1.3 晶体学基础(空间点阵)

1.3 晶体学基础（空间点阵）金属及非金属材料在固态通常都是晶体，它们的许多特性都与其结晶状态有关。

因此，作为材料科学工作者，首先要熟悉晶体的特征及其描述方法。

本节将扼要地介绍晶体学的基础知识，包括以下几方面内容：(1)空间点阵及其描述、晶系和点阵类型。

(2)晶体取向的解析描述：晶面和晶向指数。

(3)晶体中原子堆垛的几何学，堆垛次序，四面体和八面体间隙。

熟练地掌握以上内容，关键是要多练习、多应用。

以上内容不仅是学习材料课程的基础，也是学习其他许多专业课程（如X射线衍射、电子衍射、固体物理等）的基础。

因此，要求学生对这些内容，能掌握得非常透彻、非常熟练。

一、晶体与非晶体1 晶体的定义物质的质点(分子、原子或离子)在三维空间作有规律的周期性重复排列所形成的物质叫晶体。

图1 金属及其他许多材料的长程有序排列2 非晶体非晶体在整体上是无序的，但原子间也靠化学键结合在一起，所以在有限的小范围内观察还有一定规律，可将非晶体的这种结构称为近程有序。

图 2 水蒸气的短程有序玻璃的短程有序3 晶体的特征（1）周期性固态物质按其原子或分子的聚集状态可分为两大类，一类是晶体，另一类是非晶体。

晶体的一个基本特征就是其中的原子或原子集团都是有规律地排列的，这个规律就是周期性，即不论沿晶体的哪个方向看去，总是相隔一定的距离就出现相同的原子或原子集团。

这个距离也称为周期。

显然，沿不同的方向有不同的周期。

非晶体不具有上述特征。

在非晶体中原子（或分子、离子）无规则地堆积在一起。

液体和气体都是非晶体。

在液体中，原子也处于相对紧密聚集的状态，但不存在长程的周期性排列。

对于金属液体的结构，我们在学习后面的内容时将会有进一步的了解。

固态的非晶体实际上是一种过冷状态的液体，只是它的物理性质不同于通常的液体。

玻璃是一个典型的固态非晶体，所以，往往将非晶态的固体称为玻璃态。

（2）有固定的凝固点和熔点晶体还有一些其他的特点。

例如，从液体到固态晶体的转变是突变的，有一定的凝固点和熔点；而从液体到非晶态固体的转变是逐渐过渡的，没有明显的凝固点和熔点。

（3）各向异性另外，沿着晶体的不同方向所测得的性能通常是不同的，这称为各向异性或异向性。

这些性能可以是晶体的导电性、导热性、热膨胀性、弹性、强度、光学性质等等。

晶体的异向性是因其原子的规则排列而造成的。

通常，非晶体是各向同性的。

表1列出几种常见金属单晶体沿不同方向测得的力学性能。

表1 单晶体的各向异性4 晶体与非晶体的区别：a.根本区别：质点是否在三维空间作有规则的周期性重复排列。

b.晶体熔化时具有固定的熔点,而非晶体无明显熔点,只存在一个软化温度范围。

c. 晶体具有各向异性，非晶体呈各向同性。

5 晶体与非晶体的转化非晶体在一定条件下可以转化为晶体。

例如，玻璃经高温长时间加热后能形成晶态玻璃。

而通常呈晶体的物质如果将它从液态快速冷却下来也可能得到非晶态。

对金属来说，因其晶体结构比较简单，很难阻止其结晶过程，通常得不到非晶态固体，只有通过采用特殊的制备方法，才可以获得非晶态的金属和合金。

二、空间点阵1 空间点阵、阵点实际晶体中，质点在空间的排列方式是多种多样的，为了便于研究晶体中原子、分子或离子的排列情况，近似地将晶体看成是无错排的理想晶体，忽略其物质性，抽象为规则排列于空间的无数几何点。

这些点代表原子(分子或离子)的中心，也可是彼此等同的原子群或分子群的中心，各点的周围环境相同。

这种点的空间排列称为空间点阵，简称点阵，这些点叫阵点。

既然点阵只是表示原子或原子集团分布规律的一种几何抽象，那么，每个结点就不一定代表一个原子。

就是说，可能在每个结点处恰好有一个原子，也可能围绕每个结点有一群原子（原子集团）。

但是，每个结点周围的环境（包括原子的种类和分布）必须相同，亦即点阵的结点都是等同点。

将构成晶体的实际质点（原子、离子、分子）抽象成纯粹的几何点称为阵点。

阵点在空间呈周期性规则排列，并具有等同的周围环境的模型。

2 晶胞从点阵中取出一个仍能保持点阵特征的最基本单元叫晶胞，如图3所示。

在空间点阵中，能代表空间点阵结构特点的小平行六面体。

整个空间点阵可由晶胞作三维的重复堆砌而构成。

3 晶格将阵点用一系列平行直线连接起来，构成一空间格架叫晶格。

显然晶胞作三维堆砌就构成了空间点阵。

作许多平行的直线把阵点连接起来，构成一个三维的几何格架称为晶格。

图 3 空间点阵及晶胞图4是三维空间点阵，它是一个在三维空间内的阵列，由表示原子或原子集团排列规律的几何点（结点）所构成。

可以设想用直线将各结点连接起来，这样就形成了一个空间网络，这种空间网络称为晶格。

显然，在某一空间点阵中，各结点在空间的位置是一定的，而通过结点所作的空间网络则因直线的取向不同可有多种形式。

因此，必须强调指出，结点是构成空间点阵的基本要素。

图4 三维空间点阵示意图4 空间点阵和实际晶体结构之间的关系图5表示的是空间点阵和实际晶体结构之间的关系。

图中的图5(a)和图5(b)都是二维正方点阵，但二者的晶体结构是不同的，因为围绕每个结点的原子分布不同。

同样，图中的图5(c)和图5(d)都是长方点阵，但二者的结构也不同，图5(e)则是菱形点阵。

图5 二维点阵和晶体结构三、晶胞、晶系和点阵类型1 晶胞的选取原则：（1）晶胞几何形状能够充分反映空间点阵的对称性；（2）平行六面体内相等的棱和角的数目最多；（3）当棱间呈直角时，直角数目应最多；（4）满足上述条件，晶胞体积应最小。

空间点阵具有周期性和重复性，图4所示的空间点阵可以看成是由最小的单元——平行六面体沿三维方向重复堆积（或平移）而成，这样的平行六面体称为晶胞。

2 描述晶胞的六参数晶胞的尺寸和形状可用点阵参数来描述，它包括晶胞的各边长度和各边之间的夹角（图6）。

晶胞的三条棱AB、AD和AE的长度就是点阵沿这些方向的周期，这三条棱就称为晶轴。

图6 晶胞示意图事实上，采用三个点阵矢量a，b，c来描述晶胞是很方便的。

这三个矢量不仅确定了晶胞的形状和大小，而且完全确定了此空间点阵。

只要任选一个结点为原点，以这三个矢量作平移（即平移的方向和单位距离由点阵矢量所规定），就可以确定空间点阵中任何一个结点的位置：r uvw = u a + v b + w c式中r uvw为从原点到某一阵点的矢量，u，v，w分别表示沿三个点阵矢量的平移量，亦即该阵点的坐标值。

3 不同的晶体的差别既然任何晶体的晶胞都可以看成是平行六面体，那么不同的晶体的差别在哪里？差别有两点：(1)不同晶体的晶胞，其大小和形状可能不同。

(2)围绕每个结点的原子种类、数量及分布可能不同。

4 七种晶系晶胞的大小显然取决于AB，AD和AE这三条棱的长度a，b和c，而晶胞的形状则取决于这些棱之间的夹角α，β和γ。

我们把a，b，c，α，β和γ这6个参量称为点阵常数或晶格常数。

按照晶胞的大小和形状的特点，也就是按照6个点阵常数之间的关系和特点，可以将各种晶体归于如表2所示的7种晶系。

5 14种布拉菲点阵由7种晶系可以形成多少种空间点阵呢？这就取决于每种晶系可以包含多少点阵，或者说，有多少种可能的结点分布方式。

为了回答这个问题，我们的基本出发点是：点阵的结点必须是等同点。

由于晶胞的角隅、6个外表面的中心（面心）以及晶胞的中心（体心）都是等同点，故乍看起来，似乎每种晶系包括4种点阵，即简单点阵、底心点阵、面心点阵和体心点阵。

这样看来，7种晶系总共似乎可以形成4×7=28种点阵。

然而，如果将这28种点阵逐一画出，就会发现，从对称性的角度看，其中有些点阵是完全相同的。

真正不同的点阵只有14种布拉菲点阵，如图7所示。

按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，最先是布拉菲（A. Bravais）用数学方法证明了只能有14种空间点阵。

通常人们所说的点阵就是指布拉菲点阵。

表2 7种晶系°≠=====(a)简单三斜点阵(b)简单单斜点阵(c)底心单斜点阵(d)简单正交点阵(e)底心正交点阵(f)体心正交点阵(g)面心正交点阵(h)六方点阵(i)菱方(或三角)点阵(j) 简单正方(或四方)点阵(k) 体心正方(或四方)点阵(l) 简单立方点阵(m) 体心立方点阵(n) 面心立方点阵图7 7种晶系的14种空间点阵如果在某种晶胞的底心、面心或体心放置结点而形成一种“新”的点阵，那么这个“新”点阵必然包含在14种点阵中，或者可以连成14种点阵中的某一种，且不改变对称性。

下面举两个例子。

体心单斜点阵是不是一个新的点阵？从图8可知，体心单斜点阵晶胞为ABCD-EFHG。

通过重新连接结点，可以连成底心单斜点阵，其晶胞为JABD-KEFG。

因而体心单斜点阵不是新的点阵。

(a)(b)图8 体心单斜点阵可以连成底心单斜点阵在简单六方点阵晶胞上、下底面的中心分别添加结点后是否形成一个新的点阵——底心六方点阵？图9 在简单六方点阵上、下底面添加结点后形成简单单斜点阵（大圆是原有的结点，小圆是新加的结点）空间点阵虽然只可能有14种，但晶体结构则是无限多的。

这是因为空间点阵的每个阵点上，都可放上一个“结构单元”，这个结构单元可以由各种原子、离子、分子或原子集团，分子集团所组成，由于“结构单元”是任意的，故晶体结构为无限多。

Cu，NaCl，CaF2具有不同的晶体结构，但都是属于面心立方点阵，如图10所示。

NaCl结构中，每个阵点，包含一个Na+和一个Cl-。

而CaF2可看成每阵点包含两个F-和一个Ca2+。

图10 具有相同点阵的晶体结构四原胞1 原胞体积最小的晶胞通常称为原胞。

布拉菲点阵的原胞只含一个结点，故原胞的体积就是一个结点所占的体积。

2 原胞与晶胞的关系图11和图12分别画出了fcc和bcc点阵的原胞，以及它和晶胞的关系。

从图看出，fcc 和bcc的晶胞都是高度对称的立方体，但体积则不是最小。

fcc晶胞的体积（a3）是4个结点所占的体积，而bcc晶胞的体积（a3）是两个结点所占的体积。

它们的原胞都只包含一个结点，故fcc和bcc的原胞体积分别为a3/4和a3/2。

可见原胞的体积的确是最小，但却没有反映立方点阵的对称性。

图11 bcc的原胞与晶胞的关系图12 fcc的原胞与晶胞的关系密排六方晶体的晶胞和原胞见图13。

从图看出，为了反映点阵的6次旋转对称，需选取六棱晶胞（六角棱柱）。

它包含两个整原胞和两个“半原胞”，即相当于三个原胞的体积，每个原胞包含一个结点（两个原子），每个晶胞则包含三个结点。

如果在晶胞中同时给出原子位置，就得到“结构胞”，因为它是晶体结构的最小单元。

但习惯上人们往往把结构胞也称为晶胞，就是说，晶胞可以是点阵的最小单元，也可以是晶体结构的最小单元，应视上下文而定。

(a)(b)图13 密排六方晶体的晶胞和原胞关系图从图13看，每个原胞中包含两个原子，每个晶胞中包含6个原子。