3）如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系。

（4）问题拓展：
如图4，MA1∥NA n，A1-B1-A2-…-B n-1-A n，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________ 。

4．如图，，，，点D，C，E在同一条直线上.
（1）完成下面的说理过程
∵，（已知）
∴，（垂直的定义）.
∴ .
∴，（________）.
∴ .（________）
又∠B=∠D，
∴∠B=∠BCE，
∴AB//CD. （________）
（2）若∠BAD=150°，求∠E的度数.
5．如图，现有一块含有30°的直角三角板ABC，且l1∥l2，其中∠ABC=30°。

（1）如图(1)，当直线l1 和l2分别过三角板ABC的两个顶点时，且∠1=35°，则∠2=________°
（2）如图(2)，当∠ADE=80°时，求∠GFB的度数。

（3）如图(3)，点Q是线段CD上的一点，当∠QFC=2∠CFN时，请判断∠ADE和∠QFG的数量关系，并说出理由。

6．
（1）如图1，AB∥CD，∠A=38°，∠C=50°，求∠APC的度数．（提示：作PE∥AB）．（2）如图2，AB∥DC，当点P在线段BD上运动时，∠BAP=∠α，∠DCP=∠β，求∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在段线OB上运动，请你直接写出∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系________．
7．课题学习：平行线的“等角转化功能.
（1）问题情景：如图1，已知点是外一点，连接、，求的度数.
天天同学看过图形后立即想出：，请你补全他的推理过程.解：（1）如图1，过点作，∴ ________， ________.
又∵，∴ .
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.
（2）问题迁移：如图2，，求的度数.
（3）方法运用：如图3，，点在的右侧，，点在的左侧，，平分，平分，、所在的直线交于点，点在与两条平行线之间，求的度数.
8．对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M＋k∠N＝360°，则称∠N 为∠M的k系补周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M的6系补周角．
（1）若∠H＝120°，则∠H的4系补周角的度数为________；
（2）在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数；
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P 点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
9．如图，三角形ABC，直线，CD、BD分别平分和．
（1）图中，，，求的度数，说明理由．
（2）图中，，直接写出 ________．
（3）图中，， ________．
10．问题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：
过点P作PE//AB，
∴∠PAB+∠APE=180°．
∵∠PAB=130°，∴∠APE=50°
∵AB//CD，PE//AB，∴PE//CD，
∴∠PCD+∠CPE=180°．
∵∠PCD=120°，∴∠CPE=60°
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
问题迁移：如果AB与CD平行关系不变，动点P在直线AB、CD所夹区域内部运动时，∠PAB，∠PCD的度数会跟着发生变化．
（1）如图3，当动点P运动到直线AC右侧时，请写出∠PAB，∠PCD和∠APC之间的数量关系？并说明理由．
（2）如图4，AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，请直接写出∠AQC和∠APC的数量关系________．
（3）如图5，点P在直线AC的左侧时，AQ，CQ仍然平分∠PAB，∠PCD，请直接写出∠AQC和角∠APC的数量关系________
11．如图，在△ABC中，点E和点F在边BC上，连接AE，AF，使得∠EAC=∠ECA，∠BAE=2∠CAF．
（1）如图1，求证：∠BAF=∠BFA；
（2）如图2，在过点C且与AE平行的射线上取一点D，连接DE，若∠AED=∠B，求证：BE=CD；
12．已知直线AB//CD,P是两条直线之间一点，且AP⊥PC于P.
（1）如图1,求证：∠BAP+∠DCP=90°；
（2）如图2，CQ平分∠PCG,AH平分∠BAP,直线AH、CQ交于Q,求∠AQC的度数；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、平面图形的认识（二）压轴解答题
1．（1）252°
（2）解：①解：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
②∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β
（3）∠A1+∠A2+…+∠A n=∠B1+∠B2+…+∠B n.
【解析】【解答】（1）解：问题情境：如图，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∵∠APC=108°，
∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°；
故答案为：252°；
（ 2 ）②解：当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；
当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β.理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β.
（3 ）问题拓展：分别过A2，A3…，A n-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，B n-1作直线∥A1M，
由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠A n=∠B1+∠B2+…+∠B n.
故答案为：∠A1+∠A2+…+∠A n=∠B1+∠B2+…+∠B n.
【分析】（1）问题情境：根据平行线的判定可得PE∥AB∥CD，再根据平行线的性质即可求解；
（2）问题迁移：①过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；②过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
（3）问题拓展：分别过A2，A3…，A n-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，B n-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解.
2．（1）证明：平行，理由如下：
∵长方形沿折叠，∴
∵平分
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
（2）解：∵，
∴
∵长方形中
∴
∵
∴
【解析】【分析】（1）由折叠的性质得出∠AEB=∠AEF，证出AE⊥EG，进而得出结论；（2）求出∠AEB=70°，由平行线的性质进而得出答案.
3．（1）252°
（2）解：结论: .
理由如下:
如图1,过P作PQ∥AD.
∵AD∥BC，∴AD∥PQ ， PQ∥BC .
∵PQ∥AD，∴ .同理， .
∴
（3）解：当点P在B、O两点之间时，如图2,则有；
当点P在射线AM上时，如图3,则有 .
（4）
【解析】【解答】解：（1）过P作PE∥AB
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°
∴∠PAB+∠APE+∠PCD+∠CPE=360°即∠PAB+∠PCD+∠APC=360°
∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°.
故答案为：252°.
（4）如图，过点B1作B1C∥A1H，过A2点A2D∥A1H，过点B2作B2G∥A1H,
∵A1H∥A3F
∴A1H∥A3F∥B1C∥A2D∥A1H∥B2G,
∴∠A1=∠1，∠3=∠2，∠4=∠5，∠6=∠A3，
∴∠A1+∠2+∠4+∠A3=∠1+∠3+∠5+∠6
∴∠A1+∠B1A2B2+∠A3=∠A1B1A2+∠A2B2A3.
由此规律可得：
∠A1+∠A2++∠A n=∠B1+∠B2++∠B n.
【分析】（1）过P作PE∥AB，结合已知可证得AB∥CD∥PE；再利用两直线平行，同旁内角互补可得到∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，然后将∠APC=108°代入计算可求出∠PAB+∠PCD 的度数。

（2）如图1，过P作PQ∥AD，结合已知条件可证得AD∥PQ ， PQ∥BC，利用平行线的性质可证得∠α=∠1，∠β=∠2，由此可证得结论.
（3）分情况讨论：当点P在B、O两点之间时；当点P在射线AM上时，分别利用平行线的性质，可证得结论。

（4）如图，过点B1作B1C∥A1H，过A2点A2D∥A1H，过点B2作B2G∥A1H,，结合已知条件可证得A1H∥A3F∥B1C∥A2D∥A1H∥B2G，利用两直线平行，内错角相等，可证得∠A1=∠1，∠3=∠2，∠4=∠5，∠6=∠A3，由此可推出∠A1+∠B1A2B2+∠A3=∠A1B1A2+∠A2B2A3，根据此规律可推出结论。

4．（1）同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行（2）解：∵（已知）
∴
又∵∠BAD=150°，（已知）
∴
由（1）得AB//CD.
∴（两直线平行，内错角相等）.
【解析】【分析】(1)结合图形，根据平行的性质和判定即可得到答案；
(2)根据题意首先求出∠BAE，再根据两直线平行，内错角相等即可得到答案.
5．（1）55
（2）解：如图，过点C作l1的平行线交AB于N。

∵CN∥l1
∴∠1=∠DCN 同理∠2=∠NCF
∴∠GFB=∠2=90°-∠1=90°-∠1=90°-∠ADE=10°
（3）解：3∠ADE=∠QFG+90°
由（2）可知：∠ADE+∠CFN=∠C=90°
设∠CFN=x,则∠QFC=2x
∴∠ADE=90°-x,∠QFG=180°-3x
∴3∠ADE=∠QFG+90°
【解析】【解答】（1）∵l1∥l2，∴∠2+∠CAB+∠ABC+∠1=180°，
∵∠CAB+∠ABC=90°，∠1=35°
∴∠2=55°；
【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补，可得∠2+∠CAB+∠ABC+∠1=180°，根据直角三角形的性质可得∠CAB+∠ABC=90°，从而求出∠2的度数；
（2）如图，过点C作l1的平行线交AB于N，可得CN∥l1∥l2，从而可得∠1=∠DCN，∠2=∠NCF，∠GFB=∠2，由∠GFB=∠2=90°-∠1=90°-∠1=90°-∠ADE，据此即可求出结论；
（3）结论3∠ADE=∠QFG+90° .理由：由（2）可知：∠ADE+∠CFN=∠C=90°，设∠CFN=x,则∠QFC=2x，从而可得∠ADE=90°-x,∠QFG=180°-3x，据此即得结论. 6．（1）解：如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE，
∵∠A=38°，∠C=50°，
∴∠APE＝38°，∠CPE＝50°，
∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝38°＋50°＝88°；
（2）解：∠APC＝∠α＋∠β，
理由是：如图2，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠PAB＝∠α，∠CPE＝∠PCD＝∠β，
∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝∠α＋∠β；
（3）∠APC＝∠β-∠α
【解析】【解答】解：（3）如图3，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB＝∠APE＝∠α，∠PCD＝∠CPE＝∠β，
∵∠APC＝∠CPE-∠APE，
∴∠APC＝∠β-∠α．
故答案为：∠APC＝∠β-∠α．
【分析】（1）过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．（2）过P作PE∥AD交AC 于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（3）若P在段线OB上，画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，依据角的和差关系即可得出答案．
7．（1）∠EAB；∠DAC
（2）解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，∴CF∥DE∥AB，
∴∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，
∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，
∴∠B+∠BCD+∠D=360°，
（3）解：如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，
∴∠ABE= ∠ABC=30°，∠CDE= ∠ADC=35°
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°．
【解析】【解答】解：（1）根据平行线性质可得：因为，所以∠EAB，∠DAC；
【分析】（1）根据平行线性质“两直线平行，内错角相等”可得∠B+∠BCD+∠D∠BCF+∠BCD+∠DCF；（2）过C作CF∥AB，根据平行线性质可得；（3）
如图3，过点E作EF∥AB，根据平行线性质和角平分线定义可得∠ABE= ∠ABC=30°，
∠CDE= ∠ADC=35°，故∠BED=∠BEF+∠DEF. 8．（1）60°
（2）解：①如图，
过点E作EF//AB，
∵AB//EF,
∴EF//CD，
∴∠B=∠1,∠D=∠2，
∴∠1+∠2=∠B+∠D，
即∠BED=∠B+∠D，
∵∠BED+3∠B=360°，∠D＝60，
∴，
解得：∠B=75°，
∴∠B=75°；
②预备知识，基本构图：
如图，AB//CD//EF,则
∠ABE+∠BEG=180°，
∠DCE+∠GEC=180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠DCE+∠GEC=360°，
即∠ABE+∠DCG+∠BEC=360°
如图：
当BG上的动点P为∠CDG的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n.理由如下：
若∠BPD是∠F的k系补周角，则
∠F+k∠BPD=360°，
∴k∠BPD=360°-∠F
又由基本构图知：
∠ABF+∠CDF=360°-∠F，
∴k∠BPD=∠ABF+∠CDF，
又∵∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE，
∴k∠BPD= n∠ABE+ n∠CDE，
∵∠BPD=∠PHD+∠PDH,
∵AB//CD，PG平分∠ABE，PD平分∠CDE，
∴∠PHD=∠ABH= ,∠PDH= ，
∴ ( + )=n(∠ABE+∠CDE)，
∴k=2n.
【解析】【解答】解：（1）设∠H的4系补周角的度数为x，
则有120°+4x=360°，
解得：x=60°
∴∠H的4系补周角的度数为60°；
【分析】（1）直接利用k系补周角的定义列方程求解即可．（2）①依据k系补周角的定义及平行线的性质，建立∠BED、∠B、∠D的关系式求解即可.②结合本题的构图特点，利用平行线的性质得到：∠ABF+∠CDF+∠F=360°,结合∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），又由于点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，通过构造相同特殊条件猜想出一个满足条件的P点，再通过推理论证得到k的值（含n的表达式），即说明点P即为所求.
9．（1）解：
，
，
如图1过D点作，
，
，，
，即
又、BD分别平分和．
，同理
（2）
（3）
【解析】【解答】
如图2过D点作，
，
，，
，即
又、BD分别平分和．
，同理，
，
，
即，
，
，
，
，
故答案为．
如图3过D点作，
，
，，
，即
又、BD分别平分和．
，同理，
，
，
即，
，
，
，
，
故答案为．
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质，得出，，则，再根据、分别平分和，
得出，同理，即可解答；（2）根据（1）的思路即可解答；（3）根据（2）的思路即可解答.
10．（1）∠PAB+∠PCD=∠APC
理由：如图3，过点P作PF∥AB，
∴∠PAB=∠APF，
∵AB∥CD，PF∥AB，
∴PF∥CD，
∴∠PCD=∠CPF，
∴∠PAB+∠PCD=∠APF+∠CPF=∠APC，
即∠PAB+∠PCD=∠APC
故答案为：∠PAB+∠PCD=∠APC
（2）
（3）2∠AQC+∠APC=360°
【解析】【解答】（2）
理由：如图4，
∵AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，
∴∠QAB= ∠PAB，∠QCD= ∠PCD，
∴∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+∠PCD)，由（1），可得∠PAB+∠PCD=∠APC，
∠QAB+∠QCD=∠AQC
∴∠AQC= ∠APC
故答案为：∠AQC= ∠APC；（3）2∠AQC+∠APC=360°
理由：如图5，过点P作PG∥AB ，
∴∠PAB+∠APG=180°，
∵AB∥CD，PG∥AB，
∴PG//CD，
∴∠PCD+∠CPG=180°，
∴∠PAB+∠APG+∠PCD+∠CPG=360°，
∴∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，
∵AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，
∴∠QAB= ∠PAB，∠QCD= ∠PCD，
∴∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+PCD)
由（1）知，∠QAB+∠QCD=∠AQC，
∴∠AQC= (∠PAB+∠PCD)
2∠AQC=∠PAB+∠PCD，
∵∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，
∴2∠AQC+∠APC=360°．
【分析】（1）过点P作PF∥AB，可得∠PAB=∠APF，根据AB∥CD，PF∥AB，可得∠PCD=∠CPF，所以∠PAB+∠PCD=∠APF+∠CPF=∠APC，即可证得∠PAB+∠PCD=∠APC；
（2）已知AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，根据角平分线性质，可得∠QAB= ∠PAB，
∠QCD= ∠PCD，∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+∠PCD)，再根据（1）结论，
即可证明∠AQC= ∠APC．（3）过点P作PG∥AB，根据平行线的性质可得∠PAB+∠APG=180°，由已知可得PG//CD，∠PCD+∠CPG=180°，证明得∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，，再根据AQ，CQ分别平分∠PAB，∠PCD，可得
∠QAB+∠QCD= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+∠PCD)，即可证明得出结论2∠AQC+∠APC=360°．
11．（1）设，则，
∴，，
∴；
（2），
∴，，
又∵，∴，
∴，
∴；
【解析】【分析】（1）设，则，可得，，易证；（2）根据，，则有，，，利用AAS可证，则有．
12．（1）证明：过P作PQ∥AB，
∴∠BAP=∠APQ
∵AB//CD
∴PQ//CD
∴∠DCP=∠CPQ
∴∠BAP+∠DCP=∠APQ+∠CPQ=∠APC
又∵AP⊥PC于P
∴∠APC=90°
∴∠BAP+∠DCP=90°
（2）解：过Q作QM∥AB，
∵CQ平分∠PCG ，AH平分∠BAP，
设∠PCQ=∠QCG=a ，∠BAH=∠HAP=b，
∵QM∥AB，∠BAQ=180° b
∴∠BAQ=∠AQM=180°
又∵AB//CD，
∴MQ//CD，
∴∠CQM=180° a
∴∠AQC=（180° b）（180° a）=a b
又∵由（1）得∴∠BAP+∠DCP=90°
∵∠DCP=180° 2a ，∠BAP=2b
∴2b+180° 2a=90°
∴a b=45°
∴∠AQC=45°
【解析】【分析】（1）过P作PQ∥AB，根据平行线的判定定理得出PQ//CD，由平行线的性质，得到∠BAP=∠APQ，∠DCP=∠CPQ，结合AP⊥PC，即可得到答案；
（2）过Q作QM∥AB，由平行线的性质和角平分线的性质，得到角度之间的关系，即可得到答案.。