数学金融学第五章总结
金融理论与实务笔记第五章
金融理论与实务笔记第五章第一节金融市场的含义与构成要素一、金融市场的含义金融市场：资金供求双方借助金融工具进行货币资金融通与配置的市场。
二、金融市场的构成要素（一）市场参与主体政府部门——主要的资金需求者；中央银行；各类金融机构——重要参与者；企业部门——重要参与者；居民部门——主要资金供应者。
（二）金融工具（金融资产）★1、金融工具的特征（1）期限性（金融工具从举借债务到全部归还本金与利息所跨越的时间）（2）流动性（金融工具的变现能力）——偿还期限、发行人的资信程度、收益率水平是影响金融工具流动性强弱的主要因素。
（3）风险性（购买金融工具的本金和预定收益遭受损失可能性的大小）——信用风险、市场风险（4）收益性（金融工具能够为其持有者带来收益的特性）——利息、股息或红利等收入；买卖金融工具所获得的价差收入2、两种重要的金融工具：债券和股票期限的长短：货币市场工具（期限在1年以内的金融工具）和资本市场工具（期限在1年以上的金融工具）；当事人所享权利与所担义务：债权凭证（其他金融工具）和所有权凭证（股票）；融资形式：直接融资工具和间接融资工具；是否与实际信用活动直接相关：原生金融工具和衍生金融工具（1）债券：政府、金融机构、工商企业等直接向社会借债筹措资金时，向投资者出具的、承诺按约定条件支付利息和到期归还本金的债权债务凭证。
①政府债券（国库券和国家公债）②金融债券；③ 公司债券：按抵押担保状况：信用债券和抵押债券。
按内含选择权：可转换债券、可赎回债券、偿还基金债券和带认股权证的债券；可转换债券是指公司债券附加可转换条款，赋予债券持有人在一定的期限内按预先确定的比例将债券转换为该公司普通股的选择权。
（11年真题）可赎回债券是指该债券的发行公司被允许在债券到期日之前以事先确定的价格和方式赎回部分或全部债券。
按债券利率的确定方式；固定利率债券、浮动利率债券和指数债券。
（2）股票：股份有限公司在筹集资本金时向出资人发行的，用以证明其股东身份和权益的一种所有权凭证。
金融经济学 第5章.ppt
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金融经济学 第5章 资本资产定价模型
6.3 资本资产定价模型（CAPM）
❖ 资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）是由美国Stanford大学 教授夏普等人在马克维茨的证券投资组合 理论基础上提出的一种证券投资理论。
❖ CAPM解决了所有的人按照组合理论投资 下，资产的收益与风险的问题。
分离定理对组合选择的启示
❖ 若市场是有效的，由分离定理，资产组合选择问 题可以分为两个独立的工作，即资本配置决策 （Capital allocation decision）和资产选择决策 （Asset allocation decision）。
❖ 资本配置决策：考虑资金在无风险资产和风险组 合之间的分配。
加入无风险资产后的最优资产组合
收益
无风险收
益率rf F
新组合的 有效边界
M
原组合 有效边界 风险
❖ 无论投资者的5.偏1好.2如何分，离直定线F理M上的点就是最优
投资组合，形象地，该直线将无差异曲线与风险 资产组合的有效边界分离了。 ❖ 分离定理（Separation theorem）：投资者对风 险的规避程度与该投资者风险资产组合的最优构 成是无关的。 ❖ 所有的投资者，无论他们的风险规避程度如何不 同，都会将切点组合（风险组合）与无风险资产 混合起来作为自己的最优风险组合。因此，无需 先确知投资者偏好，就可以确定风险资产最优组 合。 ❖ 风险厌恶较低的投资者可以多投资风险基金M， 少投资无风险证券F，反之亦反。
高等数学第5章知识点总结
高等数学第5章知识点总结第5章二重积分（一）概念1. 二重积分的概念设二元函数f(x,y)在闭区域D上有界，把闭区域D分成n个小区域，记作ΔDi ,ΔSi为第i 个小区域的面积,ξi (i=1,2,3,…,n) 取在Di上的任一点，则二重积分的极限∬f(x,y)dA=lim n->∞ Σf(ξi)ΔSi（i=1,2,3,…,n）当这极限存在时，称其为在D上的二重积分，记作∬f(x,y)dA2. 二重积分的几何意义二重积分∬f(x,y)dA 表示把函数f(x,y)在闭区域D上的值与ΔS之积相加，其中ΔS是D上的微小面积。
即表示在闭区域D上f(x,y)在ΔS上的平均值与ΔS的面积之积的和。
3. 二重积分的计算法（1）累次积分法先对y积分，再对x积分。
（2）二次积分法先对x,y积分都在一起进行。
（3）极坐标法根据二重积分的边界条件，将直角坐标系转换为极坐标系。
（二）性质1. 线性性质若函数f(x,y)和g(x,y)在区域D上有界，则∬[f(x,y)+g(x,y)]dA = ∬f(x,y)dA + ∬g(x,y)dA2. 积分域的可加性若函数f(x,y)在区域D1和区域D2上有界，则∬f(x,y)dA = ∬f(x,y)dA1 + ∬f(x,y)dA23. 面积性质若函数f(x,y)在区域D上恒为1，则∬f(x,y)dA = S(D)（三）二重积分的应用1. 计算面积当f(x,y)=1时，二重积分∬1dA表示在闭区域D上的面积。
2. 计算质量、重心、转动惯量在力学中，可以利用二重积分计算平面薄片的质量、重心和转动惯量。
3. 计算电荷、电场在电磁学中，可以利用二重积分来计算平面薄片上的电荷、电荷分布和电场分布。
（四）二重积分的换元法1. 极坐标换元2. 线性换元3. 一般换元注：该知识点总结仅包括了高等数学第5章的基本内容，如需更多详细知识，请查阅相关资料。
金融学考研数学公式
第一章：函数、极限、连续、导数1、导数公式 ⑴ (arctan x )′=11+x 2；⑵ (arcsinx )′=√1−x 2；(arccos x )′=√1−x 2⑶ (a x )′=a x lna ；⑷ (tanx )′=sec 2x ；⑸ |x |′=x|x |；⑹ (x x )′=(1+lnx )∙x x ； 2、等价无穷小：x →0 ⇒1−cos x ~12x 2, ln (1+x )~x, e x −1~x, (1+x )α−1~αx,tan x ~x +x 33+2x 5153、间断点的定义：⑴ 第一类间断点：左右极限都存在； 可去间断点：左右极限相等； 跳跃间断点：左右极限不相等；⑵ 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在； 无穷间断点：至少有一个极限为∞；振荡间断点：至少有一个为振荡不存在； 4、两个重要极限：lim x→0sin x x=1；lim x→∞(1+1x)x=e ；第二章：导数与微分1、导数公式① 定义：f ′(x 0)=lim∆x→0f (x 0+∆x )−f (x 0)∆x=lim∆x→0∆y∆x=lim x→x 0f (x )−f (x 0)x−x 0；② 反函数求导法则：函数x =f (y )，反函数为y =f −1(x )，则[f −1(x )]′=1f ′(y )； 2、半角和倍角公式： ⑴ sin 2 (x )=1−cos (2x )2；⑵ cos 2 (x )=1+cos (2x )2；⑶ sin (2x )=2sin (x )cos (x )；⑷ cos (2x )=2cos 2(x )−1=1−2sin 2 (x )=cos 2(x )−sin 2 (x )；第三章：微分中值定理和导数应用1、渐近线方程：⑴ lim x→x 0f (x )=∞，其中x 0为一个奇点，此时存在垂直渐近线：x =x 0；⑵ lim x→∞f (x )=c ，则存在水平渐近线：y =c ；⑶ a =limx→∞f (x )x; b =lim x→∞[f (x )−ax ] ⇒ y =ax +b ；此为一般渐近线；2、曲率：k =|y ′′(1+y ′2)32|；3、微积分中值定理：① 介值定理：若f (x )在[a,b ]上连续，则必存在∀k,m ≤k ≤M ，使得f (ξ)=k,ξ∈[a,b ]. ② 零值定理：若f (x )在[a,b ]上连续，且f (a )∙f (b )<0，则至少存在一点ξ∈(a,b )，使得f (ξ)=0.③ Fermat 定理：如果函数f (x )为[a,b ]上的一个可微函数，如果存在一个ξ∈(a,b )， 为f (x )的一个局部极大或者极小点，那么f ′(ξ)=0；④ Rolle 定理：如果函数f (x )为[a,b ]上的一个可微函数，且有f (a )=f (b )，则必 有f ′(ξ)=0; ξ∈(a,b )；⑤ Rolle 定理证明：令x ∈(a,b ); f (x )∈[m,M ];⒈ 若M =m ⇒ f (x )=C ⇒ f ′(x )=0；C 为常数；⒉ 若M ≠m ，则必然存在M 或者m 至少有一个不等于f (a )；假设M ≠f (a )=f (b )；则必然存在一个ξ∈(a,b )；使得f (ξ)=M ； 因为ξ已构成一个局部极大点，所以f ′(ξ)=0；⑥ Rolle 定理推论：若存在一个η1∈(a,b )，且f (η)>f (a ); f (η)>f (b )；则必然存在一个最大点ξ∈(a,b ); ξ≥η，使得f (ξ)=M ；因此f ′(ξ)=0； ⑦ 拉格朗日乘子法：z =f (x 1,x 2,⋯,x n ); s.t. g (x 1,x 2,⋯,x n )=c; ⇒L =f (x 1,x 2,⋯,x n )−λ[g (x 1,x 2,⋯,x n )−c ]⇒L λ′=0;L μ′=0;L x 1′=0;⋯;L x n ′=0；⑧ 拉格朗日（Lagrange ）中值定理：f (x )在[a,b ]处连续，在(a,b )处可导，则至少存在一点ξ∈(a,b )；⇒f (b )−f (a )=f ′(ξ)(b −a ) ⑨ 柯西定理：f (b )−f (a )g (b )−g (a )=f ′(ξ)g ′(ξ); g ′(ξ)≠0；⑩ 积分中值定理：⑴ 若函数f (x )在[a,b ]处连续，g (x )在(a,b )处可积且不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b ] ⇒ ∫f (x )g (x )badx =f (ξ)∫g (x )badx⑵ 设M 与m 分别是函数f (x )在区间[a,b ]上的最大值与最小值，则有：m (b −a )≤∫f (x )badx ≤M (b −a )第四章：一元积分学1、积分求解方法：① 三角函数替换法：⑴ 含有√a 2−x 2因子的，可令x =a sin θ；三角法则：1−(sin θ)2=(cos θ)2；1η念eta →/′etð/⑵ 含有√a 2+x 2因子的，可令x =a tan θ；三角法则：sec 2x =1+tan 2x ； ⑶ 含有√x 2−a 2因子的，可令x =a sec θ；三角法则：sec 2x −1=tan 2x ；② 魏尔斯特拉斯替换：令t =tan x2 ⇒ sin x =2t 1+t 2 ,cos x =1−t 21+t 2 ,dx =21+t 2dt ；③ 周期函数求积分：∫|sin x |a+πa dx =∫|sin x |π0dx =∫sin x π0dx =2； ④ 特殊函数代换：⑴ 1x (1+x2)=1x −x 1+x 2；2、常用积分公式：① √a 2−x 2=arc sin x a+C ；② ∫1a 2+x 2dx =1aarc tan xa+C ；③ ∫1a 2−x 2dx =12aln |a+x a−x|+C,|x |<a ；④ ∫x a+bx 2dx =12bln |a +bx 2|+C ；⑤ ∫sec 2x dx =tan x +C ；⑥ ∫csc x dx =ln |tan x2|+C ； ⑦ ∫tan x dx =−ln |cos x |+C ； ⑧ ∫sin nx π20dx =∫cos nx π20dx ={n−1n∙n−3n−2∙⋯∙12∙π2n ∈2k,k ∈N n−1n∙n−3n−2∙⋯∙23n ∈2k −1,k ∈N；⑨ ∫x e axdx =e ax a 2(ax −1)+C ；3、三角加法公式：① sin (x ±y )=sin x ∙cos y ±sin y ∙cos x → y =π4,√22(sin x ±cos x ) ② cos (x ±y )=cos x ∙cos y ∓sin x ∙sin y → y =π4, √22(cos x ∓sin x )4、微积分的几何问题：① 切线和法线：⑴ 曲线y =f (x )在点(x 0,y 0)处的切线方程为：y −y 0=f ′(x 0)(x −x 0)； ⑵ 法线方程为：y −y 0=1−f ′(x 0)(x −x 0)；⑶ 与切线垂直的方程并非一定是法线方程，因为可能不过(x 0,y 0)； ② 旋转体的体积：⑴ 旋转体截面积A (x )=πf 2(x )；⑵ 设ℛ为曲线y =f (x )在区间[a,b ]上与x 轴之间的区域，绕x 轴旋转ℛ；得到的物体体积由下面公式给出：V x =∫πf 2(x )dx ba；⑶ 设ℛ为曲线y =f (x )在区间[a,b ]上与x 轴之间的区域，绕y 轴旋转ℛ；得到的物体体积由下面公式给出：V y =∫2πxf (x )dx ba； ⑷ 若要求曲线与y 轴所围成的区域，则只需先求出反函数，按如上方法求解；⑸ 由f 1(x ),f 2(x )两曲线围成区域，绕x 轴旋转，则体积为V x =π∫f 22(x )−f12(x )dx ba③ 直线：与原点距离为p ，法线与x 轴正向夹角为α的直线方程为：r =pcos (α−θ)； ④ 圆的一般方程：⑴ x 2+y 2+2ax +2by +c =0； ⑵ 圆的极坐标方程： ⒈ 圆的边通过原点； ⒉ r =2R cos (θ−θ0)；⑤ y =x 2 → r =sin θcos 2θ ⑥ 球体的参数方程：{x =r sin φcos θy =r sin φsin θz =r cos φ,θ∈[0,2π] ,φ∈[0,π]θ表示弦与x 轴的夹角，φ表示弦与z 轴的夹角，以球心非原点的轴为坐标平面，应用圆的极坐标方程作为r 的取值范围；此外，球体体积为43πR 3.第五章：向量代数和空间解析几何1、向量代数的基本概念① a ⃗={x,y,z } → |a ⃗|=√x 2+y 2+z 2；② M 1M 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗={x 2−x 1,y 2−y 1,z 2−z 1}； ③ A ⃗∙B ⃗⃗=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2；④ A ⃗×B ⃗⃗=|i ⃗j ⃗k ⃗⃗x 1y 1z 1x 2y 2z 2|； ⑤ 向量A ⃗,B ⃗⃗的夹角，记作(A ⃗,̂B ⃗⃗)；cos(A ⃗,̂B ⃗⃗)=121212121212222222cos α=22→ sin α=22=sin α√(√x 2+y 2)2−x 2222、点到直线和平面的距离① 点到平面的距离：点P (x 0,y 0,z 0)到平面π: Ax +By +Cz +D =0的距离为：d =|Ax +By +Cz +D |√A 2+B 2+C2② 点到直线的距离：点P (x 0,y 0,z 0)到直线x−x 1l=y−y 1m=z−z 1n的距离为：d =|P 0P 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗×S ⃗⃗||S⃗⃗|3、两平面关系π1: A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0 ,n 1⃗⃗⃗⃗⃗={A 1,B 1,C 1} π2: A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0 ,n 2⃗⃗⃗⃗⃗={A 2,B 2,C 2}① 平行关系：π1∥π2⟺n 1⃗⃗⃗⃗⃗∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗⟺n 1⃗⃗⃗⃗⃗×n 2⃗⃗⃗⃗⃗=0⟺A 1A 2=B 1B 2=C 1C 2② 垂直关系：π1⊥π2 ⟺ n 1⃗⃗⃗⃗⃗⊥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ⟺ n 1⃗⃗⃗⃗⃗∙n 2⃗⃗⃗⃗⃗=0 ⟺ A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2=04、过点P (x 0,y 0,z 0)，且法向量为n⃗⃗={A,B,C }的平面方程为： A (x −x 0)+B (y −y 0)+C (z −z 0)=05、直线方程式：① 直线的一般方程式，即两平面的交线：π1: A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0 ,n 1⃗⃗⃗⃗⃗={A 1,B 1,C 1} π2: A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0 ,n 2⃗⃗⃗⃗⃗={A 2,B 2,C 2}S ⃗⃗=n 1⃗⃗⃗⃗⃗×n 2⃗⃗⃗⃗⃗={l,m,n }② 过点P (x 0,y 0,z 0)，且方向向量为S⃗⃗={l,m,n }的直线方程为：⑴ 标准式方程：x−x 0l=y−y 0m=z−z 0n⑵ 参数式方程：{x =x 0+lty =y 0+mt z =z 0+nt③ 过两点的直线方程：P 0(x 0,y 0,z 0) ,P 1(x 1,y 1,z 1) x −x 0x 1−x 0=y −y 0y 1−y 0=z −z 0z 1−z 0④ 两直线相互垂直：l 1⊥l 2 ⟺ S 1⃗⃗⃗⃗⃗⊥S 2⃗⃗⃗⃗⃗ ⟺ S 1⃗⃗⃗⃗⃗∙S 2⃗⃗⃗⃗⃗=0 ⟺ l 1l 2+m 1m 2+n 1n 2=0⑤ 两直线相互平行：l 1∥l 2⟺S 1⃗⃗⃗⃗⃗∥S 2⃗⃗⃗⃗⃗⟺S 1⃗⃗⃗⃗⃗×S 2⃗⃗⃗⃗⃗=0⟺l 1l 2=m 1m 2=n 1n 26、点到直线的距离：① 获得直线的方向向量S⃗⃗={l,m,n }；② 以此向量为法向量，做过点平面方程； ③ 求该平面与该直线的交点；④ 求两点间的距离；7、过直线，且与平面垂直的平面方程：① 求直线的方向向量；② 求平面的法向量；③ 求能同时垂直于直线向量、平面法向量的向量；④ 以该向量为法向量，求得直线上的一点，做平面方程；8、平面束：通过定直线的所有平面的全体 直线方程：π1: A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0 π2: A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0平面束方程：A 1x +B 1y +C 1z +D 1+λ(A 2x +B 2y +C 2z +D 2)=09、旋转面及其方程：一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转面的母线和轴； 设有xOy 面上的曲线L:{f (x,y )=0z =0；① 则绕x 轴旋转所产生的旋转面方程为f(x,±√y 2+z 2)=0； ② 则绕y 轴旋转所产生的旋转面方程为f(±√x 2+z 2,y)=0；第六章：多元函数微分学1、 全导数：y =f (x,w,z );w =g (x );z =h (x )；⑴ 先对x,w,z 求全微分：dy =ðyðx dx +ðyðw dw +ðyðz dz ；⑵ 再对x 求微商：dy dx =ðy ðx +ðy ðw dw dx +ðy ðz dzdx ；2、向量全微分：u ⃗⃗={a,b }，两元可微函数f (x,y )在点P 处有ðf ðu⃗⃗|P =ðf ðx |P a √a 2+b 2+ðf ðy |P ×b√a 2+b 2 df |P =ðf ðx |P dx +ðfðy |Pdy第七章 无穷级数1、幂级数的收敛半径：幂级数∑a n (x −x 0)n∞n=0满足：lim n→∞|a n+1a n|=ρ, lim n→∞√|a n |n=ρ.则R =1ρ为幂级数的收敛半径，(x 0−R,x 0+R )为幂级数的收敛区间；2、 两个重要级数：⑴ 几何级数：设a 和q 是常数，且a ≠0，则∑aq n∞n=1当|q |<1时收敛；当|q |≥1时发散； ⑵ p 级数：∑1n p∞n=1，当p >1时收敛；当p ≤1时发散；3、判别法：⑴ 莱布尼兹判别法：设交错级数∑(−1)n−1u n ∞n=1满足： ⒈ u n ≥u n+1；可通过u n =f (n )，然后对f (x )求导，获得其单调性，求得；⒉ lim n→∞u n =0. 则∑(−1)n−1u n ∞n=1收敛，且其和满足(0,u 1). 绝对收敛：满足级数∑|a n |∞n=1收敛；条件收敛：满足∑a n ∞n=1收敛，而∑|a n |∞n=1发散；绝对收敛则级数一定收敛，故一般先判断其绝对级数的收敛性；⒊ 若两级数∑u n ∞n=1和∑v n ∞n=1均收敛，则∑(u n ±v n )∞n=1=∑u n ∞n=1±∑v n ∞v=1也收敛； ⒋ 若两级数，一个收敛，一个发散，则∑(u n ±v n )∞n=1发散； ⒌ 若两级数均发散，则∑(u n ±v n )∞n=1不能确定其敛散性，必须具体讨论；⑵ 比较判别法：正项级数U =∑u n ∞n=1和V =∑v n ∞n=1.⒈ 当n >N 时，u n ≤kv n ，k 是正常数，则V 收敛，U 也收敛；而U 发散，V 则发散；因此，要证明其收敛的，要找比它大的数；要证明其发散的，要找比它小的数； ⒉ 当n >N 时，u n+1u n≤v n+1v n，则敛散性判断同上；⒊ limn→∞u nv n=k ≥0，若收敛的话，满足k ≥0；若发散的话需满足k >0；⒋ ∑1n∞n=1收敛；∑1n∞n=1发散；∑√n∞发散；⑶ 比值判别法：正项级数∑u n ∞n=1，当n >N 时，limn→∞u n+1u n=l ，当l <1时，级数收敛；⑷ 根值判别法：正项级数∑u n ∞n=1，当n >N 时，lim n→∞√u n n =l ，当l <1时，收敛；注： 当l =1时，无法确定是收敛还是发散；⑸ Raabe 判别法：正项级数∑u n ∞n=1，当n >N 时，lim n→∞n (u nun+1−1)=l ，当l >1，收敛；这种判别法是将级数与p 级数进行比较而得到的；即p 级数：∑1n p ∞n=1，当p >1时收敛；当p ≤1时发散；⑹ 无穷积分判别法：正项级数∑u n ∞n=1,u n =f (n ),∫f (x )+∞1dx 收敛则原级数收敛；4、带皮亚诺余项的麦克劳林公式：⑴ f (x )=f (0)0!+f ′(0)1!x +f ′′(0)2!x 2+⋯+f (n )(0)n!x n .⑵ e x =∑x n n!∞n=0；⑶ sin x =∑(−1)nx 2n+1(2n+1)!∞n=0；⑷ ln (1+x )=∑(−1)n−1x nn∞n=1; −1<x ≤1；⑸ cos x ==∑(−1)n x 2n(2n )!∞n=0；⑹ 11−x =∑x n ∞n=0 ; |x |<1； ⑺ 1a+x =∑(−1)n (1a )n+1x n ∞n=0; |x |<1；⑻ (1+x )n =∑n!(n−k )!k!x kn k=0; |x |<1；5、常用数列求和：① 等差数列：a n =a 1+(n −1)d → S n =a 1+a n2∙n② 等比数列：a n =a 1q n−1 → S n =a 1(1−q n )1−q③ a n =nA n → S n =A(A−1)2第八章微分方程1、常微分方程①变量可分离的方程：dydx =f(x)g(y) ,g(y)≠0 ,⇒∫dyg y=∫f(x)dx+c；②齐次方程：dydx =f(yx) ,define. u=yx⇒ y=ux ⇒y x′=u+xu x′=f(u)⇒∫duf(u)−u=ln|cx|；将u=yx代回，得到通解；③准齐次方程−I：dydx=f(ax+by+c) ,define. u=ax+by+c ⇒u x′=a+by x′⇒∫dua+bf(u)=x+c；将u=ax+by+c代回，得到通解；④全微分方程：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 ,wℎere. ðPðy =ðQðxdefine. du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy ⇒ðuðx =P(x,y) ,ðuðy=Q(x,y)；⇒ u(x,y)=∫P(x,y)dx+φ(y)⇒ Q(x,y)=ðuðy⇒ φ(y)⇒ u(x,y)最后将u(x,y)表达式中的u改为c即可；⑤线性方程：dydx+P(x)y=Q(x)⇒ y=e−∫P(x)dx(c+∫Q(x)e∫P(x)dx dx)；2、二阶常系数线性微分方程一般形式：ay′′+by′+cy=R(x)；其中a,b,c是实数，且a≠0，R(x)是连续函数；当R(x)=0时，便得到齐次方程：ay′′+by′+cy=0；其通解是由特征方程的根所决定.特征方程：aλ2+bλ+c=0①当b2−4ac>0时，特征方程有相异实根λ1,λ2，则其通解为：y(x)=c1eλ1x+c2eλ2x.②当b2−4ac=0时，特征方程有两重特征根λ1=λ2，其通解为：y(x)=(c1+c2x)eλ1x.③当b2−4ac<0时，特征方程有共轭复根记为λ1,2=α±iβ，其通解为：y(x)=eαx(c1sinβx+c2cosβx)④非齐次方程ay′′+by′+cy=R(x)的通解同样为一个特解加齐次通解.3、求特解y∗(x)的待定系数法设二阶微分方程简化形式为f(x)=R(x)①可以利用叠加原理把R(x)拆分成几个简单函数来计算；②若R(x)为n次多项式：⑴当0不是特征根时，设y∗(x)=P n(x)，将R n(x)中常数换成待定系数来求；⑵当0是特征方程的单根时，设y∗(x)=xP n(x).⑶当0是特征方程的重根时，设y∗(x)=x2P n(x).③ 若R (x )=R n (x )e αx ，R n (x )表示n 次多项式. ⑴ 当α不是特征根时，设y ∗(x )=P n (x )e αx .⑵ 当α是特征方程的单根时，设y ∗(x )=xP n (x )e αx . ⑶ 当α是特征方程的重根时，设y ∗(x )=x 2P n (x )e αx . ④ 若R (x )=e αx [p (x )cos βx +q (x )sin βx ].⑴ 当α±iβ不是特征根时，设y ∗(x )=e αx [P n (x )cos βx +Q n (x )sin βx ]. ⑵ 当α±iβ是特征根时，设y ∗(x )=xe αx [P n (x )cos βx +Q n (x )sin βx ].1、行列式① 拉普拉斯展开式：|A |=∑a ij (−1)i+j |M ij |n j=1=∑a ij (−1)i+j|M ij |n i=1；(−1)i+j |M ij |是代数余子式； ② 行列式的性质：⑴ 基本性质： ⒈ |A |=|A T |；⒉ det AB =(det A )(det B )； ⑵ 交换矩阵A 的两行得到矩阵B ，则det B =−det A ；⑶ 以一个标量k 乘到矩阵A 中的某一个行，则det B =k ∙det A ；⑷ 如果将A 的某一行乘以某数，再加到另一行上，则det B =det A ； ⑸ 若矩阵A 为奇异矩阵，即r (A )≠n ，则det A =0； ⑹ 按异行余子式展开的行列式，其值为零。
复旦国际金融新编笔记-第五章
第五章内部均衡和外部平衡的中长期调节增长条件下内部均衡和外部平衡的中期调节：短期内我们假设总需求和总供给不变动，中期内，供给低于潜在产出的情况下，总供给随着总需求的增加而增加（这个是由商品市场需要出清决定的），但总供给的变动来源于闲置的生产要素，其增长受到潜在产出水平的限制，到达潜在产出的上限以后，需求的增加只会引起物价水平的提高。
中期内需求增加引起，价格上升，供给增加，重新达到平衡（假设需求上升，本国价格水平不变，汇率水平的下降使得本国出口品的国际价格上升供给增加，总供给增加），内部均衡曲线右移。
再看外部平衡曲线，国内需求上升，引起进口增加，为了达到外部平衡，必须使本币贬值增加出口减少进口（或者下调本国价格减少进。
新的均衡点表现为本币贬值，价格增加。
而对比弹性货币分析法，口增加出口），本国产出的增加，会导致本币的升值，这是因为弹性货币分析法是基于购买力平价理论，并且没有考虑价格水平的变动和货币供给量的变动，在E-P模型下，产出和价格都增加，意味着货币供给也增加。
，，产出变动只是初始变量中的一个，假如同时考虑到货币供给和价格因素，弹性货币分析法会得到和相同的结论。
（可以进一步分析，内部均衡的变动路径，价格一次性大幅增加，带来商品供给增加，然后价格小幅下调，产生新的内部均衡）经济的外延增长：通过各种生产要素的投入的增加而带来的经济增长。
包括资本K和劳动L，其中K包括：经常账户收入的转化K CA，（贬值导致其增加），资本账户收入的转化K f，（贬值导致其增加），储蓄的转化K d（本币贬值，本币供给增加。
收入效应和货币供给效应导致居民减少储蓄，其转化为资本，所以增加）；本币贬值，总需求增加，扩大生产，对劳动L的需求增加。
随着本币贬值，劳动和资本供给都会增加从而带来产出增加，此即为外延经济增长。
正向的供给冲击使曲线右移，相同的汇率下，劳动和资本投入增加。
反之左移。
由需求增加导致的中期的内外均衡就是长期的外延增长，它们都和汇率e正相关。
金融学PP课件第五章
金融学PP课件第五章概述第五章是金融学课程中的重要章节之一，着重介绍了金融市场和金融工具。
金融市场是各类金融交易的场所，可以分为证券市场、货币市场和衍生品市场等。
金融工具是在金融市场上进行交易和投资的工具，包括股票、债券、外汇等。
本章将通过讲解金融市场和金融工具的基本概念、特点和功能，帮助学生更好地理解金融市场和金融工具的运作机制，为将来的投资决策和金融管理提供基础知识。
金融市场金融市场是指进行金融交易的场所，是资金供求的汇聚地。
根据交易的资产类型，金融市场可以分为证券市场、货币市场和衍生品市场。
证券市场是进行股票、债券等证券交易的市场。
根据交易方式的不同，证券市场可以分为一级市场和二级市场。
一级市场是指企业首次向公众发行股票和债券的市场，也称为新股发行市场。
二级市场是指已发行的证券在市场上进行买卖的市场，也称为现货市场。
证券市场对于企业融资和投资者的资产配置具有重要意义。
货币市场货币市场是进行短期资金融通的市场。
货币市场的主要特点是交易期限较短，通常在一年以内，并且以无风险或低风险的债务工具为主要交易资产。
货币市场的参与者主要有商业银行、证券公司、投资基金等金融机构。
货币市场的功能包括资金融通、风险管理和货币政策调控。
衍生品市场是进行衍生品交易的市场，包括期货市场和期权市场。
衍生品是金融工具的一种，其价值源于基础资产的价格波动。
期货是一种标准化合约，约定了在未来某一特定时间和特定价格交割某种商品。
期权是一种选择权，可以让持有人在未来某一时间以约定价格购买或者卖出某种资产。
衍生品市场对于风险管理和投资套利具有重要作用。
金融工具金融工具是在金融市场上进行交易和投资的工具，包括股票、债券、外汇等。
不同的金融工具具有不同的特点和风险，投资者可以根据自己的需求和风险承受能力选择适合的金融工具。
股票股票是公司向投资者发行的一种所有权证书，代表着对公司的股权和利益。
持有股票的投资者成为公司的股东，有权参与公司的决策和分享公司的盈利。
金融经济学第五章
(L) (1- L) d xt = (L) ut
因含有 d 个单位根，所以常把时间序列单整阶数的检验称为单位根检验（unit root test）。
若 xt I(d)，yt I(c)，则
zt = (a xt + b yt) I (max[d, c]).
第二节 单整过程的统计特征
以随机游走过程和平稳的 AR(1)过程作比较,
对于随机游走过程 xt = xt-1 + ut , x0 = 0, ut IN (0, u2) 有
t
xt = xt-2 + ut-1 + ut = … = ui ,
（具有永久记忆性）
i 1
t
E(xt) = E( ui ) = 0 i 1
2.5 4
2
3 1.5
2 1
1
0.5
0
0
-0.3-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
-1 -0.5
0
0.5
1
图 5.1a
图 5.1b
图 5.1c
问题的严重性在于当变量非平稳时，认为 R 服从的是正态分布，但实际上 R 服从的却
是图 5.1b 和图 5.1c 那样的倒 U 和 U 字型分布，因此增加了拒绝概率，本不相关的两个变量
k =
Cov(xT , xT k ) =
Var (xT ) Var (xT k )
(T k ) u 2
=
T u 2 (T k ) u 2
T k = 1k /T
Tபைடு நூலகம்
对于 AR(1) 过程 yt = 1 yt-1 + ut , 1 < 1, y0 = 0, yt = ut + 1 ut-1 + 12 ut-2 + … + 1t-1 u1
金融学知识点总结
第一章：一、信用货币信用货币是由银行提供的信用流通工具，是国家法律规定的强制流通并不以任何贵金属为基础独立发挥货币职能的货币。
主要形态有：现金货币存款货币电子货币二、货币的职能（一）价值尺度职能：货币在表现商品的价值并衡量商品价值量大小时，执行价值尺度职能。
充当价值尺度的货币可以是观念上的货币。
（二）流通手段职能：货币作为商品交换的媒介，实现商品的价值时，执行流通手段职能。
执行流通手段的货币必须是现实的货币可以是不足值的货币。
三）贮藏手段职能：当货币退出流通领域，被持有者当作独立的价值形态和社会财富的化身而保存起来时，执行贮藏手段职能。
充当贮藏手段的货币必须是现实的、足值货币必须是处于静止状态的货币四）支付手段职能货币作为价值运动的独立形态，进行价值的单方面转移时，执行支付手段职能。
（五）世界货币职能：当货币走出一国的国界，在世界市场上发挥作用时，执行世界货币职能。
世界货币的作用：国际间的一般购买手段国际间的一般支付手段国际间财富的一般转移手段三、货币制度的构成要素：货币制度是国家以法律形式确定的本国货币流通的结构和组织形式，它使货币流通的各个要素结合成为一个有机的整体。
简称为币制。
货币制度的构成要素：1、规定货币金属与货币单位：货币金属是规定用何种金属充当货币，它是整个货币制度的基础。
货币单位是指规定货币的名称及所含货币金属重量。
2、规定本位币和辅币的铸造、发行和流通程序。
本位币、自由铸造、无限法偿辅币、限制铸造、有限法偿3、银行券、纸币的发行与流通程序4、金准备制度（黄金储备制度）四、金银复本位制：是以金、银两种金属同时作为货币金属，金币、银币都可以自由铸造的货币制度。
金银复本位制的三种形式：平行本位制双本位制跛行本位制五、金本位制：是以黄金作为本位货币的货币制度。
（1）金币本位制：是典型的金本位制。
以金铸币为本位币，金币可以自由铸造、自由熔化、自由输出入国境。
（2）金块本位制：即生金本位制。
(完整版)金融学知识点总结
第一章货币与货币制度货币形式的发展：实物货币→金属货币（铸币）→信用货币（银行券）→电子货币货币的职：1、价值尺度2、流通手段3、贮藏手段4、支付手段5、世界货币货币制度的构成要素：（一）规定货币材料（二）规定货币单位（货币单位名称和值）（三）规定流通中的货币种类货币制度的演变：银本位制→金银复本位制→金本位制→不兑现的信用货币制度（信用本位制）我国现行的货币制度：（一）人民币货币制度（二）港澳台地区的货币制度（特别注意香港）国际货币制度：①国际金本位制（以黄金作为本位货币）②布雷顿森林体系(以黄金作为基础，以美元作为主要的国币储备货币，实行“双挂钩”的国际货币体系)(知识)1、1944年7月，达成《IMF协定》;2、双挂钩的固定汇率体系;3、1973年崩溃(特点)a.美元与黄金挂钩；b. IMF成员国货币与美元挂钩③1978牙买加体系;承认浮动汇率的合法性，确定以特别提款权为主要的储备资产，美元地位明显削弱，日元、德国马克成为重要的国际货币信用货币层次划分的依据：即都以流动性的大小，也即作为流通手段和支付手段的方便程度作为标准。
流动性越强的金融资产，现实购买力也越强。
我国货币货币层次的划分：M0=流通中现金；M1=M0+可开支票的活期存款；M2=M1+企业单位定期存款+城乡居民储蓄存款+证券公司客户保证金存款+其他存款铸币:铸成一定形状并由国家印记证明其重量和成色的金属货币。
信用货币：以信用为保证，通过信用程序发行的、充当流通手段和支付手段的货币形态。
其实质的性用工具，其本身并无内在价值。
因此这些形式的货币被称为信用货币。
主要包括：纸质货币，存款货币，电子货币。
存款货币：指能够发挥货币作用的银行存款，主要是指能够通过签发支票办理转账结算的活期存款。
无限法偿：无限法偿是指不论支付数额多大，不论属于何种性质的支付（买东西、还账、缴税等），对方都不能拒绝接受。
本位币具有有限法偿：有限法偿是指在一次支付中若超过规定的数额，收款人有权拒收，但在法定限额内不能拒收，只有超过规定才能拒收。
数理金融学核心内容
如果市场上“一物多价”则必然存在套利机会。套利策略的核心为：凡是被高估的资产应立即卖出， 凡是被低估的资产应立即买入，把这个策略用到定理 1.7 的证明上，你会发现 1.7 非常简单
wi2
(n)
=
c
<
∞
4、会证明定理 4.3（按我上课写的步骤写） 4.4 因子选择与参数估计和检验 说明：本节只要知道讲的啥东西都行了
第五章 期权定价理论
1、理解并会描述维纳过程 2、记住并会推导伊藤引力（参考课本 122 页）
3、若股票的价格 S 表示成 dS = µSdt + σSdz 维纳过程，请使用伊藤引理证明股票的价格 S 在经历时 间 T 后服从对数正态分布。（按我课上讲的作答，参考课本 123 页）
如果一个彩票只有两种结果 ~x ∈{x1 = 5，x2 = 15} ，并且分别出现这两种结果概率分别为 0.4 和 0.6，
p =（p1 = 0.4，p2 = 0.6），用 P 表示该随机商品：如果购买该随机商品就有 0.4 的可能性获得确定商
品 x1 和有 0.6 的可能性获得确定商品 x2
2、理解基数效用函数（是掌握期望效用函数的基础） 3、掌握 Von Nenmann—Morgerstern 效用函数 说明：该函数是对应某一确定性商品（财富）的效用 4、掌握期望效用函数 说明：该函数是衡量随机商品的效用，理解此处“期望”的含义和该函数与 Von Nenmann—Morgerstern 效用函数的关系 1.3 投资者的风险类型及风险度量 1、掌握如何利用 Von Nenmann—Morgerstern 效用函数判断一投资者风险类型 说明：可以用图示或公式法、求导 2、掌握并理解马科维茨风险溢价 1.4 均值方差效用函数 1、理解本书中所有使用的收益率均为持有期收益率
金融工程(第5版) 课件第5章
x (x1 , x2 xn )' Ex (1, 2 n )'
Var(x) E(x Ex)(x Ex)'
i R0
i 1,2,n
式中 ’表示矩阵的转置
设投资组合为
( 0 ,1, n ) ( 0 , ' ) 其中 0 为在无风险证券上的投资份额。
若给定收益为a，则
' ( R01) a R0
设 市场上风险资产的收益一共受到k个风险因素的影响，可表示 如下：
Ri ERi bi1F1 bi2 F2 bik Fk i
用矩阵形式表示就是：
R ER BF
上式还同时满足下列两个条件：
Ei 0 i 1, 2 , n
cov(i , j ) 0 i, j 1, 2, , n(i j)
上式可写成直线：
a R0 C 2R0 B R02 A
这表示,如果金融市场存在无风险资产,且在证券组合 投资收益为a的
条件下，若风险最小的投资组合的风险 为 ，则（a， ） 满足
方程,直线如图所：
由于在这个条件下，最小方差的证券组合是存在的。 因而，反过 来，如果 (a, ) 满足上式,则它对应的证券组合就是最小方差证券 组合.
可以看作是风险资产 xi 的风险溢价。值得注意的是，
衡量风险的标准并不是风险资产的方差， 而是 Mi
⒈ 当 Mi 1 时，我们称风险资产xi为进攻性的。 即市场价格上涨时，它的价格上涨得更快。
⒉ 当 Mi 1 时，我们称风险资产xi为防御性的。 即当市场价格下跌时，它的价格下跌得更慢。
⒊ 当 Mi 1 时，我们称风险资产xi为中性的。
APT模型的主要局限性主要表现在两个方面：
① APT模型没有说明决定资产定价的风险因子的数目和类型，也没有说
金融学(第5章)
面值 票面利率 年利息 要求收益率 5
1000 10% 100 8% 4
80 66 14 1.4%
债券到期年限 3 2
1,036
36 16 1.6% 52 15 1.5%
1
1,019
19 17 1.7%
0
1,000
0 19 1.9%
市场价格 价值升水 升水减少额 升水减少速率 （占面值的％）
1,080
5
市场价格 价值升水
1,080 80
4
1,066 66
债券到期年限 3 2
1,052 52 1,036 36
1
1,019 19
0
1,000 0
收益率不变价格升水随到期日的变化 90 80 80 70 60 50 40 30 20 10 0 5 4 3 到期年限 2 1 0 0 19 52 36
价格升水
息票利率、必要收益率和债券价格之间的关系
例如，票面价值为$1000，3年到期的零息债券（不支付利息）。假 定投资者对债券要求的收益率为13%。其将来现金流的现值决定了债 券的价格。 现值=$0/（1+0.13）1 +$0/（1+0.13）2 +$1000（1+0.13）3 =$693.05 假定同样票面价值和到期时间，但提供13%的年利息的债券，此债券 的价格应为： 现值=$130(1+0.13)1+$130/(1+0.13)2+$1130/(1+0.13)3 =$115.04+$101.81+$783.15=$1000 假定同样票面价值和到期期限的债券，但年利率为15%，高于投资者 要求的收益率。 现值=$150/(1+0.13)1+$150/(1+0.13)2+$1150/(1+0.13)3 =$132.74+$117.47+$797.01 =$1047.22
金融经济学第五章
（5.5）
（5.5）式说明，当市场达到均衡时，所有个体的初始财富
和等于所有风险证券的市场总价值。
设 (wm1 , wm2 ,
, wmN )T 为此时市场证券组合的权，由市场
p j N ( r , rf )
j 1 D j N i w W ij 0 i 1 I
证券组合的定义和（5.3）式有
率 A C 之间具有不同的关系时，证券组合有效集的形成。
● 当 rf A C 时，投资者把所有的财富都投资在无风险
债券上并持有自融资的风险证券组合。所以，对无风险债券的 需求为正，而对风险证券的需求为零，这与市场均衡矛盾。因
此，当市场达到均衡时，无风险利率 r f
合的期望回报率 A C 不可能相等。
效集相同，即每个投资者以相同的无风险利率借或者贷，再 投资到相同的切点证券组合上。也就是说，在均衡时，每个
投资者的切点证券组合相同。
所有投资者有相同的有效集，他们选择不同的证券组合 的原因在于他们有不同的无差异曲线，因此，不同的投资者 由于对风险和回报的偏好不同，将从同一个有效集上选择不
同的证券组合。
（ 1965 年）、 Mossin （ 1965 年）和 Sharpe （ 1964 年）独立提 出（如图5-2所示）。
ri
rM
●
rf
O
1.0
图5-2 证券市场线
iM
方程（ 5.9 ）是以 r f 为截距，以 E(rM ) rf 为斜率的直 线。因为斜率是正的，所以 qM 越高的证券，其期望回报率
D N (r , rf ) Nij ( r , rf ) D j i 1 I
它们均为
r 和rf
的函数。
当市场达到均衡时，均衡回报率 r 和rf 使得下列条件满足： I. 风险证券市场出清：对任意 j 有
数学高三第五章知识点
数学高三第五章知识点数学作为一门基础学科，在高中阶段的学习中占据着重要的地位。
而在高三阶段，学生们主要学习的是数学的第五章内容。
第五章知识点主要包含以下几个方面：复数的初步认识、复平面及其运算、复根与复解、复数与实系数多项式以及解复数方程等内容。
下面将分别对这些内容进行较为详细的讨论。
首先是复数的初步认识。
复数是由实数和虚数构成的。
虚数是指实数乘以虚数单位i得到的数，即i^2=-1。
而复数则由实部和虚部构成，通常形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，a和b均为实数。
复数的加法和减法遵循实数运算的规律，实部与实部相加，虚部与虚部相加。
复数的除法需要通过有理化的方法进行。
其次是复平面及其运算。
复平面是一种描述复数的几何方法。
在复平面中，实轴是x轴，虚轴是y轴。
一个复数可以对应于复平面上的一个点，该点的横坐标为实部，纵坐标为虚部。
复数的加减法对应复平面上的向量运算，即将两个复数所对应的点连接起来，从而得到一个新的复数。
复数的乘法对应于复平面上的旋转与缩放，复数的除法则对应复平面上的旋转、缩放和镜像等运算。
第三个知识点是复根与复解。
对于一个多项式方程，如果存在一个复数，使得代入方程后等式成立，则称该复数为方程的复根。
复根往往是成对出现的，即如果a+bi是方程的一个复根，那么a-bi也是方程的一个复根。
复根与复数的乘法有关，即如果复数a+bi是方程的一个复根，那么(x-a-bi)(x-a+bi)是方程的一个因式。
第四个知识点是复数与实系数多项式。
对于一个实系数多项式，如果它的某个复数为解，那么它的共轭复数也是它的解。
这是因为实系数多项式的系数都是实数，所以对于复数的各项系数，共轭复数与其乘积的虚部为0，即共轭复数也是方程的解。
最后一个知识点是解复数方程。
对于一个复数方程，我们可以利用求复数根的方法来求解。
首先，我们可以设未知数为复数形式，并将方程转化为复数形式的多项式方程。
然后，利用已掌握的求复数根的方法来求解方程。
金融衍生第五章
主要期权合约
5. 利率期权 利率期权（interest rate options）以利率作为
其标的物，是以现金结算美国国债的欧式期权， 其中分为短期利率、中期利率和长期利率。 在场内交易的利率期权一般分为长期国债期货期 权、中期国债期货期权和欧洲美元期货期权。 当利率下降时，利率期货价格上升。当利率上升 时，利率期货价格下降。
保证金与结算
2．清算 （1）交易清算所 作为期权交易的媒介或者中介人，交易清算所
（exchange clearinghouse）称为交易所的附属机构。 结算保证金（clearing margin）是结算所要求会员在结 算所开立的保证金。与投资者保证金账户的操作方式类似， 结算所会员的保证金账户余额在每一交易日结束时也按照 其盈利和亏损进行调整。 （2）期权清算公司 期权清算公司（Option Clearing Corporation）的功能 类似于期货市场中的清算交易所。在美国的期权式市场，
4. 期货期权 期货期权 (futures options or options on futures )的标的
资产是期货合约。 对于一份期货看涨期权，持有者执行它后可以得到该期货合约的多头
头寸加上一笔等于期货当前价格减去执行价格的现金。如果持有者执 行一份期货看跌期权，他将获得该期货合约的空头头寸外加一笔数额 等于执行价格减去期货当前价格的现金。 期货期权既可以是金融期货也可以是商品期货。 期货期权成交活跃，深受投资者喜爱。其原因可以概括为以下几点： （1）期货合约的特点决定了期货市场的流动性要强于现货市场。 （2）股票指数期货期权进行交割的成本相对较低。 （3）在CBOT交易的现货期权的标的资产往往是在其他地方（比如 对于股票和股票指数是在NYSE）交易的。因此，在期货交易所拥有 会员资格的个人不得不通过CBOT的经纪人来交易“现货期权”。
高一数学知识点第五章总结
高一数学知识点第五章总结随着高一的进展，我们在数学的学习中也逐渐深入了解到了更多有趣、有意义的数学知识。
在第五章中，我们学习了函数的概念和性质，为了更好地总结这一章的内容，我将从以下几个方面来进行讨论。
一. 函数及其概念函数作为数学中一个重要的概念，可以描述数学中的很多关系，如变量之间的映射关系等。
我们学习了函数的定义，即对于一个变量与另一个变量之间的一种对应关系。
函数中的自变量和函数值分别对应于关系中的输入和输出。
通过函数，我们可以更好地描述数学模型和解决实际问题。
二. 函数的性质函数的性质是我们在学习过程中需要深入理解和掌握的内容。
在这一章中，我们学习了函数的定义域、值域以及图像。
其中，定义域指的是自变量的取值范围，而值域则是函数值的范围。
理解函数的性质能够帮助我们更好地理解函数的变化规律，并能够将其应用到实际问题中去。
三. 函数的图像与变化规律函数的图像是我们通过函数的性质能够了解到的一个重要信息。
通过绘制函数的图像，我们可以更好地了解函数的变化规律，找到其在不同自变量取值下对应的函数值。
进一步，我们可以通过观察函数的图像，分析函数的单调性、最值等性质，从而更好地解决实际问题。
四. 函数的变换在函数的学习中，我们学习了函数的基本变换及其特点。
通过平移、翻转、伸缩等操作，我们可以对函数进行变换，从而得到新的函数。
这些变换不仅仅应用于函数的图像，还能够使函数的性质发生相应的变化。
掌握函数的变换规律，可以更好地理解函数的特点，并能够解决更加复杂的问题。
五. 函数的复合与反函数函数的复合是我们在学习中需要理解和应用的另一个内容。
通过将一个函数的输出作为另一个函数的输入，我们可以得到函数的复合。
复合函数的性质和变换也会发生相应的变化，通过掌握复合函数的规律，我们能够更好地解决一些复杂的数学问题。
另外，反函数是函数中的一个重要概念，通过反函数，我们可以实现函数值和自变量的互换，解决一些特殊的问题。
六. 小结通过对高一数学知识点第五章的总结，我们可以进一步理解和掌握函数的概念及其性质，了解函数的图像和变换规律，并学会应用函数的复合和反函数来解决问题。
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数学金融学第五章总结一、单时段市场交易策略投资价值的数学模型(一) 不贴现的数学模型()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1.5 1.601.7 1.901.8 1.1000,01,0;1,11111,1; 1.111. T Tmm V z z R z B B R rz R =+=∈=+=∈=+∆∈ Z S S Z V Z z Z G Z z S S S (1.12)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩(二) 贴现的数学模型()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1.5 1.601.7 1.901.8 1.1000,01,0;1,11111,1; 1.111. T Tmm V z z R z B B R rz R =+=∈=+=∈=+∆∈ Z S S Z V Z z Z G Z z S S S (1.12)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩二、理性市场的充要条件次级理性市场───市场成立单一价格定律(当()1,,0V ω=Z ,ω∀∈Ω时,则()0,0V =Z ───()()()0,1,,V V ωωμμω**∈Ω==∑Z Z ,其中()μμω=为广义测度 ()()0,1,V E V μ**⎡⎤=⎣⎦Z Z ──()()1101T T μ**⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭S S 有解──()()10E μ**⎡⎤⎣⎦S =S 中级理性市场───无占优策略(ˆZ 比 Z 占优─()()()()ˆ0,0,;ˆ1,,1,,,.V V V V ωωω⎧=⎪⎨>∀∈Ω⎪⎩Z Z Z Z )───()()()0,1,,V V ωωμμω**∈Ω==∑Z Z ,其中()μμω=为线性定价测度─────()()1101TT μ**⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭S S 有非负解──()()10E μ**⎡⎤⎣⎦S =S 高级理性市场───市场是无套利的(市场有套利──n R R ∈⨯Z ()()()()()()1,,0,1,;,1,,0,1.i i V V B V V B ωωωω≥∀∈Ω⎧⎪⎨∃∈Ω>⎪⎩使得Z Z Z Z )─── ()()()0,1,,1,V V E V μωωμ***∈Ω⎡⎤==⎣⎦∑Z Z Z ,其中()μμω=为风险中性概率测度─────()()1101T T μ**⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭S S 有非负解──()()10E **⎡⎤⎣⎦S =S 三、未定权益的问题1. 未定权益可复制的、可定价的问题未定权益X 是可复制的──存在复制策略Z 使得,()()1,,V X ωω=Z ,ω∀∈Ω.()0,V Z 称为该未定权益在时刻0=t 的一个价格.未定权益X 是可定价的──对任何复制策略Z ,均有()0,V c ≡Z .设市场无套利,则未定权益X 是可复制的⇔()()()()1,0,11Q Q V X E E V B B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z Z 不依赖于Q ∈L 2. 市场完备性问题市场是完备的──任何未定权益均是可复制──市场()()(){}M ,,,,P B ≡Ω⋅⋅S F中rank ()()1,1m = S ()m n ≤──()()1,m R R *∆= S ──L 为单点集.四、风险与回报1. 相对回报第i 种股票的相对回报──()()()()()()()1,010,100i i i i i i i i S S S S R R i n S S ωω--===≤≤,对一般的交易策略()n R R ∈⨯Z 的相对回报定义为──()()()()()1,,0,,0,V V R R V ωω-=≡Z Z Z Z Z ()()()100,0,ni i i i S z z r R V V ==+∑Z Z市场是无套利的──Q ∃∈L ──[],1Q i E R r i n =≤≤──()Q E R r =⎡⎤⎣⎦Z 2. 风险溢价状态价格密度(相应于Q 的)──()()()()(),Q L L X P ωωωωω===∀∈Ω []()()()1E L L P Q ωωωωω∈Ω∈Ω===∑∑,定理 6.2设,,,0a b R b ≠∅∈≠L ,使得未定权益bLa +可复制,其复制策略n R R '∈⨯Z 的相对回报为()R 'Z .n R R ∈⨯Z 为任一交易策略,其相对回报为()R Z ,则()()()()()(){}cov ,var R R E R r E R r R ''-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦'⎡⎤⎣⎦Z Z Z Z Z .(6.11)证明: ① ()()()()()()c o v ,R L E R LE R E L =-⎡⎤⎣⎦Z Z Z()()()()(),Q R P E R P ωωωωω∈Ω=-⎡⎤⎣⎦∑Z Z ()()()()6.4Q E R E R r E R =-=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦Z Z Z ,(6.12)② 对给定的0,,≠∈b R b a 假定()0,Tz '''=Z z 是bL a +的一个复制策略，则 ()()()()()6.21,,0,1,a bL V V R ωωω'''+==+⎡⎤⎣⎦Z Z Z ,(6.13)所以，()()()0,1,V R aL b ωω''+-⎡⎤⎣⎦=Z Z ()()()0,0,,V V aR b bω''-'=+Z Z Z ,(6.14)③()()()()()()()()6.120,0,cov ,cov ,V V a r E R R L R R b b ''-⎛⎫'-==+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭Z Z Z Z Z Z ()()()()0,cov ,,n V R R R R b''=∀∈⨯Z Z Z Z ,(6.15)④ 特别取'=Z Z 则有()()()()()()()()0,0,cov ,var V V r E R R R R b b''''''-==⎡⎤⎣⎦Z Z Z Z Z Z ,(6.16) 故()()()(){}110,var r E R b V R '=-⎡⎤⎣⎦''Z Z Z ,(6.16.1)综合(6.15)和(6.16.1),我们可得到(6.11).▲2.风险溢价和Beta我们称()E R r -⎡⎤⎣⎦Z 为交易策略Z 的风险溢价(risk premium ),称()()()()cov ,var R R R ''⎡⎤⎣⎦Z Z Z 为交易策略Z 关于'Z 的Beta,记作(),β'Z Z .因此,上面结果表明,交易策略Z 的风险溢价恰好等于'Z 的风险溢价乘以Z 关于'Z 的Beta,即()()(){},E R r E R rβ''-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦Z Z Z Z .(6.17)命题6.3 设0,,≠∈b R b a ,则bL a +可复制当且仅当L 可复制.证明: 我们注意到:bL a +可复制,即存在()0,Tnz R R =∈⨯Z z 使得()()011TB z a bL+=+S z ,(6.18) 这等价于()()()()011111TB z a B LB b b-+=S z ,(6.19)因此,由定义知,命题6.3成立.▲由命题6.3可见,在定理6.2 中,我们不妨设a =0,b =1.当状态价格密度L 可复制时,可计算它的一个复制策略,记作()0,TLLL n z R R =∈⨯Z z,从而，()()()()11111nTL L LL j j j L B z B z z S ==+=+∑S z ()()()011100n nLL L j jj j j j j B z S z S z R ===++∑∑, (6.20)则()()cov ,R L Z ()()()()()()()()6.2 6.20001110cov ,1000,0,n n n i i L L i j j i j i j j S z z r R B z S S z R V Z V Z ===⎛⎫ ⎪=+++ ⎪⎝⎭∑∑∑()()()(),100cov ,0,nL i jijiji j z z S S R R V Z ==∑()()(),0,0,TL LV V ==z zz z Z Z A A ,(6.20.1)其中()()()()00c o v ,i j ijn nS SR R ⨯=A ,它依赖于股价,不依赖于策略.对∀()0,Tn z R R =∈⨯Z z ,有()()()()()()()()()()()()()6.15 6.12 6.20.1,cov ,cov ,0,0,0,0,L L L LLr E RR L R R V V V V -⎡⎤⎣⎦===z z Z Z Z Z Z ZZ Z A ,(6.21) 因此，()()()()()()()()()()()()()()2cov ,cov ,,/0,0,,var cov ,,/0,L L L L LLLLL L L R R R R V V R R R V β===⎡⎤⎣⎦Z Z Z Z z z Z Z Z ZZ Z Z z z Z A A()()0,,0,,L LLLV V =Z z z Z z zA A ,(6.22)由于,可以离线地计算好,从而,我们可以很容易地通过()()()(){}6.11,L LE R r E R r β⎡⎤-=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦Z Z Z Z(){}()()0,,0,,LLLL LE R r V V ⎡⎤-⎣⎦=Z Z zzZ z zA A ,(6.23)计算出策略Z 的风险溢价.现在,让我们举一个例子(注意前面的例5.8). 例6.4 假定();10,0,1,3====B r n m(),1001=S ()()()1112131,8,1,10,1,12S S S ωωω===;()()()1231,1/24P P P ωωω===,求交易策略Z的风险溢价.解 ① 求一个Q ∈L ,使得相应的状态价格密度L (见(6.9))是可复制的.由前面的例3.11,我们知道该市场的风险中性概率测度全体为()11111,12,02Q Q Q Q ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭L ,(6.24)再由例5.8,状态为()123,,TX X X =X 的未定权益X 可复制当且仅当2321=+-X X X ,(6.25)任取()111,12,Q Q Q ≡-Q 的Q ∈L ,此处,1102Q <<由(6.9) 我们有:()()()()()()1112123134,48,2L Q X L Q X L Q X ωωω===-===.(6.26)为了使得L 可复制,由(6.25),我们必须选择1Q ,使得()8222842401111-=+--=Q Q Q Q ,(6.27)因此,我们只需取1141=Q ,得一个风险中性概率测度()111434,12,,,111111TT Q Q Q ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭Q ,它所对应的状态价格密度()()()()12316128,,,,111111TTL L L ωωω⎛⎫== ⎪⎝⎭L 是可复制的. ② 16128,,111111T⎛⎫= ⎪⎝⎭L 的一个复制策略()0,TL L L z z =Z .利用例5.8 ,我们知道L 的一个复制策略为:()()0121332323211Lz X X L L ωω=-=-=,()()322411L L L z ωω-==-,(6.28)③ 交易策略Z 的风险溢价1)()()()()()()(){}()6.211011,0,1010120,LL L LL LL E V V z E S S E R z z S V ⎡⎤--⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤===-⎣⎦+Z Z Z Z . (6.29)2) ()()()()()()()()6.122211111110110var 1104S S S E S E S S ⎡⎤-⎡⎤==-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ,(6.30) 从而,()()()()()01010,0,,0,0,L LL L LLL LV z z S z z zV z z S zz z β+==+Z Z ZZ A A ()RR z z zz z⨯∈∀+-=,,10600.(6.31)3) ()[]()()()6.3 6.11111143418101210010111111Q Q E S r E R S ⎡⎤⎛⎫⎣⎦==-=⨯⨯+⨯+⨯-= ⎪⎝⎭. 4) 交易策略Z 的风险溢价为()()(){},L LE R r E R r β⎡⎤-=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦Z Z Z Z ()()1),2),3)00,,210zz z R R z z =∀∈⨯+。