秦皇岛市数学高二下期末复习题(含答案)

一、选择题
1．已知,a b 是单位向量，且,a b 的夹角为3
π
，若向量c 满足22c a b -+=，则||c 的最大值为（ ）
A
．2
B ．2
C 2
D 2
2．已知3
sin 34
x π⎛⎫-= ⎪
⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1
8
-
B ．12
-
C ．
18
D ．
12
3．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足BM 2MA =，则CM CA ⋅=( )
A B ．C ．6 D ．
152
4．已知π(,π)2
α∈，π1
tan()47
α+=，则sin cos αα+= （ ） A ．17
-
B ．25-
C ．15
-
D ．
15
5．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若
3,4
4ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，且3sin 45
πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
，则0x 的值为( )
A B C ．D ．
6．在锐角ABC 中，4sin 3cos 5,4cos 3sin A B A B +=+=C 等于（ ）
A ．150
B ．120
C ．60
D ．30
7．已知a R ∈，则“cos 02πα⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
”是“α是第三象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3
个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为 A ．2 B ．1 C ．
1
2 D ．
14
9．设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足
3,2BM MC DN NC ==，则AM NM ⋅=（ ）
A ．20
B ．15
C ．9
D ．6
10．已知向量(3,4),(sin ,cos )a b αα==，且//a b ，则tan α=（ ） A ．
34
B ．34
-
C ．
43
D ．43
-
11．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值是( ) A ．1
B ．2
C ．
D ．
12．已知是12,e e ，夹角为60︒的两个单位向量，则12a e e =+与122b e e =-的夹角是( ) A ．60︒
B ．120︒
C ．30
D ．90︒
13．已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωφπ=+>><的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )
A ．2sin 24y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
B ．2sin 24y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
或32sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
C ．32sin 24
y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
D ．32sin 24
y x π⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
14．已知4
sin 5
α，并且α是第二象限的角，那么tan()απ+的值等于 A ．43-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
15．如图，在ABC ∆中，23AD AC =
，1
3
BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则=λμ( )
A ．3-
B ．3
C ．2
D ．2-
二、填空题
16．已知向量,a b 满足：43a b +=，232a b -=，当7a b -取最大值时，a b
=
______．
17．设F 为抛物线x 2=8y 的焦点，点A ，B ，C 在此抛物线上，若FA FB FC 0++=，则
FA FB FC ++=______．
18．实数x ，y 满足2
2
3412x y +=，则2x 的最大值______．
19．函数()2
1
1
sin
sin (0)222
x f x x ωωω=+->，若函数()f x 在区间x ∈(),2ππ内没有零点，则实数ω的取值范围是_____
20．已知ABC ∆，4AB AC ==，2BC =，点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连结
CD ，则cos BDC ∠=__________．
21．已知向量()1,3a =-，()3,b t =，若a b ⊥，则2a b +=__________． 22．已知3(
,),sin 2
5π
απα∈=
，则tan()4
π
α-=___________ . 23．已知△ABC 是半径为5的圆O 的内接三角形，且4
tan 3
A =
，若(,)AO x AB y AC x y R =+∈，则x y + 的最大值是__________．
24．为得到函数2y sin x =的图象,要将函数24y sin x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象向右平移至少__________个单位. 25．已知已知sin π3
(
)25
α+=，α∈π(0,)2，则sin(π＋α)等于__________
三、解答题
26．已知向量a =(cosωx ，﹣cosωx )，(3b =sinωx ，cosωx )(ω>0)，函数f (x )a =•b ，若函数f (x )的最小正周期为23
π
. （1）求ω的值； （2）当x ∈[0，
2
π
]时，求函数f (x )的值域. 27．已知向量()11,2e =与()24,2e =是平面上的一组基向量. （1）设向量()1,4v =-，试用向量1e 与2e 表示v ；
（2）设t 是实数，向量()6,b t =，设b 与1e 的夹角为α，b 与2e 的夹角为β.若αβ=，求t 的值.
28．2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物
中选择2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.
(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率； (2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由； (3)甲同学发现，其物理考试成绩y (分)与班级平均分x (分)具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.
参考数据: 7
21
34840i
i x ==∑，7
21
50767i
i y ==∑，7
1
41964i i i x y ==∑，
7
1
()()314i
i
i x x y y =--=∑.
参考公式：y bx a =+，1
1
2
2
21
1
()()()
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y n x y
b x x x
n x
====---⋅⋅=
=
--⋅∑∑∑∑，a y b x =-⋅(计算
a b ，时精确到0.01).
29．已知α∈,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭，且sin 2α ＋cos 2α ＝62
(1)求cos α的值； (2)若sin(α－β)＝－
35 ，β∈,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
，求cos β的值． 30．已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为坐标原点，准线方程为1x =-，直线l 与抛物线相交于不同的A 、B 两点． （1）求抛物线的标准方程；
（2）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值；
（3）如果4OA OB ⋅=-，直线l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
2．C
3．D
4．C
5．C
6．D
7．B
8．B
9．C
10．A
11．C
12．B
13．C
14．A
15．B
二、填空题
16．【解析】【分析】根据向量模的性质可知当与反向时取最大值根据模长的比例关系可得整理可求得结果【详解】当且仅当与反向时取等号又整理得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量模长的运算性质关键是能够确定模长取
17．6【解析】【分析】由题意可得焦点F（02）准线为y＝﹣2由条件可得F是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p＝4焦点F（02）准线为y＝﹣2由于故F是三角形ABC的重心设AB
18．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy满足即设则又由则即的最大值5；故答案为：5点睛：本题考查三角函数
的化简求值关键是用三角函数表示xy
19．【解析】分析：先化简函数f(x)再求得再根据函数在区间内没有零点得到不等式组最后解不等式组即得w的范围详解：由题得f(x)=因为所以当或时f(x)在内无零点由前一式得即由k=0得K取其它整数时无解同
20．【解析】取中点中点由题意中又所以故答案为
21．【解析】【分析】【详解】故答案为
22．【解析】∵∴∴∴故答案为
23．【解析】延长AO与BC相交于点D作OA1∥DA2∥ABOB1∥DB∥AC设(m>0n>0)易知
x>0y>0则∴又BDC三点共线∴∴只需最小就能使x+y最大∴当OD最小即可过点O作
OM⊥BC于点M从而
24．【解析】函数的解析式：则要将函数的图象向右平移至少个单位点睛：由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0ω＞0)(x∈R)的图象要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序
25．【解析】由题意得
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
不妨设(1,0)a =，13
(,
22
b =，(,)
c x y =，则2(,c a b x y -+=+，所以
22(2c a b x -+=+=，即22(4x y +=，点(,)x y 在以(0,为圆
心，2为半径的圆上，所以2c x =+2+．故选B ．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】 分析题目，2222333x x x ππππ⎛⎫
⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，得到角的关系，利用诱导公式和二倍角公式计算即可 【详解】
3sin 34x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2cos 2cos 2cos 2333x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
2
2
231cos 2cos 212sin 1233348
x x x πππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--=--=---=--⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
选C 【点睛】
本题考查利用二倍角公式和诱导公式求三角函数值，发现角的关系是解题关键
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
结合题意线性表示向量CM ，然后计算出结果 【详解】 依题意得：
121211215
)333333333232
CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．
【点睛】
本题考查了向量之间的线性表示，然后求向量点乘的结果，较为简单
解析：C 【解析】 【分析】
由两角和的正切公式得出3
sin cos 4αα=-，结合平方关系求出43cos ,sin 55
αα=-=，即可得出sin cos αα+的值. 【详解】
1tan 1tan 41tan 7πααα+⎛
⎫+== ⎪-⎝⎭
3tan 4
α∴=-，即3
sin cos 4αα=-
由平方关系得出2
23cos cos 14αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
，解得：43cos ,sin 55αα=-=
341
sin cos 555
αα+=
-=- 故选：C 【点睛】
本题主要考查了两角和的正切公式，平方关系，属于中档题.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可． 【详解】
3,44ππα⎛⎫
∈
⎪⎝
⎭
， ,42π
παπ⎛⎫∴+
∈ ⎪⎝⎭
， 3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos 45πα⎛
⎫∴+=- ⎪⎝
⎭，
则0cos cos cos cos sin sin 444444x ππππππαααα⎡⎤
⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫==+
-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦
4355=-=， 故选C ． 【点睛】
本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．
解析：D 【解析】 【分析】
由题：()()2
2
4sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=，两式相加即可求出
sin()A B +，进而求出A B +，角C 得解.
【详解】
由题：()()2
2
4sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=，
2216sin 24sin cos 9cos 25A A B B ++=，
2216cos 24cos sin 9sin 12A A B B ++=，两式相加得：
()1624sin cos cos sin 937A B A B +++=，
1sin()2A B +=
，所以1
sin sin(())2
C A B π=-+=，且C 为锐角， 所以30C =. 故选：
D 【点睛】
此题考查同角三角函数基本关系与三角恒等变换综合应用，考查对基本公式的掌握和常见问题的处理方法.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】 先化简“cos 02πα⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
”，再利用充要条件的定义判断. 【详解】
因为cos 02πα⎛⎫
+> ⎪⎝⎭
，所以-sin 0,sin 0,ααα>∴<∴是第三、四象限和y 轴负半轴上
的角.
α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角不能推出α是第三象限角，
α是第三象限角一定能推出α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角，
所以“cos 02πα⎛⎫
+>
⎪⎝⎭
”是“α是第三象限角”的必要非充分条件. 故答案为：B. 【点睛】
(1)本题主要考查充要条件的判断和诱导公式，考查三角函数的值的符号，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法.
解析：B 【解析】 将函数y =2sin （ωx +
π6）（ω>0）的图象向右移2π3
个单位后，可得y =2sin （ωx –2π3ω+π6）的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，∴–2π3ω+π6=kπ+π
2，k ∈Z ，即ω=–31
–22
k ，∴当k =–1时，ω取得最小值为1，故选B ． 9．C
解析：C 【解析】 【分析】 根据图形得出
3344AM AB BC AB AD =+
=+,22
33
AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2
()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.
【详解】
因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,
∴根据图形可得:33
44
AM AB BC AB AD =+
=+, 22
33
AN AD DC AD AB =+
=+, NM AM AN ∴=-,
2
()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,
2
2
239
216
AM AB AB AD AD =+⋅+,
22233
342
AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅,
6,4AB AD ==， 2213
1239316
AM NM AB AD ∴⋅=
-=-=， 故选C.
本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.
考点：向量运算.
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
直接利用向量平行的充要条件列方程求解即可. 【详解】
由//a b 可得到sin 3
4sin 3cos 0tan cos 4
ααααα-=⇒==. 故选A 【点睛】
利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用
12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：由于
垂直，不妨设
，
，
，则
，
，
表示
到原点的距离，表示圆心
，
为半径的圆，因此
的最大值
，故答案为
C ．
考点：平面向量数量积的运算．
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
求出||,||,a b a b ⋅，根据向量夹角公式，即可求解. 【详解】
2
22
2
2
121122||()2a a e e e e e e ==+=+⋅+ 022cos 603,||3a =+⨯=∴=
222
22121122||(2)44b b e e e e e e ==-=-⋅+ 054cos 603,||3b =-⨯==，
1212()(2)a b e e e e ⋅=+⋅-
2201122321cos602
e e e e =-⋅-=--=-，
设,a b 的夹角为1
,cos 2||||
a b a b θθ⋅=
=-，
20,3
π
θπθ≤≤∴=
. 故选:B, 【点睛】
本题考查向量的夹角、向量的模长、向量的数量积，考查计算能力，属于中档题.
13．C
解析：C 【解析】 【分析】
由图观察出A 和T 后代入最高点，利用φπ<可得ϕ，进而得到解析式． 【详解】
由图象可知2A =，因为884
π
ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 所以T π=，2ω=. 当8
x π
=-
时，2sin 228πφ⎛⎫
-
⋅+= ⎪⎝⎭
， 即sin 14πφ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，又φπ<， 解得34πφ=.故函数的解析式为32sin 24y x π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
. 故选C. 【点睛】
本题考查由()y sin A x ωϕ=+的部分图象确定函数表达式，属基础题．
14．A
解析：A 【解析】 【分析】
由诱导公式可得()tan tan παα+=，由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．即可得到答案
【详解】 ∵4sin 5α=，并且α是第二象限的角，，3
5cos α∴-＝ ， ∴tanα＝43-，则么()4tan tan 3
παα+==-. 故选A ． 【点睛】
本题考查给值求值问题．掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．
15．B
解析：B 【解析】 ∵21,33AD AC BP BD =
∴=121
()393
AD AB AC AB -=- ∴22
39
AP AB BP AB AC =+=
+ 又AP AB AC λμ=+，∴22,,339λ
λμμ
=== 故选B.
二、填空题
16．【解析】【分析】根据向量模的性质可知当与反向时取最大值根据模长的比例关系可得整理可求得结果【详解】当且仅当与反向时取等号又整理得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量模长的运算性质关键是能够确定模长取
解析：1
8
【解析】 【分析】
根据向量模的性质可知当23a b -与4a b +反向时，7a b -取最大值，根据模长的比例关系可得()()
32324a b a b -=-+，整理可求得结果. 【详解】
()()
72342345a b a b a b a b a b -=--+≤-++=
当且仅当23a b -与4a b +反向时取等号
又
43
2
23a b
a b
+=
- ()()
32324a b a b ∴-=-+
整理得：8a b =
18
a b ∴= 本题正确结果：18
【点睛】
本题考查向量模长的运算性质，关键是能够确定模长取得最大值时，两个向量之间的关系，从而得到两个向量之间的关系.
17．6【解析】【分析】由题意可得焦点F （02）准线为y ＝﹣2由条件可得F 是三角形ABC 的重心可得2由抛物线的定义可得【详解】由题意可得p ＝4焦点F （02）准线为y ＝﹣2由于故F 是三角形ABC 的重心设AB
解析：6 【解析】 【分析】
由题意可得 焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由条件可得F 是三角形ABC 的重心，可得
2123
3
y y y ++=
， 由抛物线的定义可得 结果． 【详解】
由题意可得 p ＝4，焦点F （0，2），准线为 y ＝﹣2，由于 0FA FB FC ++=， 故F 是三角形ABC 的重心，设 A 、B 、C 的纵坐标分别为 y 1，y 2，y 3， ∴2123
3
y y y ++=
，∴y 1+y 2+y 3＝6． 由抛物线的定义可得 FA FB FC ++=（y 1+2）+（y 2+2）+（y 3+2）＝12． 故答案为12． 【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到 y 1+y 2+y 3＝6，是解题的关键．
18．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy 满足即设则又由则即的最大值5；故答案为：5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy
解析：【解析】
分析：根据题意，设2cos x θ=，y θ=，则有24cos 3sin x θθ+=+，进而分
析可得()25sin x θα+=+，由三角函数的性质分析可得答案．
详解：根据题意，实数x ，y 满足2
2
3412x y +=，即22
143
x y +=，
设2cos x θ=，y θ=，
则()24cos 3sin 5sin x θθθα=+=+，3tan 4α⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 又由()15sin 1θα-≤+≤，
则525x -≤≤，
即2x +的最大值5； 故答案为：5．
点睛：本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示x 、y ．
19．【解析】分析：先化简函数f(x)再求得再根据函数在区间内没有零点得到不等式组最后解不等式组即得w 的范围详解：由题得f(x)=因为所以当或时f(x)在内无零点由前一式得即由k=0得K 取其它整数时无解同
解析：][1
150,,8
48⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦
【解析】
分析：先化简函数
f(x) )4
wx π
=
-,再求得(,2),444wx w w πππππ-∈--再根据函
数()f x 在区间x ∈ (),2ππ内没有零点得到不等式组，最后解不等式组即得w 的范围. 详解：由题得
f(x)=
1cos 1111sin sin cos )2222224
wx wx wx wx wx π
-+-=-=-, 因为x ∈ (),2ππ，所以(,2),4
44
wx w w π
π
π
ππ-∈-
-
当(,2)(2,2),44
w w k k k z π
π
πππππ-
-⊆+∈或
(,2)(2,2),44
w w k k k z π
π
πππππ-
-⊆-∈时，f(x)在(),2ππ内无零点，由前一式得 24,224k w w k πππππππ⎧≤-⎪⎪⎨
⎪-≤+⎪⎩
即152,48k w k +
≤≤+由k=0得15
48
w ≤≤， K 取其它整数时无解，同理，由后一式，解得1
(0,]8
w ∈， 综上，w 的取值范围是][1150,
,848⎛⎤
⋃ ⎥
⎝⎦
. 点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答
本题的关键有两点，其一是分析得到当(,2)(2,2),44
w w k k k z π
π
πππππ-
-⊆+∈或(,2)(2,2),44
w w k k k z ππ
πππππ-
-⊆-∈时，f(x)在(),2ππ内无零点，其二是进一步
转化得到不等式组解不等式组. 20．【解析】取中点中点由题意中又所以故答案为
【解析】
取BC 中点,E DC 中点F ，由题意,AE BC BF CD ⊥⊥，
cos BDC sin DBF ∠=∠,ABE ∆中，1cos 4BE ABC AB ∠=
=，1
cos 4
DBC ∴∠=-，又
21cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=
，所以cos BDC ∠=，
故答案为
4
. 21．【解析】【分析】【详解】故答案为
解析：【解析】 【分析】 【详解】
()330,1,21,7252a b a b t t a b a b ⊥⇒⋅=-+==+=+=，
，故答案为
22．【解析】∵∴∴∴故答案为 解析：7-
【解析】 ∵3,,sin 25παπα⎛⎫
∈=
⎪⎝⎭
∴4
cos 5α=- ∴3
tan 4
α=-
∴tan 1tan 741tan πααα
-⎛⎫
-
==- ⎪
+⎝
⎭ 故答案为7-
23．【解析】延长AO 与BC 相交于点D 作OA1∥DA2∥ABOB1∥DB∥AC 设(m>0n>0)易知x>0y>0则∴又BDC 三点共线∴∴只需最小就能使x+y 最大∴当OD 最小即可过点O 作OM⊥BC 于点M 从而
解析：5
8
【解析】
延长AO 与BC 相交于点D ,作OA 1∥DA 2∥AB ,OB 1∥DB ∥AC ，
设AD mAB nAC =+ (m >0,n >0)，易知x >0，y >0， 则
m n AD x y AO
==， ∴AD AD
AD x AB y AC AO AO
=⋅
⋅+⋅⋅， 又B , D , C 三点共线,∴1AD AD
x y AO AO
⋅
+⋅=， ∴
1
1AO x y OD AD AO
+=
=
+，
只需
OD
AO
最小，就能使x +y 最大， ∴当OD 最小即可，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，从而OD ⩾OM ， 又∠BOM =∠BAC =θ,由4tan 3
A =得3cos 5OM O
B θ==，
∴OM =3， 那么
153
815
x y
+=
+.
故答案为
58
. 24．【解析】函数的解析式：则要将函数的图象向右平移至少个单位点睛：由y
＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0ω＞0)(x ∈R)的图象要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序
解析：
8
π 【解析】 函数的解析式：sin 2sin 248y x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
则要将函数24y sin x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移至少
8
π
个单位. 点睛：由y ＝sin x 的图象，利用图象变换作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)(x ∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是
ϕ
ω
个单位． 25．【解析】由题意得
解析：4
-5
【解析】 由题意得3π44cos ,(0,)sin ,sin(π)sin 5255
ααααα=∈∴=+=-=-
三、解答题 26．
（1）3
2（2）12⎡⎤⎢⎥⎣
⎦， 【解析】 【分析】
（1）先结合向量数量积公式和二倍角公式（降幂公式）化简，由辅助角公式可得
()1sin 262f x x πω⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，结合周期公式即可求解；
（2）由02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，43663x πππ⎥⇒⎡⎤
-∈-⎢⎣⎦，，结合函数图像性质即可求解值域；
【详解】
（1）23f x a b sin x cos x cos x ωωω=⋅=
⋅-（）1222
cos x
x ωω+=
-
1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭，∵ω>0，f (x )的最小正周期为23π
，∴2223ππω=，∴32ω=；
（2）由（1）知，()1
sin 362f x x π⎛
⎫=-
- ⎪⎝
⎭，∵02x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，∴43663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，
∴sin 316x π⎡⎤⎛
⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴f (x )的值域为12⎡⎤⎢⎥⎣
⎦，. 【点睛】
本题考查三角函数解析式的化简求值，求正弦型三角函数在给定区间的值域，属于基础题
27．
（1）123v e e =-；（2）6t =. 【解析】 【分析】
（1）设12v e e λμ=+，根据平面向量的坐标运算建立λ和μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结果；
（2）由cos cos αβ=结合平面向量夹角余弦值的坐标运算可得出关于t 的等式，即可解出实数t 的值. 【详解】
（1）设12v e e λμ=+，则()()1,44,22λμλμ-=++，即41
224λμλμ+=-⎧⎨
+=⎩
，解得
3
1λμ=⎧⎨=-⎩
， 因此，123v e e =-； （2）根据题意，11
2cos 5b e b e α⋅=
=
⋅⋅22
cos 25b e b e β⋅=
=
⋅
α
β=，=
，可得2612t t +=+，解得6t =.
【点睛】
本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查了利用平面向量的夹角相等求参数，考查运算求解能力，属于基础题.
28．
（1）
1
4；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】
(1)列出基本事件的所有情况，然后再列出满足条件的所有情况，利用古典概率公式即可得到答案.
(2)计算平均值和方差，从而比较甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科；
（3）先计算x 和y ，然后通过公式计算出线性回归方程，然后代入平均值50即可得到答案. 【详解】
(1)记物理、历史分别为12,A A ，思想政治、地理、化学、生物分别为1234,,,B B B B ， 由题意可知考生选择的情形有{}112,,A B B ，{}113,,A B B ，{}114,,A B B ，{}123,,A B B ，
{}124,,A B B ，{}134,,A B B ，{}212,,A B B ，{}213,,A B B ，{}214,,A B B ，{}223,,A B B ，{}224,,A B B ，{}234,,A B B ，共12种
他选到物理、地理两门功课的满情形有{}{}{}112123124,,,,,,A B B A B B A B B ，共3种
∴甲同学选到物理、地理两门功课的概率为31
124
P =
= (2)物理成绩的平均分为76828285879093
857
x ++++++==物理
历史成绩的平均分为69768082949698
857
x ++++++=
=历史
由茎叶图可知物理成绩的方差2s
<物理
历史成绩的方差2s 物理
故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分的情况来看，应选择历史学科(答对一点即可) (3)57+61+65+72+74+77+84
707
x =
=，85y =,
7
172221741964770853140.5834840770540ˆ7i i i i i x y x y b x x ==-⋅⋅-⨯⨯∴===≈-⨯-⋅∑∑ 850.587044.ˆ0ˆ4a
y b x =-⋅=-⨯≈ y ∴关于x 的回归方程为0.58+44.40y x =
当50x =时，0.5850+44.4073y =⨯≈,当班级平均分为50分时，其物理考试成绩为73分 【点睛】
本题主要考查古典概型，统计数的相关含义，线性回归方程的计算，意在考查学生的阅读理解能力，计算能力和分析能力，难度不大.
29．
（1
）cos α=;（2）cos β=
【解析】
试题分析：(1)把已知条件平方可得sin α＝12,再由已知α∈,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
,可得cos α的值.
(2)由条件可得－
2π<α－β<2π, cos(α－β)＝4
5
,再根据cos β＝cos[α－(α－β)],利用两角和差的余弦公式,运算求得结果.
试题解析： (1)已知sin 2
α
＋cos
2
α
，两边同时平方， 得1＋2sin 2αcos 2α＝32 ，则sin α＝1
2
. 又
2π<α<π，所以cos α
(2)因为
2π<α<π，2π <β<π，所以－2π<α－β<2
π. 又sin(α－β)＝－35 ，所以cos(α－β)＝45 . 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－2 ×45 ＋12 ×35⎛⎫- ⎪⎝⎭ ＝－310
. 点睛: 本题考查的是三角函数式化简中的给值求值问题，看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分β=[α－(α－β)，从而正确使用公式；由条件可得－
2π<α－β<2π, cos(α－β)＝45
,再根据cos β＝cos[α－(α－β)],利用两角和差的余弦公式,运算求得结果.
30． （1）24y x =;（2）∴12123OA OB x x y y ⋅=+=-;（3）(2,0)．
【解析】
【试题分析】（1）借助题设与已知条件待定抛物线的参数即可；（2）依据题设条件，建立直线方程与抛物线方程联立方程组，运用向量的坐标形式求解：（3）先假设存在，再运用所学知识分析探求．
（1）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为1x =-， 所以12
p =，2p =． ∴抛物线的标准方程为24y x =．
（2）设l ：1my x =-，与24y x =联立，得2440y my --=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，∴124y y m +=，124y y =-，
∴()
()212121212113OA OB x x y y m y y m y y ⋅=+=++++=-． （3）解：假设直线l 过定点，设l ：my x n =+与24y x =联立，得2
440y my n -+=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，∴124y y m +=，124y y n =．
由()
()2221212414OA OB m y y mn y y n n n ⋅=-=+-++=+，解得2n =-， ∴l ：2my x =-过定点()2,0．
点睛：本题的设置旨在考查抛物线的标准方程与直线与抛物线的位置关系等基础知识与基本方法的综合运用．求解第一问时，直接借助题设条件求出参数p 的值使得问题获解；解答第二问时，将直线方程与抛物线方程联立，借助向量的坐标形式的数量积公式求解，使得问题获解；第三问的求解则借助坐标之间的关系建立方程推得直线过定点，使得问题获解．。