江苏省五校2025届高三第二次联考数学试卷含解析

江苏省五校2025届高三第二次联考数学试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U =R ，集合{
}
2
21|{|}x
M x x x N x =≤=，＜，则U
M N =（ ）
A ．[]0,1
B ．(]0,1
C ．[)0,1
D ．(],1-∞
2．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．
13
B ．
23
C ．
33
D ．
23
3．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．
B ．
C ．1
D ．2
4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A 323
6π+ B ．836π
C 323163
π D ．16833
π
5．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件
6．函数()
sin x y x
-=
（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知函数()x f x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e
-
B ．14e
-
C ．1e
-
D ．2e
-
8．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>
B ．a b c >>
C ．b c a >>
D ．b a c >>
9．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用22()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）
A ．134
B ．866
C ．300
D ．500
10．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．
1
2
B ．5
C ．
52
D ．5
11．集合{|20}N A x x B =-≤=，，则A B =（ ）
A ．{}1
B ．{}1,2
C ．{}0,1
D ．{}0,1,2
12．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )
A ．10
B ．50
C ．60
D ．140
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知“在ABC ∆中，
sin sin sin a b c
A B C
==”，类比以上正弦定理，“在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 与平面ACD 所成的角为3π
、与平面BCD 所成的角为512π，则BCD ACD
S S ∆∆=________． 14．已知二项式22n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中第四项的系数__________．
15．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22
214
x y a -=(a ＞0)的一条渐近线方程为23y x =，则a ＝_______．
16．已知函数()eln 2x f x x =，()2
2x g x x m
=-，若函数()()()h x g f x m =+有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)，则
()()()1232f x f x f x ++的取值范围是_________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表：
（1）（i ）将22⨯列联表补充完整；
（ii ）据此列联表判断，能否有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？
（2）将频率视作概率，从该公司的所有人“运动达人”中任意抽取3个用户，求抽取的用户中女用户人数的分布列及期望. 附：
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
18．（12分）已知函数()1
ln f x x a x x
=
-+. （1）若()f x 在()0,∞+上为单调函数，求实数a 的取值范围：
（2）若32522
a ≤≤，记()f x 的两个极值点为1x ，2
x ，记()()1212f x f x x x --的最大值与最小值分别为M ，m ，求M m -的值.
19．（12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，其短半轴长为1，一个焦点坐标为(1,0)，点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥．
（1）证明：直线AB 与圆221x y +=相切；
（2）设AB 与椭圆C 的另一个交点为D ，当AOB 的面积最小时，求OD 的长． 20．（12分）已知函数4()ln (2)(1)x
f x a x x
-=+--. （1）当1a =时.
①求函数()f x 在(2,(2))f 处的切线方程； ②定义1241
()()(
)n n S f f f n n
n
-=++
+其中N n *∈，求2020S ； （2）当2a ≠时，设()
2
()()ln 4t x f x x x =--，1()x g x xe -=(e 为自然对数的底数)，若对任意给定的(]
00,x e ∈，在
(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0
()()i
t x g x =成立，求a 的取值范围.
21．（12分）如图，过点()2,2M 且平行与x 轴的直线交椭圆()2
202
x y m m +=>于A 、B 两点，且3AM MB =.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点M 且斜率为正的直线交椭圆于段C 、D ，直线AC 、BD 分别交直线2x =于点E 、F ，求证：11ME MF
-是定值.
22．（10分）（某工厂生产零件A ，工人甲生产一件零件A ，是一等品、二等品、三等品的概率分别为
111
,,424
，工人
乙生产一件零件A ，是一等品、二等品、三等品的概率分别为111
,,333
．己知生产一件一等品、二等品、三等品零件A
给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.
（1）试根据生产一件零件A 给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；
（2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A ，如果一方生产的零件A 品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A 品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．P i +4（i =-4，-3，-2，…，4）表示甲总分为i 时，最终甲获胜的概率． ①写出P 0，P 8的值； ②求决赛甲获胜的概率．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】
求出集合M 和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可． 【详解】
{}20121{|}|{|}{|}0x M x x x x x N x x x =≤=≤≤==，＜＜，
{}|0U
N x x =≥，
则{}011|]0[U
M
N x x =≤≤=，，
故选：A ． 【点睛】
本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题． 2、C 【解析】
试题分析：设AC BD 、的交点为O ，连接EO ，则AEO ∠为,AE SD 所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为a ，
则312
,,222AE a EO a OA a ===，所以222cos 2AE OA EO AEO AE OA +-∠=
⋅ 222
312()()()
3222331
2()()
22
a a a a a +-=
=⨯⋅，故C 为正确答案． 考点：异面直线所成的角． 3、C 【解析】
每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.
【详解】
每一次成功的概率为，服从二项分布，故
.
故选：. 【点睛】
本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4、B 【解析】
还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果. 【详解】
由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥
半个圆柱体积为：22111
23622V r h πππ=
=⨯⨯= 四棱锥体积为：211
43238333
V Sh ==⨯⨯⨯
原几何体体积为：12836V V V π=+= 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积. 5、A 【解析】
α，β是相交平面，直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β
或l ⊂平面β，即可判断出结论． 【详解】
解：已知直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，
反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，
∴ “l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件．
故选：A. 【点睛】
本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力． 6、A 【解析】
确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项． 【详解】 分析知，函数()
sin x y x
-=
（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ， 当x π=时，sin 0x
x
=，排除D ， 故选：A ． 【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论． 7、A 【解析】
求导得到'()x f x e =，根据切线方程得到ln b a a =，故2ln ab a a =，设()2
ln g x x x =，求导得到函数在120,e -⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上
单调递减，在12
e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min g x g e -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，计算得到答案.
【详解】
()x f x e b =+，则'()x f x e =，取0x e a =，()0a >，故0ln x a =，()0f x a b =+.
故(ln 1)a b a a +=+，故ln b a a =，2ln ab a a =.
设()2
ln g x x x =，()()'2ln 2ln 1g x x x x x x =+=+，取()'0g x =，解得1
2x e -=.
故函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min 1
2g x g e e -⎛⎫==- ⎪⎝⎭
. 故选：A . 【点睛】
本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 8、D 【解析】
因为0.080.08
log 0.042log 0.20.20a ===>=，0.30.3log 0.2log 10b =>=，
所以
0.20.211
log log 0.3a b ==且0.2log y x =在()0,∞+0.3< 所以11
a b
>，所以b a >，
又因为
1a =>=，0.0400.30.31c =<=，所以a c >，
所以b a c >>. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“0,1”比较大小. 9、A 【解析】
分析：设三角形的直角边分别为1.
解析：设三角形的直角边分别为12，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为
)
2
14=-
∴=.
∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000134≈.
故选：A.
点睛：应用几何概型求概率的方法
建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．
(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；
(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．
10、C
【解析】
试题分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根据复数相等的充要条件，有a＝－1
2
，b＝－1
所以|a＋bi|
2
，选C
考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模
11、D
【解析】
利用交集的定义直接计算即可.
【详解】
{}
|2
A x x
=≤，故{}
0,1,2
A B=，
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.
12、C
【解析】
从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为(0.050.01)50.3
+⨯=，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米
所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为15
20060
50
⨯=，故选C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
2
【解析】
类比，三角形边长类比三棱锥各面的面积，三角形内角类比三棱锥中侧棱与面所成角．
【详解】
5sin sin 312BCD
ACD S S ππ∆∆=
，故
sin
352sin 12BCD ACD S S π
π∆∆===，
【点睛】
本题考查类比推理．类比正弦定理可得，类比时有结构类比，方法类比等． 14、672- 【解析】
先令1x =可得其展开式各项系数的和，又由题意得2512n =，解得9n =，进而可得其展开式的通项，即可得答案. 【详解】
令1x =，则有2512n =，解得9n =，
则二项式22n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的通项为291831992()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-⋅， 令3r =，则其展开式中的第4项的系数为33
9(2)672C -=-， 故答案为：672- 【点睛】
此题考查二项式定理的应用，解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和，属于基础题. 15、3 【解析】
双曲线的焦点在x 轴上，渐近线为2
y x a =±，结合渐近线方程为23
y x =可求a . 【详解】
因为双曲线22
214
x y a -=(a ＞0)的渐近线为2y x a =±，且一条渐近线方程为23y x =，
所以3a =. 故答案为：3. 【点睛】
本题主要考查双曲线的渐近线，明确双曲线的焦点位置，写出双曲线的渐近线方程的对应形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
16、()11002⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
， 【解析】
先根据题意，求出()()()
h x g f x m =+的解得(),2
m
f x =
或()f x m =-，然后求出f(x)的导函数，求其单调性以及最值，在根据题意求出函数()()()
h x g f x m =+有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)，分情况讨论求出
()()()1232f x f x f x ++的取值范围.
【详解】
解：令t=f （x ），函数()()()
h x g f x m =+有3个不同的零点，
即()2
2t g t t m =
-+m=0有两个不同的解，解之得12,2m t t m ==- 即(),2m
f x =
或()f x m =- 因为()eln 2x
f x x
=的导函数
()()2
1ln (0)2e x f x x x
'-=
>，令()0f x '<，解得x>e ，()0f x '>，解得0<x<e ，
可得f （x ）在（0，e ）递增，在(),e +∞递减； f(x)的最大值为()1
2
f e = ，且()()0,;,0x f x x f x →→-∞→+∞→ 且f(1)=0；
要使函数()()()
h x g f x m =+有3个不同的零点，
（1）(),2
m
f x =
有两个不同的解，此时()f x m =-有一个解； （2）()f x m =-有两个不同的解，此时(),2
m
f x =有一个解
当(),2m
f x =有两个不同的解，此时()f x m =-有一个解，
此时11
,24
m m -==- ，不符合题意；
或是0,0m m -==不符合题意；
所以只能是01022m m -<⎧⎪
⎨<<⎪⎩
解得01m <<
()1f x m =-，()()23,2
m f x f x ==
此时()()()1232f x f x f x ++=-m ， 此时10m -<-<
()f x m =-有两个不同的解，此时(),2
m
f x =
有一个解 此时
1
,122m m == ，不符合题意； 或是0,02
m
m ==不符合题意；
所以只能是02
1
02m
m ⎧<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得102m -<<
()12
m
f x =
，()()23f x f x m ==- 此时()()()1232f x f x f x ++=m -，
102
m <-<
综上：()()()1232f x f x f x ++的取值范围是(
)11002⎛⎫
-⋃ ⎪⎝⎭，， 故答案为()11002⎛
⎫-⋃ ⎪⎝⎭
，
， 【点睛】
本题主要考查了函数与导函数的综合，考查到了函数的零点，导函数的应用，以及数形结合的思想、分类讨论的思想，属于综合性极强的题目，属于难题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）（i ）填表见解析（ii ）没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”（2）详见解析 【解析】
（1）(i)由已给数据可完成列联表，(ii)计算出2K 后可得；
（2）由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为2
7，ξ的取值为0,1,2,3，2~3,7B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，由二项分布
概率公式计算出各概率得分布列，由期望公式计算期望． 【详解】
解（1）（i ）
（ii ）由22⨯列联表得()2
10035261425 5.229 6.63560404951
k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯
所以没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”
（2）由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为2
7
，.
易知()33
225~3,,,0,1,2,3777k k
k B P k C k ξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
== ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以ξ的分布列为
6
01233433433433437
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】
本题考查列联表，考查独立性检验，考查随机变量的概率分布列和期望．属于中档题．本题难点在于认识到2
~(3,)7
B ξ． 18、（1）2a ≤；（2）ln
2
3
【解析】
（1）求导()222
111a x ax f x x x x
-+'=--+=-.根据()f x 单调，转化为2
10x ax -+≥对0x >恒成立求解 （2）由（1）知1x ，2x 是2
10x ax -+=的两个根，不妨设12x x <，令()
12
24
x t x a ===. 根据
522a ≤≤，确定1142t ≤≤，将
()()1212f x f x x x --转化为()()1212
f x f x x x -=-12ln 1t t t +-+-. 令()12ln 1t h t t t +=-+-，用导数法研究其单调性求最值. 【详解】
（1）()f x 的定义域为()0,∞+，
()222
11
1a x ax f x x x x -+'=--+=-
. 因为()f x 单调，所以210x ax -+≥对0x >恒成立， 所以1
,0a x x x
≤+>，恒成立， 因为1
2x x
+
≥，当且仅当1x =时取等号， 所以2a ≤；
（2）由（1）知1x ，2x 是210x ax -+=的两个根. 从而12
x x a +=，121=x x ，不妨设12x x <，
则()
12
24x t x a ===.
因为
5
22
a ≤≤，所以t 为关于a 的减函数，所以1142t ≤≤.
()()1212121212
ln ln 1
1f x f x x x a x x x x x x --=--+--
()
121212ln ln 1
22ln 1
x x t x x t x x t -+=-++=-+--.
令()1
2ln 1
t h t t t +=-+-，则()()
21
2ln 1t t t h t t --'=
-. 因为当2a =时，()1
2ln f x x x x
=
-+在()0,∞+上为减函数. 所以当1t <时，()1()2ln 10m x t t m t
=-+>=. 从而()0h t '<，所以()h t 在()0,1上为减函数.
所以当
5
22
a ≤≤时，11ln 2423M m h h ⎛⎫⎛⎫-=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
19、（1）见解析； （2【解析】
（1）分斜率为0，斜率不存在，斜率不为0三种情况讨论，设OA 的方程为y kx =，可求解得到2
2
2
22||12k
OA k
+=+，22||22OB k =+，可得O 到AB 的距离为1，即得证；
（2）表示AOB 的面积为2
1||||2S OA OB =⋅=，利用均值不等式，即得解.
【详解】
（1）由题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，且1b c ==，所以a =
所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=．
由点B 在直线y =OA OB ⊥知OA 的斜率必定存在，
当OA 的斜率为0时，||OA =||OB =
于是||2AB =，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆221x y +=相切．
当OA 的斜率不为0时，设OA 的方程为y kx =，与2212
x y +=联立得()
22
122k x +=，
所以22212A
x k =+，222212A k y k =+，从而22
2
22||12k OA k
+=+．
而OB OA ⊥，故OB 的方程为x ky =-，而B 在y x =， 从而22||22OB k =+，于是
22
11
1||||OA OB +=． 此时，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆221x y +=相切． 综上，直线AB 与圆221x y +=相切． （2）由（1）知，AOB 的面积为
2
2112
11
||||1
22
k
S OA OB
++⎛
=⋅===+，
上式中，当且仅当0
k=等号成立，所以AOB面积的最小值为1．
此时，点
A在椭圆的长轴端点，B为．
不妨设
A为长轴左端点，则直线AB的方程为y x
=
代入椭圆C的方程解得
D
y=，
即2
8
9
D
y=，2
2
9
D
x=，所以||
3
OD=
【点睛】
本题考查了直线和椭圆综合，考查了直线和圆的位置关系判断，面积的最值问题，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于较难题.
20、（1）①1
y=；②8079；（2）
3
,2
1
e
⎛⎤
-∞-
⎥
-
⎝⎦
.
【解析】
（1）①1
a=时，
4
()1
x
f x ln x
x
-
=+-，
2
2
44
()
4
x x
f x
x x
-+
'=
-
，利用导数的几何意义能求出函数()
f x在()
()
22
f,处的切线方程．
②由
4
()1
x
f x ln x
x
-
=+-，得()(4)2
f x f x
+-=，由此能求出
2020
128079
()()()
202020202020
S f f f
=++⋯+的值．
（2）根据若对任意给定的
(0
x∈，]e，在区间(0，]e上总存在两个不同的(1,2)
i
x i=，使得
()()
i
t x g x
=成立，得到函数()
t x在区间(0，]e上不单调，从而求得a的取值范围．
【详解】
（1）①∵1
a=，
4
()ln1
x
f x x
x
-
=+-
∴()ln(4)ln1,(04)
f x x x x x
=--+-<<
∴()
11
1
4
f x
x x
'=--+
-
，∴()20
f'=，∵()21
f=，
所以切线方程为1
y=.
②
4
()ln1
x
f x x
x
-
=+-，(4)ln41
4
x
f x x
x
-=+--
-
()(4)2,(04)
f x f x x
∴+-=<<.
令i x n =
，则()(4)2i i
f f n n
+-=,(1,2,,41)i n =-. 因为1221
()()(4)(4)n S f f f f n n n n =+++-+-①,
所以1221
(4)(4)()()n S f f f f n n n n
=-+-+++②,
由①+②得22(41)n S n =-,所以*
41,(N )n S n n =-∈.
所以20208079S =.
（2）111()(1)x x x g x e xe x e ---'=-=-，当(0,1)x ∈时，()0,g x '>函数()g x 单调递增； 当(]1,x e ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减∵()00g =，()11g =，()20e
g e e -=>
所以，函数()g x 在(]0,e 上的值域为(]0,1. 因为2a ≠，
2(2)()
22()2a x a t x a x
x
--
-'=--
= ，(]0,x e ∈
故202e a <
<-，2
2a e
<-，① 此时，当x 变化时()t x '、()t x 的变化情况如下：
∵0x →，()t x →+∞
222ln 22t a a a ⎛⎫
=- ⎪
--⎝⎭
，()()()212t e a e =--- ∴对任意给定的(]
00,x e ∈，在区间(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，
使得0()()i t x g x =成立，当且仅当a 满足下列条件
2()02()1t a
t e ⎧≤⎪-⎨⎪≥⎩，即22ln 02(2)(1)21a a a e ⎧
-≤⎪
-⎨⎪---≥⎩②③
令()22ln
2h a a a =--，2,2a e ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭，
2()12[ln 2ln(2)]122
a h a a a a ''=---=-
=--， 当(,0)a ∈-∞时，()0'>h a ，函数()h a 单调递增，当2(0,2)a e
∈-时，()0h a '<，函数()h a 单调递减所以，对任意
2(,2)a e ∈-∞-，有()(0)0h a h ≤=，即②对任意2
(,2)a e
∈-∞-恒成立.
由③式解得：3
2.1
a e ≤-
-④ 综合①④可知，当3,21a e ⎛⎤
∈-∞-
⎥-⎝⎦
时，对任意给定的(]00,x e ∈， 在[)0,e 上总存在两个不同的()1,2i x i =，使0()()i t x g x =成立. 【点睛】
本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件．不等式恒成立常转化为函数最值问题解决．
21、（1）22
12412
x y +=；
（2）证明见解析. 【解析】
（1）由题意求得,A B 的坐标，代入椭圆方程求得m ，由此求得椭圆的标准方程.
（2）设出直线CD 的方程，联立直线CD 的方程和椭圆方程，可得关于x 的一元二次方程，设出,C D 的坐标，分别
求出直线AC 与直线BD 的方程，从而求得,E F 两点的纵坐标，利用根与系数关系可化简证得11ME MF
-为定值. 【详解】
（1）由已知可得：()4,2A -，()4,2B 代入椭圆方程得：12m =
∴椭圆方程为22
12412
x y +=；
（2）设直线CD 的方程为()22y k x =-+，代入2
2
224x y +=，得：
()2
2
2128(1)816160k x
k k x k k ++-+--=
设()11,C x y ，()22,D x y ，则有()1228112k k x x k -+=+，2122
81616
12k k x x k
--=+ 则AC 的方程为()()112424k x y x x -=
+++，令
2x =，得()
116224
E k x y x -=++ BD 的方程为()()222424k x y x x -=
-+-，令2x =，得()
222224
F k x y x --=
+- ()()
1212441111
226222E F x x ME MF y y k x k x +-∴
-=-=----- ()()()()()()()()122112121212124234221032622624x x x x x x x x k x x k x x x x +-----++-==---++⎡⎤⎣⎦
()()222
2
22
8181616
2103212128181616
6241212k k k k k k k k k k k k k ----+-++=-⎡⎤---+⎢⎥++⎣⎦
222222
16323280803264482
723681616161648k k k k k k k k k k k k k -+++----===-⎡⎤---+++⎣⎦
，证毕. 【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是难题． 22、（1）乙的技术更好，见解析（2）①00P =，81P =；②1
2
【解析】
（1）列出分布列，求出期望，比较大小即可；
（2）①直接根据概率的意义可得P 0，P 8；②设每轮比赛甲得分为X ，求出每轮比赛甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得1-分的概率，可的11,11
33413n n n n P i P n P P -++=++=，可推出{}n P 是等差数列，根据0842
P P P +=可得答案. 【详解】
（1）记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为X 元、Y 元， 随机变量X ，Y 的分布列分别为
所以1111110524242EX =
⨯+⨯+⨯=，1111710523333
EY =⨯+⨯+⨯=， 所以EX EY <，即乙的技术更好
（2）①0P 表示的是甲得4-分时，甲最终获胜的概率，所以00P =， 8P 表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以81P =；
②设每轮比赛甲得分为X ，则 每轮比赛甲得1分的概率111111
(1)433233
P X ⎛⎫==
⨯++⨯= ⎪⎝⎭， 甲得0分的概率1111111(0)4323433
P X ==
⨯+⨯+⨯=， 甲得1-分的概率111111(1)234333
P X ⎛⎫=-=
⨯+⨯+= ⎪⎝⎭， 所以甲得(3,2,3)i i =--⋅⋅⋅时，最终获胜有以下三种情况：
（1）下一轮得1分并最终获胜，概率为4113
i P ++；
（2）下一轮得0分并最终获胜，概率为
41
3i P +； （3）下一轮得1-分并最终获胜，概率为4113
i P +-；
所以1111111
2,(2,3,4,5,6,7)333
n n n n n n n P P P P P P P n -+-+=
++⇒=+=， 所以{}n P 是等差数列， 则0841
22
P P P +=
=， 即决赛甲获胜的概率是1
2
. 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查数列递推关系的应用，是一道难度较大的题目.。