高中数学课下能力提升二十四新人教A版必修68

课下能力提升(二十四)
[学业水平达标练]
题组1 化简求值 1．下列各式中，值为
3
2
的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 2
15°－sin 2
15° C ．2sin 2
15° D ．sin 2
15°＋cos 2
15° 2．设－3π<α<－5π
2，化简
1－cos （α－π）
2
的结果是( )
A ．sin α2
B ．cos α
2
C ．－cos α2
D ．－sin α
2
3．求值：sin 50°（1＋3tan 10°）－cos 20°
cos 80°1－cos 20°.
题组2 条件求值
4．若tan α＝3，则sin 2α
cos 2
α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
5．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )
A ．－34 B.34
C ．－43D.43
6．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2
α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )
A.
22B.3
3
C.2
D. 3
7．若1＋tan α1－tan α＝2 016，则1cos 2α＋tan 2α＝________．
8．已知π2<α<π，cos α＝－45
.
(1)求tan α的值；
(2)求sin 2α＋cos 2α的值． 题组3 倍角公式的综合应用
9．函数f (x )＝2cos 2
x ＋sin 2x 的最小值是________．
10．已知0<x <π2，sin 2x 2＋3sin x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋x 2＝－110，求tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值． [能力提升综合练]
1．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝26⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，则sin 2θ的值为( ) A.
23B.7
3 C.
76D.346
2．已知sin 2α＝23，则tan α＋1tan α等于( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．3 3．若θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )
A.35
B.4
5 C.74D.34
4．设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2
⎝
⎛⎭⎪⎫π2－x 满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＝f (0)，当x ∈
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，11π24时，f (x )的值域为( )
A ．[1，2]
B ．[2， 3 ]
C ．[3，2]
D ．[2，2]
5．等腰三角形一个底角的余弦值为2
3，那么这个三角形顶角的正弦值为________．
6．已知cos 2α＝1
3，π<2α<2π，求1＋sin α－2cos 2
α
23sin α＋cos α的值．
7．设函数f (x )＝53cos 2
x ＋3sin 2
x －4sin x cos x . (1)求f ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π12；
(2)若f (α)＝53，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，求角α.
答 案
[学业水平达标练]
1. 解析：选B cos 2
15°－sin 2
15°＝cos 30°＝32
. 2. 解析：选C 由于－3π<α<－5π
2，
所以－3π2<α2<－5π4，所以cos α2<0.
所以
1－cos （α－π）
2
＝
1＋cos α
2
＝⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
cos α2＝－cos α
2.
3. 解：∵sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°cos 10°＋3sin 10°
cos 10°
＝sin 50°2sin 40°
cos 10°
＝1，
cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 2
10°＝2sin 2
10°， ∴sin 50°（1＋3tan 10°）－cos 20°
cos 80°1－cos 20°
＝
1－cos 20°
2sin 2
10°
＝ 2. 4. 解析：选D
sin 2αcos 2α＝2sin αcos α
cos 2
α
＝2tan α＝2×3＝6. 5. 解析：选B 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12分子分母同时除以cos α，得tan α＋1tan α－1＝1
2，解
得tan α＝－3，
∴tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝3
4
. 6. 解析：选D 由已知得，sin 2α＋1－2sin 2
α＝14，
所以sin 2
α＝34
，
而α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝32，cos α＝12.
因此，tan α＝ 3.
7. 解析：1cos 2α＋tan 2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝（cos α＋sin α）
2
cos 2α－sin 2
α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α
1－tan α
＝2 016. 答案：2 016
8. 解：(1)因为cos α＝－45，π
2<α<π，
所以sin α＝3
5
，
所以tan α＝sin αcos α＝－3
4.
(2)sin 2α＝2sin αcos α＝－24
25.
cos 2α＝2cos 2
α－1＝725，
所以sin 2α＋cos 2α＝－
2425＋725＝－1725
. 9. 解析：f (x )＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，
∴f (x )的最小值为1－ 2. 答案：1－ 2
10. 解：∵sin 2
x 2＋3sin x
2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
π＋x 2
＝
1－cos x 2－3sin x 2cos x
2
＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝12－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6，
∴由已知得12－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－110，
∴sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝3
5.
∵0<x <π2
，
结合sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝3
5易知π6<x ＋π6<π2.
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝45，∴tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝3
4.
∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π61－tan 2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2×341－
916＝247. [能力提升综合练]
1. 解析：选B cos ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π4－θcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝26， 即cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－θ＝26
，
即12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝26， 所以cos 2θ＝
2
3
. 又因为0<θ<π
2，所以0<2θ<π，
所以sin 2θ＝
7
3
.故选B. 2. 解析：选D tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1
1
2
sin 2α＝3.
3. 解析：选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18
.
又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2
θ＝916，
所以sin θ＝3
4
.
4. 解析：选D f (x )＝a 2sin 2x －1＋cos 2x 2＋1－cos 2x
2
＝a
2
sin 2x －cos 2x ，
因为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＝f (0)，所以a ＝23， 所以f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6， x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，
11π24时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π3，3π4，f (x )∈[2，2]．故选D. 5. 解析：设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝2
3，
sin B ＝1－cos 2
B ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫232
＝53. 所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝45
9
. 答案：45
9
6. 解：原式＝sin α－cos α
3sin α＋cos α，
又∵cos 2α＝13，∴2cos 2
α－1＝13，
∴cos 2
α＝23，3π2<2α<2π，
∴3π
4<α<π，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－6
3，sin α＝3
3， ∴原式＝5＋42
7
.
7. 解：f (x )＝53cos 2
x ＋3sin 2
x －4sin x cos x ＝53cos 2
x ＋53sin 2
x －2sin 2x －43sin 2
x ＝53－2sin 2x －23(1－cos 2x ) ＝33－2sin 2x ＋23cos 2x ＝33－4⎝ ⎛
⎭⎪⎫sin 2x ×12－cos 2x ×32
＝33－4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)f ⎝
⎛⎭⎪⎫5π12＝33－4sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6
－π3
＝33－4sin π
2
＝33－4.
(2)由f (α)＝53，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝－32， 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得2α－π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，5π3，
∴2α－π3＝4π3，α＝5π
6
.。