2017年高考数学(鲁、京、津(文理科))考前抢分必做：高考大题纵横练(一)含解析

高考大题纵横练
高考大题纵横练(一)
1．已知函数f（x）＝2sin ωx（0〈ω〈1）在0，错误!］上的最大值为错误!，当把f（x)的图象上的所有点向右平移φ（0〈φ〈错误!)个单位后，得到图象对应函数g(x)的图象关于直线x＝错误!对称．（1）求函数g(x)的解析式；
（2)在△ABC中,三个内角A,B，C的对边分别为a，b,c，已知g（x)在y轴右侧的第一个零点为C,若c ＝4，求△ABC的面积S的最大值．
解(1)由题意知，函数f（x)在区间0，错误!］上单调递增，
∴2sin 错误!＝错误!,
∴ωπ
2＝2kπ＋错误!，k∈Z，
得ω＝4k＋1
2，k∈Z。

经验证当k＝0时满足题意,故求得ω＝错误!, ∴g(x）＝2sin（错误!x－错误!），
故错误!×错误!－错误!φ＝kπ＋错误!，k∈Z，∴φ＝－2kπ＋错误!，k∈Z，又0<φ〈错误!,
∴φ＝错误!。

故g(x)＝2sin(错误!－错误!)．
（2)根据题意，得x
2－错误!＝kπ，k∈Z，
∴x＝2kπ＋错误!，k∈Z，∴C＝错误!.
又c＝4，得16＝a2＋b2－2ab cos 错误!，∴a2＋b2＝16＋错误!ab≥2ab，
∴ab≤32＋163，
∴S＝错误!ab sin C＝错误!ab≤8＋4错误!，∴S的最大值为8＋4错误!。

2．如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB＝BC＝错误!CP＝2，D是CP中点,将△P AD 沿AD折起，使得PD⊥底面ABCD.
（1)求证：平面P AD⊥平面PCD；
（2)若E是PC的中点，求三棱锥A—PEB的体积．
（1)证明∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AD。

又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD⊥CD.
又PD∩CD＝D,故AD⊥平面PCD,
∵AD⊂平面P AD,
∴平面P AD⊥平面PCD。

（2）解∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，
AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC，
∴点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离．
又∵PD＝DC,E是PC的中点，
∴PC⊥DE，由（1）知AD⊥平面PCD，
∴AD⊥DE.
故BC⊥DE.
又∵PC∩BC＝C，∴DE⊥平面PBC。

又∵AD⊥平面PCD，∴AD⊥CP，∴PC⊥BC，
∴S
△PEB ＝错误!S
△PBC
＝错误!×（错误!×BC×PC）＝错误!,
V A—PEB＝V D-PEB＝错误!×DE×S△PEB＝错误!.
3．已知数列｛a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2＋n（n∈N＊)，数列｛a n｝满足a n＝4log2b n＋3（n∈N*)．(1)求a n，b n；
（2)求数列{a n·b n｝的前n项和T n.
解（1）由S n＝2n2＋n,得a1＝S1＝3；
当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝4n－1.
又a1＝3也适合上式．
所以a n＝4n－1，n∈N＊，
由4n－1＝a n＝4log2b n＋3，得b n＝2n－1,n∈N*.
（2）由(1)知a n b n＝(4n－1）2n－1，n∈N*.
所以T n＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1）2n－1，
所以2T n＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5）2n－1＋(4n－1）2n,
所以2T n－T n＝(4n－1）2n－3＋4（2＋22＋…＋2n－1）］
＝(4n－5)2n＋5。

故T n＝（4n－5）2n＋5，n∈N*.
4．某城市100户居民的月平均用电量(单位：度),以160,180），180,200)，200,220）,220,240）,240，260），260,280），280,300]分组的频率分布直方图如图．
（1)求直方图中x的值;
（2）求月平均用电量的众数和中位数;
（3)在月平均用电量为220，240），240,260),260,280），280，300］的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220，240）的用户中应抽取多少户？
解（1) 由(0。

002＋0.009 5＋0。

011＋0。

012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1,得x＝0。

007 5，所以直方图中x的值是0。

007 5.
(2)月平均用电量的众数是错误!＝230.
因为(0。

002＋0。

009 5＋0.011）×20＝0。

45〈0。

5，
所以月平均用电量的中位数在220,240）内,设中位数为a，
由(0。

002＋0。

009 5＋0。

011)×20＋0。

012 5×(a－220)＝0.5，
得a＝224，所以月平均用电量的中位数是224。

（3）月平均用电量为220，240）的用户有0。

012 5×20×100＝25（户),月平均用电量为240,260）的用户有0.007 5×20×100＝15（户)，月平均用电量为260，280)的用户有0。

005×20×100＝10（户),月平均用电量为280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5(户)，抽取比例＝错误!＝错误!，所以月平均用电量在220,240）的用户中应抽取25×错误!＝5（户）.
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b〉0)上不同的三点，A(3错误!，错误!)，B(－3，－3），C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上．
（1)求椭圆的标准方程；
(2）求点C的坐标；
（3）设动点P在椭圆上(异于点A，B，C）且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明错误!·错误!为定值并求出该定值．
解(1）由已知，得错误!解得错误!
∴椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1.
（2)设点C(m，n)（m〈0,n〈0)，
则BC中点为(错误!，错误!）．
由已知,求得直线OA的方程为x－2y＝0,
从而m＝2n－3.①
又∵点C在椭圆上，∴m2＋2n2＝27。

②
由①②，解得n＝3(舍),n＝－1，从而m＝－5。

∴点C的坐标为（－5，－1)．
(3）设P（x0,y0)，M（2y1，y1)，N(2y2，y2)．
∵P，B，M三点共线,∴错误!＝错误!，
整理得y1＝错误!.
∵P,C，N三点共线，∴错误!＝错误!，
整理得y2＝错误!。

∵点P在椭圆上，∴x错误!＋2y错误!＝27，x错误!＝27－2y错误!.
从而y1y2＝错误!
＝错误!＝3×错误!＝错误!.
∴错误!·错误!＝5y1y2＝错误!,
∴错误!·错误!为定值，定值为错误!。

6．已知函数f（x)＝x＋a ln x在x＝1处的切线与直线x＋2y＝0垂直，函数g（x)＝f（x)＋错误!x2－bx。

（1)求实数a的值;
（2)若函数g(x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；
（3）设x1，x2 (x1〈x2）是函数g(x）的两个极值点，若b≥错误!,求g(x1)－g（x2）的最小值．
解(1)∵f(x)＝x＋a ln x，∴f′（x)＝1＋错误!,
∵切线与直线x＋2y＝0垂直,
∴f′（1）＝1＋a＝2,∴a＝1。

(2）∵g（x）＝ln x＋错误!x2－（b－1）x(x>0)，
g′(x)＝错误!＋x－（b－1）＝错误!.
设μ（x)＝x2－（b－1)x＋1，则μ(0)＝1〉0只需
错误!⇒错误!⇒b>3。

∴b的取值范围为（3，＋∞)．
(3）令g′（x）＝0，则x2－(b－1）x＋1＝0，
∴x1＋x2＝b－1，x1x2＝1。

g（x1）－g(x2）＝ln 错误!＋错误!(x错误!－x错误!)－（b－1)(x1－x2）
＝ln x1
x2＋错误!（x错误!－x错误!)－(x1＋x2）(x1－x2）
＝ln x1
x2－错误!错误!＝ln错误!－错误!（错误!－错误!)，
设t＝x1
x2，∵0<x1<x2，∴0<t〈1，
又∵错误!⇒错误!＝(b－1）2，
得t＋错误!＋2≥（错误!－1）2＝错误!，
∴4t2－17t＋4≥0,∴0<t≤错误!。

令h(t）＝ln t－错误!（t－错误!）(0<t≤错误!)，h′（t）＝错误!－错误!（1＋错误!)＝－错误!〈0，
∴h(t)在(0，1
4]上单调递减，h（t)≥h(错误!)＝错误!－2ln 2。

故g(x1）－g(x2）的最小值为错误!－2ln 2。