2021年广东省广州市绿翠中学高一数学理月考试卷含解析

2021年广东省广州市绿翠中学高一数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数满足，且，，则下列等式不成立的
是
（▲）
A B C D
参考答案：
B
略
2. 设，若3是与的等比中项，则的最小值为（）.
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
由3是与的等比中项，可得，再利用不等式知识可得的最小值.
【详解】解：3是与的等比中项，，
，
=，
故选C. 【点睛】本题考查了指数式和对数式的互化，及均值不等式求最值的运用，考查了计算变通能力.
3. 已知(x，y)在映射下的象是(x＋y，x－y)，则象(1,7)在f下的原象为()
A．(8，－6 )B．(4，－3) C．(－3，4) D．(－6，8)
参考答案：
B
4. 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则
A. 8
B. 4
C. 2
D. 1
参考答案：
C
5. α是第四象限角，，则sinα=（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号．
【解答】解：∵α是第四象限角，
∴sinα=，
故选B．
【点评】已知某角的一个三角函数值，求该角的其它三角函数值，应用平方关系、倒数关系、商的关系，这是三角函数计算题中较简单的，容易出错的一点是角的范围不确定时，要讨论．
6. 函数是（）
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
参考答案：
A
略
7. 在中，的取值范围是 ( )
A B C D
参考答案：
A
略
8. 若函数，又，且的最小值为，则正数的值是（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
因为函数，因为，的小值为，即，那么可知ω=.
9. （5分）已知角α的终边经过点P（0，﹣4），则tanα=（）
A．0 B．﹣4 C． 4 D．不存在
参考答案：
D
考点：任意角的三角函数的定义．
专题：三角函数的求值．
分析：根据三角函数的定义进行求解即可．
解答：∵角α的终边经过点P（0，﹣4），
∴α=270°，
此时tanα不存在，故选：D
点评：本题主要考查三角函数值的求解，根据三角函数的定义是解决本题的关键．比较基础．
10. 若a=2, b=3, A=30°, 则此△ABC解的情况是（）
A. 一解
B. 两解
C. 至少一解
D. 无解
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 点C是线段AB的中点，则
参考答案：
-2
12. 已知=﹣1，则tanα=
．
参考答案：
【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．
【分析】利用同角三角函数基本关系式，化简表达式为正切函数的形式，然后求解即可．
【解答】解： =﹣1，
可得：，
解得tanα=．
故答案为：；
13. 已知，则的值是_____________。

参考答案：
解析：，
14. 请写出“好货不便宜”的等价命题：．
参考答案：
便宜没好货
【考点】四种命题．
【分析】写出原命题的逆否命题，可得答案．
【解答】解：“好货不便宜”即“如果货物为好货，则价格不便宜”，
其逆否命题为：“如果价格便宜，则货物不是好货”，
即“便宜没好货”，
故答案为：便宜没好货
15. （2016?南通模拟）已知集合A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，则A∩B=．
参考答案：
{x|﹣1≤x＜1}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合．
【分析】由集合A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，集合B={x|x＜1}，
∴A∩B={x|﹣1≤x＜1}，
故答案为：{x|﹣1≤x＜1}
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
16. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是1、、，则此三棱锥的外接球的表面积是____________．
参考答案：
6π
17. 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是．
参考答案：[]．
【考点】直线与平面平行的性质．
【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．
【解答】解：如下图所示：
分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，
∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，
∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，
∴A1N∥AE，又A1N?平面AEF，AE?平面AEF，
∴A1N∥平面AEF，
又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，
∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，
则P必在线段MN上，
在Rt△A1B1M中，A1M===，
同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，
∴△A1MN为等腰三角形，
当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，
A1O===，
A1M=A1N=，
所以线段A1P长度的取值范围是[]．
故答案为：[]．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
已知在递增等差数列{a n}中，，是和的等比中项.
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若，S n为数列{b n}的前n项和，求的值.
参考答案：
解：（1）由为等差数列，设公差为，则.
∵是和的等比中项，
∴，即，解之，得（舍），或.……………………4分∴.……………………………………………6分
（2）.……………………………………………9分
.……………12分
19. 设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且，．（1）求数列的通项公式；
（2）若，n=1，2，3，…，为数列的前项和．求证：．
参考答案：略
20. 如图，直三棱柱中，、分别是棱、的中点，点在棱上，已知
，，．
（1）求证：平面；
（2）设点在棱上，当为何值时，平面平面？
参考答案：
解：（1）连接交于，连接．
因为CE，AD为△ABC中线，
所以O为△ABC的重心，．
从而OF//C1E．………………………………………………3分
OF面ADF，平面，
所以平面．…………………………………………6分
（2）当BM=1时，平面平面．
在直三棱柱中，
由于平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面ABC．
由于AB=AC，是中点，所以．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，
所以AD平面B1BCC1．
而CM平面B1BCC1，于是AD CM．…………………9分
因为BM =CD=1，BC= CF=2，所以≌，所以CM DF．…11分
DF与AD相交，所以CM平面．
CM平面CAM，所以平面平面．………………………13分
当BM=1时，平面平面．…………………………………14分
21. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

（I）
写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=；
（II）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天）
参考答案：
解析：（I）由图一可得市场售价与时间的函数关系为
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
，
（II）设时刻的纯收益为，则由题意得
，
即
当时，配方整理得
，
所以，当=50时，取得区间上的最大值100；
当时，配方整理得
，
所以，当时，取得区间上的最大值87.5；
综上，由100>87.5可知，在区间上可以取最大值100，此时，，即从
二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。

22. （14分）一个三棱柱的三视图及直观图如图所示，E，F，G分别是A1B，B1C1，AA1的中点，AA1⊥底面ABC．
（1）求证：B1C⊥平面A1BC1；
（2）求证：EF∥平面ACC1A1；
（3）在BB1上是否存在一点M，使得GM+MC的长最短．若存在，求出这个最短值，并指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案：
考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）利用直三棱柱的性质，只要证明B1C垂直与平面A1BC1的两条相交直线；（2）连接A1C，AC1交于点O，连接OE，利用中位线的性质得到四边形OEFG为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得；
（3）在BB1上存在一点M，使得GM+MC的长最短．通过勾股定理求得．
解答：（1）证明：∵AA1⊥平面ABC，AA1∥CC1，
∴CC1⊥平面ABC，
∴CC1⊥AC，∵AC⊥BC，
∴AC⊥平面BC，…（2分）
∵AC∥A1C1，
∴A1C1⊥平面BC，
∴A1C1⊥B1C…（3分）
又B1C⊥BC1，A1C1∩BC1=C1，
∴B1C⊥平面A1BC1…（5分）
（2）连接A1C，AC1交于点O，连接OE…（6分）
由题意可得，O为A1C中点，
因为E为A1B中点，∴OE∥并且OE=
因为F为C1B1的中点中点，∴，
∴OE∥C1F，OE=C1F
∴四边形OEFG为平行四边形…（8分）
∴FE∥OC1…（9分）
∵FE?平面ACC1A1，OC1?平面ACC1A1，
∴FE∥平面ACC1A1…（10分）
（3）在BB1上存在一点M，使得GM+MC的长最短，此时沿CC1展开，时G，M，C在一条直线上．最短值为GC=
此时BM=…（14分）
点评：本题考查了直三棱柱的性质、线面平行的判定定理以及线段最短问题，属于中档题．。