菲翔学校高二数学竞赛试卷 试题1

墨达哥州易旺市菲翔学校地区2021年
高二数学竞赛试卷
时间是：9：00-11：00，总分值是150分
注意：可以使用计算器，但不得互相借用。

监考教师不答复任何与内容有关的问题． 一、选择题〔每一小题6分一共36分，请将正确答案的标号填入下面的表格中〕
1．假设集合
{|,06}A x x N x =∈<≤，那么A 的真子集有〔〕个
〔A 〕31〔B 〕32〔C 〕63〔D 〕64 2．假设奇函数
)(x f 在区间［1，4］上是增函数且最大值是5，那么)(x f 在区间［-4，-1］上是〔〕
〔A 〕增函数且最大值为-5〔B 〕增函数且最小值为-5 〔C 〕减函数且最大值为-5〔D 〕减函数且最小值为-5
3．假设a,b,c 都是实数，那么P ∶ac<0,是q ∶关于x 的方程ax 2
+bx+c=0有一个正根和一个负根的〔〕
〔A 〕必要而不充分条件〔B 〕充要条件
〔C 〕充分而不必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件
4．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下〔〕。

〔A 〕
100
5.03⨯克〔B 〕(1－0.5%)3
克〔C 〕0.925克〔D 〕
100
125.0克
5．方程lg 0x x +=的一个实根存在的区间是〔〕 〔参考：lg20 1.3010,lg0.30.5229==-〕 〔A 〕11,113⎛⎫ ⎪⎝⎭〔B 〕1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭〔C 〕11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
〔D 〕11,10010⎛⎫
⎪⎝⎭ 6．设
)(n f 为正整数n 〔十进制〕的各数位上的数字的平方之和，比方
14
321)123(222=++=f .记
)
()(1n f n f =，
))
(()(1n f f n f k k =+，
，⋯=,3,2,1k 那么
)2006(2006f ＝〔〕
(A)20(B)4(C)42(D)145.
二、填空题〔每一小题6分一共72分〕 7．
2)1
()1(x
x x x f -=+，那么=)(x f _____.
8.经过两条直线2330x y --=和20x y ++=的交点，
且与直线250x y +-=垂直的直线方程为______________________________.
9.数列
3，7，11，15，…那么113是它的第___________项.
10.将函数
)(x f 的图象C 1
沿ｘ轴向右平移2个单位得到C 2
，C 2
关于ｙ轴对称的图象为C 3
，假设C 3
对应的函
数为
x y 2=，那么函数)(x f =.
11.同时抛一次两个各面上分别标有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体玩具，“向上的两个数之和为3〞的概率是_______________. 12.假设
A A tan 1tan 1+-=4+5，那么cot 〔A +4
π
〕的值等于_______________.
13.
21=a ，
2
22+=a ，
2
223++=a ，…，那么与
20a 最接近的正整数是
_______________. 14.︱OA ︱=1，︱OB ︱=
3,OB OA •=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设OC =m OA +n OB (m 、
n ∈R )，那么
n
m
等于_______________.
15.等边△ABC 的边长为，AD 是BC 边上的高，将△ABD 沿AD 折起，使之与△ACD 所在平面成1200
的
二面角，这时A 点到BC 的间隔是．
16.有一公用亭，在观察使用这个的人的流量时，设在某一个时刻，有n 个人正在使用或者等待使用的概率
为)(n P ，且)(n P 与时刻t 无关，统计得到⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤≤⋅=6,05
1,)0()21()(n n P n P n
，那么在某一时刻这个公用
亭里一个人也没有的概率P (0)的值是．
17.定义在N ＋
上的函数f(x)，满足f (1)＝1，且f(n+1)=1
(),,2(),.
f n n f n n ⎧⎪⎨⎪⎩为偶数　
为奇数那么f (22)=．
18.定义在R 上的函数)(x f y =，它同时满足具有下述性质： ①对任何);()(33x f x f R x =∈均有
②对任何).()(,,21212
1x f x f x x R x x ≠≠∈均有那么=-++)1()1()0(f f f ．
三、解答题(一共42分)
19.〔10分〕点A (0,3)，点Ｐ是圆2
2230x y x +--=上的动点，Ｑ为线段ＡＰ的中点，当点Ｐ在圆
上运动时，求动点Ｑ的轨迹方程．
20.〔10分〕农民有田2亩，根据他的经历：假设种水稻，那么每亩每期产量为400公斤，假设种花生，那么每亩产量为100公斤，但水稻本钱较高，每亩每期240元，而花生只要80元，且花生每公斤可卖5元，稻米每公斤只卖3元，如今他只能凑足400元，问这位农民对两种作物应各种多少亩，才能得到最大利润？
21．〔10分〕用平面向量的方法证明：三角形的三条中线交于一点．
22.〔12分〕三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为，假设
，求角C 的大小． [参考答案]
时间是：2021年12月17日9：00——11：00
一、选择题〔每一小题6分一共36分〕 1)C2)B3)B4)D5)C6)D
二、填空题〔每一小题6分一共54分〕 7)42
-x
8)
2
19)2510))2(2+-x (或者等价形式)11)1/1812)54+13)2 14)315)
2
26
16)
633217)10241(或者102
1或者10
2
-或者其他等价形式)18〕0
三．解答题〔一共60分〕
19．(10分)解:设),(),,(00y x Q y x P
那么⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=232000y y x x ……〔2分〕即⎩⎨
⎧+==3
2200y y x
x …〔*〕……〔4分〕
∵在),(00y x P 圆03222
=-++x y x
上，∴03202
02
0=-++x y x …〔**〕…〔6分〕
将〔*〕代入〔**〕得034)32(422
=---+x y x ……〔7分〕
化简得02
3
322
=+
--+y x y x
……〔9分〕 动点Q 轨迹方程为：02
332
2=+--+y x y x ……〔10分〕
20．〔10分〕解：设水稻种x 亩，花生种y 亩，那么有题意得：
，
即⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥≤+5
340080240002y x y x y x y x …………………………5’ 而利润P ＝〔3×400－200〕x ＋〔5×100－80〕y ＝960x+420y …………………7’
所以当x ＝，y ＝0.5时，P max ＝960×＋420×0.5＝1650〔元〕…………9’
即水稻种亩，花生种0.5亩时所得的利润最大。

……………………10’ 21．〔10分〕证明：在ΔABC 中，设D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 的中点， BE 与AC 的交点为G ，设1e BA =，2e BC =，那么21
e e CA -=，21e e 与不一共线，
122
1
21e e BA BC BA BD AD -=-=
-=，……〔2分〕 设BE BG
λ=，11)(e CE BC e BE BA BG AG -+=-=-=λλ=212
)12(
e e λ
λ
+
-〔4分〕
∵共线与AD AG ，∴2
12
1
12λ
λ=--）
（，得3
2
=
λ……〔6分〕 2122132
31)(31e e e e e BC BG CG -=-+=
-=〔7分〕 CG e e e e e BA BC BF CF 2
3
)3231(23212121212=-=-=-=-=〔9分〕
∴CG 与CF 一共线,G 在CF 上 ∴三条中线交与一点。

……〔10分〕
22．〔12分〕解:由
=cosB ，
故B=600
，A+C=1200。

…………………..5’
于是sinA=sin(1200
-C)=
，…………………7’
又由正弦定理有：
，………………….10’
从而可推出sinC=cosC ，得C=450。

…………………….12’。