四川省成都市第七中学2015-2016学年数学人教A版必修四课件：2.2.3 向量数乘运算及其几何意

即 P N 3 a .显 然 3 a 的 方 向 与 a 的 方 向 相 反 ，| 3 a | 3 | a | .
第二页，编辑于星期日：七点 三十五分。
新课讲述：
数乘运算
向量
.
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加法
减法 数乘
. 第四页，编辑于星期日：七点 三十五分。
例1 计算： (1) (3) 4a ； (2) 3(a b) 2(a b) a ； (3) (2a 3b c) (3a 2b c) . 解：(1) (3) 4a (3 4)a 12a ；
2
2
22
MC 1 AC 1 a 1 b ，
2
22
MD MB 1 DB 1 a 1 b .
2
2
2 第十八页，编辑于星期日：七点 三十五分。
例3. 如图， ABCD 中，点 M 在 AB 的延长线上 ，且
BM 1 AB ，点 N 在 BC 上 ，且 BN 1 BC .
2
3
求证 ：M 、N 、D三点共线 . 证明：设 AB e1 ，AD e2 ，则
例4.已知 D、E、F 分别为△ABC 三边BC、AC、AB 的中点.
求证： AD BE CF 0 .
C
证明：
AD AC CD
AD AB BD
E
D
2AD AC AB CD BD AC AB 0 AC AB A
G
F
B
同理 2BE BA BC ，2CF CA CB
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
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复习引入：
已 知 非 零 向 量 a ，作 出 ：a a a 和 ( a ) ( a ) ( a ) .
a
aa a
O
A
B
C
a a a
N
M
Q
P
想 一 想 ：相 同 的 向 量 相 加 以 后 ，和 的 长 度 与 方 向 有 什 么变 化 ？
AB a ，AD b ，用 a 、b 表示 MA 、MB 、MC 和 MD .
D
b
M
解：在
C
ABCD 中，
AC AB AD a b
A
a
B
DB AB AD a b
MA 1 AC 1 (a b) 1 a 1 b ，
2
2
22
MB 1 DB 1 (a b) 1 a 1 b ，
2( AD BE CF ) 2AD 2BE 2CF AC AB BA BC CA CB 0
AD BE CF 0 (. AC CA) ( AB BA) (BC CB)
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A
A
B
D
P
C
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思考：
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.1.
A
B
x
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课后作业Biblioteka 1.《乐学》2.2.32.元旦作业（试卷两套）
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(2) 原式 3a 3b 2a 2b a 5b； (3) 原式 2a 3b c 3a 2b c
a 5b 2c .
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例2.
G G
A
A
G
B
C
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证明： 如图所示，
BGCD，
B
A
G
E
C
D
且 | GA || GD | 2 | GE |
D A
C
BC
AD e2 ，
BN
1 3 e2
1
1
N
BM 2 AB 2 e1
B
M
MN
BN
BM
1 3 e2
1 2 e1
又
MD AD AM e2
3 2
e1
3
1 ( 3
e2
1 2
e1
)
3
MN
向量 MN 与 MD 共线， 又 M 是公共点
故 M 、N 、D三点共线 .
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第十二页，编辑于星期日：七点 三十五分。
第十三页，编辑于星期日：七点 三十五分。
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例2 如图， ABCD 的两条对角线相交于点 M，且
由 图 知 ，O C O A A B B C a a a ，记 为 ：3 a 即 O C 3 a .
显 然 3 a 的 方 向 与 a 的 方 向 相 同 ，3| 3aa的| 长3度| a 是| . a 的 长 度 的 3 倍 ，
由 图 知 ，P N P Q Q M M N ( a ) ( a ) ( a ) ，记 为 ： 3 a
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A
G
B
D
C
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例3.
解：
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变式3已知两个非零向量 e1 ，e2 不共线，如果
AB 2e1 3e2 ，BC 6e1 23e2 ，CD 4e1 8e2 ， 求证：A，B，D 三点共线 . 证明： AD AB BC CD
2e1 3e2 6e1 23e2 4e1 8e2 12e1 18e2 6(2e1 3e2 ) 6 AB . AD 与 AB 共线 . 又 AD 与 AB 有共同的起点 A， A，B，D 三点共线 .
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课后作业
1.教材P77习题2.2A9-13