2015届高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)2.4二次函数与幂函数档专练(新人教A版)文

§2.4 二次函数与幂函数
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．
2.幂函数
(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较
(3)幂函数的性质比较
∞，0]时，减
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a .
( × ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数． ( × ) (3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．
( × ) (4)当n >0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的增函数．
( × ) (5)若函数f (x )＝(k 2－1)x 2＋2x －3在(－∞，2)上单调递增，则k ＝±2
2.
( × ) (6)已知f (x )＝x 2－4x ＋5，x ∈[0,3)，则f (x )max ＝f (0)＝5，f (x )min ＝f (3)＝2. ( × ) 2．(2013·重庆)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为
( )
A ．9 B.92 C ．3 D.32
2
答案 B
解析 因为(3－a )(a ＋6)＝18－3a －a 2 ＝ －⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814， 所以当a ＝－32时，(3－a )(a ＋6)的值最大，最大值为9
2
.
3．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上
( )
A ．先减后增
B ．先增后减
C ．单调递减
D ．单调递增
答案 D
解析 由f (x )为偶函数可得m ＝0，∴f (x )＝－x 2＋3， ∴f (x )在区间(－5，－3)上单调递增．
4．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________． 答案 [1,2]
解析 y ＝x 2－2x ＋3的对称轴为x ＝1. 当m <1时，y ＝f (x )在[0，m ]上为减函数． ∴y max ＝f (0)＝3，y min ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝2. ∴m ＝1，无解．
当1≤m ≤2时，y min ＝f (1)＝12－2×1＋3＝2， y max ＝f (0)＝3.
当m >2时，y max ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝3， ∴m ＝0或m ＝2，无解．∴1≤m ≤2.
5．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不经过原点，则实数m 的值为________． 答案 1或2
解析 由⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2－3m ＋3＝1
m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.
经检验m ＝1或2都适合.
题型一 二次函数的图象和性质
例1 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．
思维启迪 对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．
解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，
∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.
(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，
∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]， 且f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]
x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，
∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，
单调递减区间是[－6,0]．
思维升华 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．
(1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是
________．
答案 y ＝1
2
(x －2)2－1
(2)若函数f (x )＝2x 2＋mx －1在区间[－1，＋∞)上递增，则f (－1)的取值范围是_
___________． 答案 (－∞，－3]
解析 ∵抛物线开口向上，对称轴为x ＝－m
4
，
∴－m
4≤－1，∴m ≥4.
又f (－1)＝1－m ≤－3，∴f (－1)∈(－∞，－3]． 题型二 二次函数的应用
例2 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .
(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围．
思维启迪 利用f (x )的最小值为f (－1)＝0可列两个方程求出a 、b ；恒成立问题可以通过求函数最值解决．
解 (1)由题意有f (－1)＝a －b ＋1＝0，
且－b
2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.
∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]， 单调增区间为[－1，＋∞)．
(2)f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立， 转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．
设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减． ∴g (x )min ＝g (－1)＝1.
∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．
思维升华 有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．
已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．
(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， 所以当x ＝1时，f (x )取得最小值1； 当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.
(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ， 因为y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， 所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5. 故a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 题型三 幂函数的图象和性质
例3 (1)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为
( )
A ．－3
B ．1
C ．2
D ．1或2
(2)若(2m ＋1)2
1 >(m 2
＋m －1) 2
1，则实数m 的取值范围是
( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12
B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫5－12，＋∞
C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭
⎪
⎫5－12，2
思维启迪 (1)由幂函数的定义可得n 2＋2n －2＝1，再利用f (x )的单调性、对称性求n ；(2)构造函数y ＝x 2
1，利用函数单调性求m 范围． 答案 (1)B (2)D
解析 (1)由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1， 解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B. (2)因为函数y ＝x 2
1的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧
2m ＋1≥0，m 2
＋m －1≥0，
2m ＋1>m 2＋m －1.
解2m ＋1≥0，得m ≥－1
2
；
解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－1
2.
解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2，
综上5－12
≤m <2.
思维升华 (1)幂函数解析式一定要设为y ＝x α (α为常数的形式)；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．
已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－
1(m ∈N *)
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．
解 (1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， 而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m (m ＋1)为偶数．
∴函数f (x )＝x (m 2＋m )－
1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
(2)∵函数f (x )经过点(2，2)，
∴2＝2(m 2＋m )－1
，即22
1＝2(m 2＋m )－
1.
∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *
，∴m ＝1.∴f (x )＝x 2
1
. 由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪
⎧
2－a ≥0，a －1≥0
2－a >a －1.
解得1≤a <32.∴a 的取值范围为[1，3
2
)．
分类讨论思想在函数中的应用
典例：(12分)已知函数f (x )＝ax 2－|x |＋2a －1(a 为实常数)． (1)若a ＝1，作出函数f (x )的图象；
(2)设f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式．
思维启迪 (1)因f (x )的表达式中含|x |，故应分类讨论，将原表达式化为分段函数的形式，然后作图．
(2)因a ∈R ，而a 的取值决定f (x )的表现形式，或为直线或为抛物线，若为抛物线又分为开口向上和向下两种情况，故应分类讨论解决． 规范解答 解
(1)当a ＝1时，
f (x )＝x 2－|x |＋1 ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋x ＋1，x <0x 2－x ＋1，x ≥0.[3分] 作图(如右图所示)[5分]
(2)当x ∈[1,2]时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.[6分]
若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝－3.[7分] 若a ≠0，
则f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12a 2＋2a －1
4a
－1， f (x )图象的对称轴是直线x ＝1
2a .
当a <0时，f (x )在区间[1,2]上是减函数，
g (a )＝f (2)＝6a －3.
当0<12a <1，即a >1
2时，f (x )在区间[1,2]上是增函数，
g (a )＝f (1)＝3a －2. 当1≤12a ≤2，即14≤a ≤1
2时，
g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫12a ＝2a －1
4a －1. 当12a >2，即0<a <1
4时，f (x )在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3.[11分]
综上可得，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧
6a －3， a <
1
4
2a －14a －1， 14≤a ≤1
2.
3a －2， a >12
[12分]
温馨提醒 本题解法充分体现了分类讨论的数学思想方法，在二次函数最值问题的讨论中，一是要对二次项系数进行讨论，二是要对对称轴进行讨论．在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论
.
方法与技巧
1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：
(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解． 2．幂函数y ＝x α(α∈R )图象的特征
α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． 失误与防范
1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．
2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
A组专项基础训练
一、选择题
1．若f(x)＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是() A．a≤－2 B．－2<a<2
C．a>2或a<－2 D．1<a<3
答案 C
解析∵f(x)＝x2－ax＋1有负值，
∴Δ＝a2－4>0，则a>2或a<－2.
2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()
答案 C
解析若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；
若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，故可排除D；
对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－b
2a<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，因此选C.
3．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么() A．f(－2)<f(0)<f(2)
B．f(0)<f(－2)<f(2)
C．f(2)<f(0)<f(－2)
D．f(0)<f(2)<f(－2)
答案 D
解析 由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于x ＝1
2对称，
又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f (0)<f (2)<f (－2)．
4．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是
( )
A ．(－∞，0]
B ．[2，＋∞)
C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)
D ．[0,2]
答案 D
解析 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)<0，x ∈[0,1]，
所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. 5．已知f (x )＝x 2
1，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是
( )
A ．f (a )<f (b )<f (1a )<f (1
b
)
B ．f (1a )<f (1
b
)<f (b )<f (a )
C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f (1
a
)
D ．f (1a )<f (a )<f (1
b )<f (b )
答案 C
解析 因为函数f (x )＝x 2
1
在(0，＋∞)上是增函数，
又0<a <b <1b <1
a ，故选C.
二、填空题
6．若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．
答案 0≤m ≤1
4
解析 m ＝0时，函数在给定区间上是增函数；
m ≠0时，函数是二次函数，对称轴为x ＝－1
2m
≤－2，
由题意知m >0，∴0<m ≤14.综上0≤m ≤1
4
.
7．若方程x 2－11x ＋30＋a ＝0的两根均大于5，则实数a 的取值范围是________．
答案 0<a ≤1
4
解析 令f (x )＝x 2－11x ＋30＋a .
结合图象有⎩⎪⎨⎪⎧
Δ≥0f (5)>0
，∴0<a ≤1
4.
8．当α∈⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．
答案 二、四
解析 当α＝－1、1、3时，y ＝x α的图象经过第一、三象限；当α＝1
2时，y ＝x α的图象经
过第一象限． 三、解答题
9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)．若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的单调区间． 解 ∵f (x )＋2x >0的解集为(1,3)， 设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，
∴f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .① 由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② ∵方程②有两个相等的根，
∴Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，
解得a ＝1或a ＝－1
5
.由于a <0，舍去a ＝1.
将a ＝－1
5代入①式得
f (x )＝－15x 2－65x －35＝－15(x ＋3)2＋6
5，
∴函数f (x )的单调增区间是(－∞，－3]， 单调减区间是[－3，＋∞)．
10．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值． 解 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 对称轴方程为x ＝a .
(1)当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， ∴1－a ＝2，∴a ＝－1.
(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1， ∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0， ∴a ＝1±52(舍)．
(3)当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.
B 组 专项能力提升
1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(12)x －7，x <0，
x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是
( )
A ．(－∞，－3)
B ．(1，＋∞)
C ．(－3,1)
D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 当a <0时，(12
)a －7<1， 即2－
a <23，∴a >－3，∴－3<a <0. 当a ≥0时，a <1，
∴0≤a <1.故－3<a <1.
2．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，集合A ＝{m |f (m )<0}，则( )
A ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)>0
B ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)<0
C ．∃m 0∈A ，使得f (m 0＋3)＝0
D ．∃m 0∈A ，使得f (m 0＋3)<0
答案 A
解析 由a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0可知a >0，c <0，
且f (1)＝0，f (0)＝c <0，
即1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，
当x >1时，f (x )>0.
由a >b ，得1>b a
， 设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的另一个根为x 1，
则x 1＋1＝－b a
>－1，即x 1>－2， 由f (m )<0可得－2<m <1，
所以1<m ＋3<4，
由抛物线的图象可知，f (m ＋3)>0，选A.
3．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值域为________． 答案 －1或3
解析 由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)，
所以f (x )min ＝1且Δ<0.∴－5＋1<a <5＋1.
又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4，
当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1，
即a 2－2a －3＝0，
解得a ＝3或a ＝－1.
4．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，且f (0)·f (1)>0.
(1)求证：－2<b a
<－1； (2)若x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，求|x 1－x 2|的取值范围．
(1)证明 当a ＝0时，f (0)＝c ，f (1)＝2b ＋c ，又b ＋c ＝0，
则f (0)·f (1)＝c (2b ＋c )＝－c 2<0与已知矛盾，
因而a ≠0，
则f (0)·f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－(a ＋b )(2a ＋b )>0
即(b a ＋1)(b a ＋2)<0，从而－2<b a
<－1. (2)解 x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，
则x 1＋x 2＝－2b 3a ，x 1x 2＝－a ＋b 3a
， 那么(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝(－2b 3a )2＋4×a ＋b 3a ＝49·(b a )2＋4b 3a ＋43
＝49(b a ＋32)2＋13
. ∵－2<b a <－1，∴13≤(x 1－x 2)2<49
， ∴33≤|x 1－x 2|<23
， 即|x 1－x 2|的取值范围是[33，23
)． 5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．
(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．
解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a
＝－1， 解得a ＝1，b ＝2.
∴f (x )＝(x ＋1)2.
∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，
即b ≤1x －x 且b ≥－1x
－x 在(0,1]上恒成立． 又1x －x 的最小值为0，－1x
－x 的最大值为－2. ∴－2≤b ≤0.
故b 的取值范围是[－2,0]．。