二次函数运用(销售问题)

第三讲：二次函数的实际应用——销售最大(小)值问题
典型例题
[例1]：求下列二次函数的最值：
（1）求函数322-+=x x y 的最值．
（2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x
[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表：
若日销售量y 是销售价x 的一次函数． ⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式； ⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为
多少元？此时每日销售利润是多少元？
[例4]．市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式．
⑴试求出y 与x 的函数关系式；
⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当
销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多
少？
⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480
元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)．
知识反馈：
1．二次函数1212-+=x x y ，当x=_ _时，y 有最_ _值，这个值是2
3-． 2．某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能 为 (只写一个)，此类函数都有_ _值(填“最大”“最小”)．
3．不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值
范围是 ，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是_ _(填“有
解”或“无解”)
4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55
y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 ．
5．在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s ）竖直向上抛出，•
在不计空气阻力的情况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t （s ）满足：
S=V 0t-12
gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若V 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面 m ．
6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天 在某段公路上行驶上，速度为V （km/h ）的汽车的刹车距离S （m ）可由公式S=
1100V 2 确定；雨天行驶时，这一公式为S=150
V 2．如果车行驶的速度是60km/h ，•那么在雨天 行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_ _米．
7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_ _元，最大利润为_ _元．
．
8．随着绿城杭州近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示
(注：利润与投资量的单位：万元)
（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
9．为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．
(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；
(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?
10．研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元）与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？
11、某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =1001 x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．
若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为
常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳100
1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．
（1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元；
（2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；
（3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在
国内销售月利润的最大值相同，求a 的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内
还是在国外销售才能使所获月利润较大？
12、某小企业计划投资A 、B 两类产品的生产，据市场调查：A 类是传统产品，投资x （万元）的实际收益是y A =24%x （万元）；B 类是新科技产品，同样投资x （万元）在相同的时
间内的毛收益是10%x 2（万元），但需支付毛收益的20%作为专利费；并且，根据有关市场
预测机构的风险提示，投资B 类的投资额不能超过投资A 类的投资额的2倍；
（1）写出投资B 类产品的实际收益y B （万元）与投资x （万元）的函数关系式；
（2）若同样投资x （万元）生产两类产品，当x 为多少时，两种产品的实际收益相同？
（3）若企业共有30（万元）资金分别投资这两类产品，如何投资才能使总的实际收益
最大？最大收益是多少（万元）？。