求极限地方法及例题总结材料

8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限
例1
1213lim
1
--+→x x x
解：原式=4
3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例2 )
12(lim --+∞
→n n n n
解：原式=
2
3
11213lim
1
2)]1()2[(lim
=
-++
=
-++--+∞
→∞
→n
n n n n n n n n
n 分子分母同除以。

例3 n
n n n n 323)1(lim ++-∞→解：原式
11)32(1)31
(lim 3=++-=
∞→n
n n n
上下同除以 。

3．两个重要极限
（1） 1
sin lim
0=→x x
x
（2） e x x
x =+→1
0)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，
例如：133sin lim
0=→x x
x ，e x x
x =--→210
)
21(lim ，e x x
x =+∞
→3
)31(lim ；等等。

利用两个重要极限求极限
例5 203cos 1lim x x
x -→解：原式=
61
)2(122sin 2lim 32sin 2lim 2
2
02
2
0=⋅=→→x x
x x x x 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例
6
x
x x 2
)
sin 31(lim -→=6
sin 6sin 31
sin 6sin 310
]
)
sin 31[(lim )
sin 31(lim ---→-⋅
-→=-=-e x x x
x x
x x
x
x x
例7 n
n n n )12(lim +-∞→=
31
331
1
331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-⋅-+∞→=+-+=+-+
e n n n n
n n n n
n n 。

4．等价无穷小
定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x
e 。

说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价
关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2
x - ～ 2x -。

定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0
x x →时的无穷小，且)(x f ～
)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当
)()
(lim
1
10x g x f x x →存在时，
)()
(lim
x g x f x x →也存在且等于
)
(x f )
()(lim
110
x g x f x x →，即
)()
(lim
x g x f x x →=)()(lim 11
0x g x f x x →。

利用等价无穷小代换（定理4）求极限
例9
)arctan()31ln(lim
20
x x x x +→
解：)31ln(0x x +→时， ～x 3，)arctan(2
x ～2x ，∴ 原式=33lim
2
=⋅→x x
x x 。

例10 x x e e x
x x sin lim
sin 0--→
解：原式=1sin )sin (lim sin )1(lim sin 0sin sin 0=--=--→-→x x x x e x x e e x x x x x x 。

注：下面的解法是错误的：
原式=1sin sin lim sin )1()1(lim 0sin 0=--=----→→x x x x x x e e x x x x 。

正如下面例题解法错误一样： 0lim sin tan lim
3030
=-=-→→x x
x x x x x x 。

例11 x x x x sin )
1
sin tan(lim
20→
解：
等价与是无穷小，时，当x x x x x x x 1
sin )1sin tan(1sin
0222∴→ ，
所以， 原式=0
1sin lim 1
sin
lim
020
==→→x x x x x x x 。

（最后一步用到定理2）
五、利用无穷小的性质求极限
有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。

用等价无穷小替
换求极限常常行之有效。

例 1. )11sin 1(
lim 2
--+→x x e x x 2. x x x ln )1sin(sin lim 0-→
5．洛比达法则
定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满
足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大； （2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0；
（3）
)()
(lim
x g x f ''存在（或是无穷大）；
则极限)()(lim x g x f 也一定存在，且等于)()(lim x g x f ''，即)()(lim x g x f =)()
(lim
x g x f '' 。

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要
有一条不满足，洛比达法则就不能应用。

特别要注意条件（1）是否满足，即验
证所求极限是否为“00”型或“∞∞
”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）
则在求导完毕后可以知道是否满足。

另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

利用洛比达法则求极限
说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。

同时，洛比达法则还可以连续使用。

例12 203cos 1lim
x x x -→（例4）解：原式=61
6sin lim 0=→x x x 。

（最后一步用到了重要极
限）
例13
12cos
lim
1
-→x x
x π解：原式=212sin
2
lim
1
πππ
-=-
→x
x 。

例14 30
sin lim
x x
x x -→ 解：原式=203cos 1lim
x x x -→=61
6sin lim 0=→x x x 。

（连续用洛比达法则，最后用重要极限） 例15 x x x
x x x sin cos sin lim
20
-→ 解：
313sin lim 3)
sin (cos cos lim
cos sin lim
202
020==--=⋅-=→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 原式
例18
])1ln(11[lim 0x x x +-→ 解：错误解法：原式=0
]1
1[lim 0=-→x x x 。

正确解法：。

原式21
)1(2lim 21
11
lim )1ln(lim
)1ln()1ln(lim
000
0=+=-+=⋅-+=+-+=→→→→x x x x x x x x
x x x x x x x x x 应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。

例19 x x x x x cos 3sin 2lim
+-∞
→
解：易见：该极限是“00
”型，但用洛比达法则后得到：x x x sin 3cos 21lim
--∞→，此极
限
不存在，而原来极限却是存在的。

正确做法如下：
原式=
x x x x x cos 3sin 21lim
+
-
∞→ （分子、分母同时除以x =31
（利用定理1和定理2） 6．连续性
定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0
x 是函数)(x f 的
定义去间内的一点，则有
)
()(lim 00
x f x f x x =→ 。

利用函数的连续性（定理6）求极限
例4 x
x e
x 122
lim →
解：因为
2
0=x 是函数x
e x x
f 1
2
)(=的一个连续点，所以 原式=e e 422
12
= 。

7．极限存在准则
定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。

四、利用单调有界准则求极限
首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。

例1. 设0>a ，),2,1(,,,1121 =+=+=+==+n x a x x a a a x a x n n
求极限n n x
∞→lim 。

定理8（准则2） 已知}
{,}{,}{n n n z y x 为三个数列，且满足：
（1）
)
,3,2,1(, =≤≤n z x y n n n （2） a
y n n =∞→lim ，a
z n n =∞
→lim
则极限∞→n n
x lim 一定存在，且极限值也是a ，即
a
x n n =∞
→lim 。

10. 夹逼定理
利用极限存在准则求极限 例20 已知
)
,2,1(,2,211 =+==+n x x x n n ，求n
n x ∞
→lim
解：易证：数列
}
{n x 单调递增，且有界（0<
n
x <2），由准则1极限n
n x ∞
→lim 存在，
设 a
x n n =∞→lim 。

对已知的递推公式
n
n x x +=+21两边求极限，得：
a a +=
2，解得：2=a 或1-=a （不合题意，舍去）
所以 2
lim =∞
→n n x 。

例21
)
1
2111
(
lim 2
2
2
n n n n n ++
+++
+∞
→ 解： 易见：
112
11
1
22222+<
++
+++
+<
+n n n
n n n n n n
因为
1
lim
2
=+∞
→n
n n n ，
1
1
lim
2
=+∞→n n n
所以由准则2得：1
)1
21
11
(
lim 2
2
2
=++
+++
+∞
→n n n n n 。

9. 洛必达法则与等价无穷小替换结合法 对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算，收到奇效。

12. 利用定积分的定义求极限法
积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。

8. 利用复合函数求极限。