湖北省安陆一中高三数学第二次综合试题 文

2012届高三数学第二次综合试题（文科）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分)
1. 化简复数2(1)4z i i =-+得
A. 22i -
B. 22i +
C. 2i -
D. 2i
2. 已知集合{}0,P m =，{}
2
|250,Q x x x x Z =-<∈，若P
Q φ≠，则m =
A. 1
B. 2
C. 1或
5
2
D. 1或2 3. 若曲线2y x ax b =++在点()0,b 处的切线方程是1y x =+，则
A. 1,1a b ==
B. 1,1a b =-=
C. 1,1a b ==-
D. 1,1a b =-=- 4. 已知,αβ为不重合的两个平面，直线m α⊂，那么“m β⊥”是“αβ⊥”的 A. 充要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 将函数()2cos()36x f x π=+
的图像向左平移4
π
个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像，则()g x 的解析式为 A. ()2cos()134x g x π=-+ B. ()2cos()134x g x π
=+-
C. ()2cos()1312x g x π=-+
D. ()2cos()1312
x g x π
=+-
6. 设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如下图表示该函数在区间(]2,1-上的图像，
则(2011)(2012)f f +=
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
7. 某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：kg ）数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图（如上图所示）.根据一般标准，高三男生的体重超过65kg 属于偏胖，低于55kg 属于偏瘦.已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25，0.20，0.10，0.05，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为
A. 1000,0.50
B. 800,0.50
C. 800,0.60
D. 1000,0.60
第6题图 第7题图
8. 已知流程图如下图所示，该程序运行后，为使输出b 的值为16，则循环体的判断框内① 处应填的是
A. 2
B. 3
C. 4
D. 16
9. 已知等差数列{}n a 前17项和1751S =，则5791113a a a a a -+-+= A. 3 B. 6 C. 17 D. 51
10. 定义在区间[]0,a 上的函数()f x 的图像如下图所示，记以(0,(0))A f ，(,())B a f a ， (,())C x f x 为顶点的三角形的面积为()S x ，则函数()S x 的导函数()S x '的图像大致是
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，满分25分)
11. 已知4
4
2cos sin 3αα-=
，(0,)2πα∈，则cos(2)3
π
α+= . 12. 已知,x y 均为正数，且1x y +=，则19
x y
+的最小值为 .
13. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*()n n a S n n N +=∈，则数列{}n a 的通项公式
是 .
14. 设函数()f x 的定义在R 上的偶函数，且是以4为周期的周期函数，当[]0,2x ∈时，
第8题图 第10题图
()2cos f x x x =-，则3()2a f =-与15
()2
b f =的大小关系为 .
15. 一个三角形数阵如下：
1
2 2
2
32 42 5
2
62 72 82 9
2 ……
按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为 . 三、解答题（本大题6小题，满分75分）
16.（12分）已知点(cos ,1cos 2)A x x +
，(,cos )B x x λ-，()0,x π∈，向量()1,0a =.（1）若向量BA 与a 共线，求实数x 的值；（2）若向量BA a ⊥，求实数λ的取值范围.
17.（12分）某学校共有教职工900人,分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示. 已知在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16 .
（1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查, 问应在第三批次中抽取教职工多少名？（3）已知96,96≥≥z y ，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率. 18.（13分）如图，在七面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，⊥AD 平面DEFG ，AC AB ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG ，且1==EF AC , 2====DG DE AD AB ．
（1）求证：平面⊥BEF 平面DEFG ； （2）求证：BF ∥平面ACGD ； （3）求三棱锥A BCF -的体积．
19.（12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项之和n S 满足2
632n n n S a a =++，且2a ，4a ，9a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列2n a
n b =的前n 项和为n T ，求n T .
20.（13分）函数x x x g a x a x x f ln )(,)1()(3
=++-=．（Ⅰ）若)(x f y =，)(x g y =在
1=x 处的切线相互垂直，求这两个切线方程；（Ⅱ）若)()()(x g x f x F -=单调递增，求a 的
范围．
21.（13分）等差数列{}n a 中，首项11a =，公差0d ≠，前n 项和为n S ，已知数列
123,,,,,
n k k k k a a a a 成等比数列，其中11k =，22k =，35k =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n k 的通项公式；（Ⅱ）令21
n
n n a b k =
-，数列{}n b 的前n 项和为n T ．若存在一个最小正整数M ，使得当n M >时，4n n S T >（*n ∈N ）恒成立，试求出这个最小正整数M 的值．
2012届高三数学第二次综合试题（文科）参考答案
一、选择题
1. D
2. D
3. A
4. C
5. B
6. A
7. D
8. B
9. A 10. D 二、填空题
11 12. 16 13. 11()()2n n a n N *=-∈ 14. b a > 15 . 47
2
三、解答题
16. （本小题满分12分）
解：（I ）).cos 2cos 1,sin 3(cos x x x x BA -+-+=λ
,BA a 与共线
.0cos cos 20cos 2cos 12
=-=-+∴x x x x 即
21
cos 0cos ==∴x x 或
又3
2),,0(π
ππ==∴∈x x x 或
（II ）,BA a ⊥
.)6
sin(2cos sin 3π
λ-=-=∴x x x
.6
566,0π
πππ<
-<-∴<<x x 1)6
sin(21≤-<-∴π
x
.21≤<-∴λ
]2,1(-∴的取值范围是λ
17. （本小题满分12分）
解: (1)由
16.0900
=x
,解得144=x . (2)第三批次的人数为200)156144204196(900=+++-=+z y ,
设应在第三批次中抽取m 名，则900
54200=m ，解得12m =. ∴应在第三批次中抽取12名.
（3）设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A ，第三批次女教职工和男教职工数记为数对(,)y z ，由（2）知200,(,,96,96)y z y z N y z +=∈≥≥，则基本事件总数有：
),99,101(),100,100(),101,99(),102,98(),103,97(),104,96(
)96,104(),97,103
(),98,102(，共9个， 而事件A 包含的基本事件有：(101,99),(102,98),(103,97),(104,96)共4个，
∴4
()9
P A =
. 18. （本小题满分13分）
解:（1）∵平面ABC ∥平面DEFG ，平面ABC 平面AB ADEB =, 平面DEFG 平面DE ADEB =
DE AB //∴.AB DE =Q DE AB = ,
∴ADEB 为平行四边形，AD BE //.
⊥AD 平面DEFG ,⊥∴BE 平面DEFG ， ⊂BE 平面BEF ,
∴平面⊥BEF 平面DEFG . （2）取DG 的中点为M ，连接AM 、FM ，
则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形，
∴FM DE //，又∵DE AB //， ∴FM AB // ∴四边形ABFM 是平行四边形，即AM BF //，
又BF ⊄平面ACGD 故 BF
∥平面ACGD . （3） 平面ABC ∥平面DEFG ，则F 到面ABC 的距离为AD.
1
3A BCF F ABC ABC
V V S
AD --==⋅⋅＝112
(12)2323
⋅⋅⋅⋅= 19. （本小题满分12分）
（II ）322n n b -=，公比8q =，所以前n 项和为2(18)2(81)187
n
n
n T -==--
20. （本小题满分13分）
解：（I ）)1(3)(2
+-='a x x f , 1ln )(+='x x g 高考资源网w 。

w-w*k&s%5￥u
∴a f -='2)1( 1)1(='g ∵两曲线在1=x 处的切线互相垂直
∴11)2(-=⨯-a ∴ 3=a ∴0)1(1
)1(=-='f f ∴)(x f y =在 1=x 处的切线方程为01=-+y x ，
同理，)(x g y =在 1=x 处的切线方程为01=--y x
(II) 由x x a x a x x F ln )1()(3
-++-=
得2ln 31ln )1(3)(2
2---=--+-='a x x x a x x F ∵)()()(x g x f x F -=单调递增 ∴0)(≥'x F 恒成立
即2ln 32
--≤x x a 令2ln 3)(2--=x x x h %5￥u
)0(16)(>-
='x x x x h 令0)(>'x h 得66>x ，令0)(<'x h 得6
60<<x ∴6ln 21
23)66()(min
+-==h x h
∴a 的范围为(]6ln 2123,+-∞-
21．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由2
2
15a a a =⋅，得2(1)1(14)d d +=⋅+，解得2d =，21n a n ∴=-， 21n k n a k =-，又在等比数列中，公比21
3a
q a ==，∴13n n k a -=，
1
213n n k -∴-=，131
2
n n k -+∴=． （Ⅱ）121
213
n n n n a n b k --=
=-， 则0121
13521
3333n n n T --=++++， 123111352321333333n n n n n T ---=+++++， 两式相减得： 123122222211333333
n n n n T --=+++++- 112122*********n n n n n --+=+⨯-=-， ∴11
33
n n n T -+=-．
∵112121
3(3)0333
n n n n n n n n T T +-+++-=---=>，
∴n T 单调递增，∴13n T ≤<．又2n S n =在*n ∈N 时单调递增．
且11S =，144T =；24S =，248T =；39S =，392
49
T =；41612S =>，4412T <；…．
故当3n >时，4n n S T >恒成立，则所求最小正整数M 的值为3．。