对功率谱密度传递率作用原理的探究
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具 有 不 受 激励 中有 色 成 分 影 响 的 特 点 ， 因此 具 有 广 阔 的发 展 和 应 用 前 景 。然 而 ， 现 有 的对 Ｐ Ｓ Ｄ Ｔ 的 研 究 基 本 上 集
关于 Ｐ Ｓ Ｄ Ｔ 的概 念 、 性 质 等 基 础 问 题 的讨 论 非 常 少 见 。从 系 统 的 角 度 出 发 ， 深入地讨论 了 Ｐ Ｓ Ｄ Ｔ 与 振～ 中于 应 用 层 面 ， 动
第２ ９ 卷第 ６ 期
２ ０ １ ６年 １ ２月
Ｖｏ １ ． ２ ９ ＮＯ ． ６
Ｄｅ ｃ ．２ Ｏｌ６
对 功 率谱 密 度 传 递 率 作 用原 理 的探 究
张 昱 ，朱 彤 ，周 晶
（ 大 连 理 工 大 学 海 岸 和 近 海 工 程 国家 重 点 实 验 室 ，辽 宁 大 连 １ １ ６ ０ ２ ４ ）
摒一 学 程 Ｅ 雌
ｇ
计） Ｌ ８ ］ 、 损 伤 识 别 、 运行 模 态分 析 （ Ｏｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ
引 言
传 递率是 一类 描述 动态 系统 中关 于不 同 （ 时间、
Ｍｏ ｄ ａ ｌ Ａｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ， ＯＭＡ） ＿ ｌ １ 等 问题 中 ， 相 对 广 泛 的
ＭＴ Ｆ 由单 自由度系 统 中的 运 动传 递 率 的 概念 延 伸 而来 ， 描述 了多 自由度 系 统 中 两组 不 相 交 的 自由度
ＴＯＭＡ 技术 普遍 具有 不受 激 励 中有 色 成 分 干 扰 的 特点 ， 这 也 是 其 相 对 于 传 统 ＯＭＡ 技 术 最 主 要 的
优势 。
工
关键词 ： 传 递 率 ；随 机 激 励 ； 功 率 谱 密 度 传 递 率 ；运 行 模 态 分 析 ； 基 于 传 递 率 的运 行 模 态 分 析
中图 分 类 号 ： Ｔ Ｂ １ ２ ３ ； Ｏ３ ２ ４ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文章 编 号 ： １ ０ ０ ４ — ４ ５ ２ ３ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ６ — ０ ９ ９ ２ － １ １ Ｄ ０Ｉ ： １ ０ ． １ ６ ３ ８ ５ ／ ｊ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ４ — ４ ５ ２ ３ ． ２ ０ １ ６ ． ０ ６ ． ０ ０ ７
应 用也使 这类 传递 率得 到 了更 为 系统 的研 究 ；Ｓ ＴＦ 和 Ｐ Ｓ Ｄ Ｔ 目前 则 主 要 被 用 作 为 ＯＭＡ 的 初 始 数 据 ¨ ］ ， 相关 的研 究 尚处 于起 步 阶 段 。一 般 ， 将 基
于 ＭＴ Ｆ， Ｓ ＴＦ和 Ｐ Ｓ ＤＴ 实 现 的 ０ＭＡ 统 称 为 基 于 传递 率 的 运 行 模 态 分 析 （ Ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｍｉ ｓ ｓ ｉ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ — ｂ ａ ｓ ｅ ｄ
Ｖ
模 态 参数 和 激 励 中 有 色 成 分 的 关 系 ， 分 析 了不 同荷 载 条 件 下 能 够 对 Ｐ Ｓ Ｄ Ｔ产 生影响 的因素 ， 探究 了 Ｐ Ｓ Ｄ Ｔ 作 为 运
行 模 态 分 析 的 初 始 数 据 的 作 用 原 理 。数 值 和 实 验 验 证 的 结 果 证 明 了 所 得 到 的结 论 的 正 确 性 。
为 了能够更 好 地通 过 Ｔ０ＭＡ技 术解 决 实 际 问 题， 系统而 深入 地 了解各类 传递 率 的概念 、 性 质和 计 算方 法等显 然 是 必要 的 。遵 循 这 样 的 思 路 ， 笔 者 近 年来 陆续 针对 相关 问题 进行 了一些 研究 口 。 。本 文 作为 这一 系列 研究 的重 要 组成 部 分 ， 试 图从 系 统 的 角度 探究 通过 Ｐ Ｓ ＤＴ识 别 模 态参 数 的原 理 ， 内容 由 如下 的部 分组 成 ： 首先 ， 给 出一般 多输入 多输 出系统 的模 型 和两种 等效 模 型 ， 以及 Ｐ Ｓ Ｄ Ｔ 关 于这 些 模 型
因此由图3中等效系统的传递函数珦hs的第i行中的元素组成的向量可以表示为珦hishisgs21直接将式21及其关于自由度j和p的版本代入式14中得到psdtpijshisgsseegshpsthjsgsseegshpsthisseehpsthjsseehpst22考虑到理想白噪声的功率谱矩阵see是一个秩一的正定常对称矩阵可以分解为某个元素非负的常向量这里记作与其自身外积的形式所以式22可以进一步简化为psdtpijshishhpsthjshhpsthishjs23式23表明在有效激励频段内如果系统受到多个激励并且激励完全相关自由度ij之间的psdt的值仅与激励作用的位置和这些激励的相对强度有关与参考输出自由度p的选取以及激励在复频域中的分布特征无关
功率 谱 密 度 传 递 率 的 运 行 模 态 分 析 （ Ｐ Ｓ ＤＴ — ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ＴｏＭＡ， Ｐ Ｓ ＤＴ ＯＭＡ） 。实 际 的应用 ｌ ｅ ｒ ｅ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｍｉ ｓ ｓ ｉ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ Ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ， Ｓ ＴＦ ） ［ 剞和 功 率谱 密度 传 递 率［ 。其 中 ，
现 有 的定 义 于多 自由度 系统 的运 动传 递率 主要
有 三种 ， 分别是多参 考传递率 （ Ｍｕ ｌ ｔ ｉ ／ ｐ ｏ ｌ ｙ —ｒ ｅ ｆ ｅ ｒ — ｅ ｎ ｃ ｅ Ｔｒ ａ ｎ ｓ ｍｉ ｓ ｓ ｍｎ ｉ ｔ ｙ Ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ， ＭＴＦ ／ Ｐ ＴＦ ） 引， 单
度 系统 传递 率 。
ｏＭＡ， ＴＯＭＡ） ， 将基 于 这三 种传 递 率 的 Ｔ ０ＭＡ 分 别 称作 基 于 多 参 考 传 递 率 的运 行 模 态 分 析 （ Ｐ ＴＭ— ｂ ａ ｓ ｅ ｄ Ｔ ０ＭＡ， ｐ ＴＯＭＡ） ， 基 于 单 参 考 传 递 率 的 运
行 模态 分 析 （ Ｓ Ｔ Ｆ — ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ＴＯ ＭＡ， ｓ ＴＯ Ｍ Ａ） 和 基 于
空 间等 ） 位置 处相 同类 型 的量 之 间传递关 系的 函数 ，
广 泛存 在于数 学 、 经济 学 、 工 程学 等领域 中 。在结 构 动 力分 析 问题 中 ， 依 据所 描 述 的量 的 类 型可 以将 传
递 率分 为力传 递 率 和运 动 传 递 率 ； 而 依 据 系统 类 型 则 可 以将传递 率分 为单 自由度系 统传递 率 和多 自由
摘要 ： 功率谱密度传递率 （ Ｐ ｏ ｗｅ ｒ Ｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｒ ｕ ｍ Ｄ ｅ ｎ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｔｒ ａ ｎ ｓ ｍｉ ｓ ｓ ｉ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ， Ｐ Ｓ Ｄ Ｔ） 是 一 种 描 述 系统 响 应 的 功 率 谱 之 间 关
系的 （ 复） 频域函数 ， 主 要 被 用 于作 为 运 行 模 态 分 析 的 初 始 数 据 。与 传 统 的 方 法 不 同 ， 基于 Ｐ Ｓ Ｄ Ｔ 的 运 行 模 态 分 析
关于 Ｐ Ｓ Ｄ Ｔ 的概 念 、 性 质 等 基 础 问 题 的讨 论 非 常 少 见 。从 系 统 的 角 度 出 发 ， 深入地讨论 了 Ｐ Ｓ Ｄ Ｔ 与 振～ 中于 应 用 层 面 ， 动
第２ ９ 卷第 ６ 期
２ ０ １ ６年 １ ２月
Ｖｏ １ ． ２ ９ ＮＯ ． ６
Ｄｅ ｃ ．２ Ｏｌ６
对 功 率谱 密 度 传 递 率 作 用原 理 的探 究
张 昱 ，朱 彤 ，周 晶
（ 大 连 理 工 大 学 海 岸 和 近 海 工 程 国家 重 点 实 验 室 ，辽 宁 大 连 １ １ ６ ０ ２ ４ ）
摒一 学 程 Ｅ 雌
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计） Ｌ ８ ］ 、 损 伤 识 别 、 运行 模 态分 析 （ Ｏｐ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ
引 言
传 递率是 一类 描述 动态 系统 中关 于不 同 （ 时间、
Ｍｏ ｄ ａ ｌ Ａｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ， ＯＭＡ） ＿ ｌ １ 等 问题 中 ， 相 对 广 泛 的
ＭＴ Ｆ 由单 自由度系 统 中的 运 动传 递 率 的 概念 延 伸 而来 ， 描述 了多 自由度 系 统 中 两组 不 相 交 的 自由度
ＴＯＭＡ 技术 普遍 具有 不受 激 励 中有 色 成 分 干 扰 的 特点 ， 这 也 是 其 相 对 于 传 统 ＯＭＡ 技 术 最 主 要 的
优势 。
工
关键词 ： 传 递 率 ；随 机 激 励 ； 功 率 谱 密 度 传 递 率 ；运 行 模 态 分 析 ； 基 于 传 递 率 的运 行 模 态 分 析
中图 分 类 号 ： Ｔ Ｂ １ ２ ３ ； Ｏ３ ２ ４ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文章 编 号 ： １ ０ ０ ４ — ４ ５ ２ ３ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ６ — ０ ９ ９ ２ － １ １ Ｄ ０Ｉ ： １ ０ ． １ ６ ３ ８ ５ ／ ｊ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ４ — ４ ５ ２ ３ ． ２ ０ １ ６ ． ０ ６ ． ０ ０ ７
应 用也使 这类 传递 率得 到 了更 为 系统 的研 究 ；Ｓ ＴＦ 和 Ｐ Ｓ Ｄ Ｔ 目前 则 主 要 被 用 作 为 ＯＭＡ 的 初 始 数 据 ¨ ］ ， 相关 的研 究 尚处 于起 步 阶 段 。一 般 ， 将 基
于 ＭＴ Ｆ， Ｓ ＴＦ和 Ｐ Ｓ ＤＴ 实 现 的 ０ＭＡ 统 称 为 基 于 传递 率 的 运 行 模 态 分 析 （ Ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｍｉ ｓ ｓ ｉ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ — ｂ ａ ｓ ｅ ｄ
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模 态 参数 和 激 励 中 有 色 成 分 的 关 系 ， 分 析 了不 同荷 载 条 件 下 能 够 对 Ｐ Ｓ Ｄ Ｔ产 生影响 的因素 ， 探究 了 Ｐ Ｓ Ｄ Ｔ 作 为 运
行 模 态 分 析 的 初 始 数 据 的 作 用 原 理 。数 值 和 实 验 验 证 的 结 果 证 明 了 所 得 到 的结 论 的 正 确 性 。
为 了能够更 好 地通 过 Ｔ０ＭＡ技 术解 决 实 际 问 题， 系统而 深入 地 了解各类 传递 率 的概念 、 性 质和 计 算方 法等显 然 是 必要 的 。遵 循 这 样 的 思 路 ， 笔 者 近 年来 陆续 针对 相关 问题 进行 了一些 研究 口 。 。本 文 作为 这一 系列 研究 的重 要 组成 部 分 ， 试 图从 系 统 的 角度 探究 通过 Ｐ Ｓ ＤＴ识 别 模 态参 数 的原 理 ， 内容 由 如下 的部 分组 成 ： 首先 ， 给 出一般 多输入 多输 出系统 的模 型 和两种 等效 模 型 ， 以及 Ｐ Ｓ Ｄ Ｔ 关 于这 些 模 型
因此由图3中等效系统的传递函数珦hs的第i行中的元素组成的向量可以表示为珦hishisgs21直接将式21及其关于自由度j和p的版本代入式14中得到psdtpijshisgsseegshpsthjsgsseegshpsthisseehpsthjsseehpst22考虑到理想白噪声的功率谱矩阵see是一个秩一的正定常对称矩阵可以分解为某个元素非负的常向量这里记作与其自身外积的形式所以式22可以进一步简化为psdtpijshishhpsthjshhpsthishjs23式23表明在有效激励频段内如果系统受到多个激励并且激励完全相关自由度ij之间的psdt的值仅与激励作用的位置和这些激励的相对强度有关与参考输出自由度p的选取以及激励在复频域中的分布特征无关
功率 谱 密 度 传 递 率 的 运 行 模 态 分 析 （ Ｐ Ｓ ＤＴ — ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ＴｏＭＡ， Ｐ Ｓ ＤＴ ＯＭＡ） 。实 际 的应用 ｌ ｅ ｒ ｅ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｍｉ ｓ ｓ ｉ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ Ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ， Ｓ ＴＦ ） ［ 剞和 功 率谱 密度 传 递 率［ 。其 中 ，
现 有 的定 义 于多 自由度 系统 的运 动传 递率 主要
有 三种 ， 分别是多参 考传递率 （ Ｍｕ ｌ ｔ ｉ ／ ｐ ｏ ｌ ｙ —ｒ ｅ ｆ ｅ ｒ — ｅ ｎ ｃ ｅ Ｔｒ ａ ｎ ｓ ｍｉ ｓ ｓ ｍｎ ｉ ｔ ｙ Ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ， ＭＴＦ ／ Ｐ ＴＦ ） 引， 单
度 系统 传递 率 。
ｏＭＡ， ＴＯＭＡ） ， 将基 于 这三 种传 递 率 的 Ｔ ０ＭＡ 分 别 称作 基 于 多 参 考 传 递 率 的运 行 模 态 分 析 （ Ｐ ＴＭ— ｂ ａ ｓ ｅ ｄ Ｔ ０ＭＡ， ｐ ＴＯＭＡ） ， 基 于 单 参 考 传 递 率 的 运
行 模态 分 析 （ Ｓ Ｔ Ｆ — ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ＴＯ ＭＡ， ｓ ＴＯ Ｍ Ａ） 和 基 于
空 间等 ） 位置 处相 同类 型 的量 之 间传递关 系的 函数 ，
广 泛存 在于数 学 、 经济 学 、 工 程学 等领域 中 。在结 构 动 力分 析 问题 中 ， 依 据所 描 述 的量 的 类 型可 以将 传
递 率分 为力传 递 率 和运 动 传 递 率 ； 而 依 据 系统 类 型 则 可 以将传递 率分 为单 自由度系 统传递 率 和多 自由
摘要 ： 功率谱密度传递率 （ Ｐ ｏ ｗｅ ｒ Ｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｒ ｕ ｍ Ｄ ｅ ｎ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｔｒ ａ ｎ ｓ ｍｉ ｓ ｓ ｉ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ， Ｐ Ｓ Ｄ Ｔ） 是 一 种 描 述 系统 响 应 的 功 率 谱 之 间 关
系的 （ 复） 频域函数 ， 主 要 被 用 于作 为 运 行 模 态 分 析 的 初 始 数 据 。与 传 统 的 方 法 不 同 ， 基于 Ｐ Ｓ Ｄ Ｔ 的 运 行 模 态 分 析