1.1集合的概念与表示第1课时集合的概念课件-高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

D.2
[解析] 对于A，当a = 1时，a2 = 1，2 − a = 1，不满足题意；
对于B，当a = −2时，a2 = 4，不满足题意；
对于C，当a = −1时，a2 = 1，2 − a = 3，满足题意；
对于D，当a = 2时，a2 = 4，不满足题意.故选C.
课中探究
（2）已知集合A中含有两个元素1和a2 ，若a ∈ A，求实数a的值．
究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，也深深影
响了现代哲学和逻辑.
备课素材
1.集合概念的疑难点
（1）对于集合我们一定要从整体的角度来看待它;
（2）构成集合的对象必须是确定的且不同的;
（3）元素与集合的关系是“属于”或“不属于”关系.
备课素材
2.集合中元素三个性质的主要作用
（1）确定性的主要作用是判断指定的一组对象能否组成集合，其关键在于能否
BD
)
A.所有接近于0的数可以组成一个集合
B.所有正方体可以组成一个集合
C.未来世界的所有高科技产品可以组成一个集合
D.不大于3的所有自然数可以组成一个集合
[解析] “所有接近于0的数”和“未来世界的所有高科技产品”不是确定的，不可以
组成一个集合，故A，C错误；
“所有正方体”和“不大于3的所有自然数”是确定的，可以组成一个集合，
解：由题意可知，a = 1或a2 = a.
①若a = 1，则a2 = 1，这与a2 ≠ 1相矛盾，故a ≠ 1.
②若a2 = a，则a = 0或a = 1（舍去），
又当a = 0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．
综上可知，实数a的值为0.
课中探究
变式（1）
若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这
当a = 2时， a + 3 = 5，当a = −4时， a + 3 = 1.又∵ 5 ∉ B，∴ a = −4.
课中探究
［素养小结］
（1）对于求集合中字母参数的问题，常根据集合中元素的确定性得出字母的所
有可能取值,再利用集合中元素的互异性进行检验.
（2）在利用集合中元素的特性解题时常用分类讨论思想,注意分类的标准要明确.
集合，故A正确；
对于B，“ 2的所有近似值”不是确定的，不可以组成一个集合，故B错误；
对于C，“某个班级中学习成绩较好的所有学生”不是确定的，
不可以组成一个集合，故C错误；
对于D，“不等式3x − 10 < 0的所有正整数解”是确定的，可以组成一个集合，
故D正确.故选AD.
课中探究
变式
（多选题）下列说法中正确的是(
课中探究
（2）已知集合A是由形如m + 3n（其中m,n ∈ ）的数组成的,则下列属于集
①②
合A的数是______.（填序号）
①2 − 3；②5；③
1
3π
；④
3+4
2
+ 1.
[解析] 2 − 3中,m = 2,n = −1,符合条件;
5 = 5 + 3 × 0中,m = 5,n = 0,符合条件;
解：∵ 集合A中有三个元素a − 3，2a − 1，a2 + 1，−3 ∈ A，∴ a − 3 = −3或
2a − 1 = −3，解得a = 0或a = −1.
当a = 0时，A的元素是：−3，−1，1，成立；
当a = −1时，A的元素是：−4，−3，2，成立.∴ a的值为0或−1.
备用习题
（2）若x 2 ∈ B，求实数x的值.
所以a与b是不同的班.
课中探究
探究点一 集合的概念
例1
（多选题）[2024·天津南开区高一期中] 下列给出的对象可以组成一个集
合的有(
AD
)
A.某校2024年入学的全体高一年级新生
B. 2的所有近似值
C.某个班级中学习成绩较好的所有学生
D.不等式3x − 10 < 0的所有正整数解
课中探究
[解析] 对于A,“某校2024年入学的全体高一年级新生”是确定的，可以组成一个
对象
元
一个集合.集合中的每一个______称为该集合的元素,简称____.
2.常用数集及表示符号
名称 非负整数集（或自然数集）
记法

___
正整数集
∗ 或+
________
整数集
有理数集
实数集

___

___

___
课前预习
3.元素与集合的关系
关系
概念
a是集合A的元素
属于 如果________________，那么就说a属于集合A
个四边形可能是(
A
A.梯形
B.平行四边形
)
C.菱形
D.矩形
[解析] 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故组成的四边形的四条边都不相等.
（2）设A表示由a2 + 2a − 3,2,3组成的集合，B表示由2， a + 3 组成的集合，
−4
若5 ∈ A且5 ∉ B，则a的值为_____．
[解析] ∵ 5 ∈ A，∴ a2 + 2a − 3 = 5，解得a = 2或a = −4.
解：∵ 集合B中有三个元素0，1，x，x 2 ∈ B，∴ x 2 = 0或x 2 = 1或x 2 = x,解得
x = 0或x = 1或x = −1.
当x = 0或x = 1时，不满足集合中元素的互异性；
当x = −1时，B中的元素是：0，1，−1，成立.∴ 实数x的值为−1.
故B，D正确.故选BD.
课中探究
［素养小结］
判断一组对象能组成集合的条件是能找到一个明确的标准，使得对于任何一个
对象，都能确定它是不是给定集合的元素.
课中探究
探究点二 元素与集合的关系
例2（1）
设不等式3 − 2x < 0的解组成的集合为M，下列正确的是(
A.0 ∈ M,2 ∈ M
B.0 ∉ M,2 ∈ M
1
4− 3
4
3
4
1
=
= − 中,m = ,n = − ,不符合条件;
3+4
13
13
13
13
13
3π
π
+ 1中,m = 1,n = ,不符合条件.故属于集合A的数的序号是①②.
2
2
课中探究
变式（1）
用符号“∈ ”或“∉ ”填空：若A表示第二、四象限的角平分线上的
∈ ， 1,1 ____A
∉ ， −3,3 ___A.
a不是集合A的元素
不属 如果__________________，那么就说a不属于
于
集合A
记法
读法
a∈A
______
a属于A
a∉A
______或
a不属于
a ∈ A
A
__________
确定性
互异性
无序性
4.集合中元素的三个特性为________、________、________.
课前预习
【诊断分析】
课前预习
2.某中学高一年级10个班组成一个集合A.
（1）高一（2）班、高二（8）班是集合A中的元素吗？
解：因为集合A是由高一年级10个班组成的，所以高一（2）班是集合A中的元
素，高二（8）班不是集合A中的元素.
（2）若a ∈ A，b ∈ A，则元素a，b有什么关系？为什么？
解：a，b是高一年级10个班中两个不同的班.因为集合A中的元素具有互异性，
数学文化
康托尔是19世纪末20世纪初德国的伟大数学家、集合论的创立者，是数学
史上最富有想象力、最具有争议的人物之一.19世纪末，他所从事的关于连续性
和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起
了激烈的争论乃至严厉的谴责，然而数学的发展最终证明康托尔是正确的.他所
创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研
C.0 ∈ M,2 ∉ M
B
)
D.0 ∉ M,2 ∉ M
[解析] 从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M之间的关系，因此只需判断0
和2是否是不等式3 − 2x < 0的解即可.
当x = 0时，3 − 2x = 3 > 0，所以0不属于M，即0 ∉ M；
当x = 2时，3 − 2x = −1 < 0，所以2属于M，即2 ∈ M.
备用习题
利用集合中元素的特性解决与方程有关的问题
集合与方程有着密切联系,利用集合中元素的特性,即元素的互异性,可以求出集
合中的参数的值.
例
[2024·重庆杨家坪中学高一期中] 已知集合A中有三个元素a − 3，2a − 1，
a2 + 1，集合B中也有三个元素0，1，x.
（1）若−3 ∈ A，求实数a的值；
1.1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念
【学习目标】
1.能结合具体实例认识和识别，知道什么是集合，对于给出的一些例子，
会判断哪些事物可以组成集合，哪些不能组成集合.
2.能在具体的情境中判断元素与集合的关系.
课前预习
知识点 集合的定义及元素
确定的、不同的
1.集合与元素的概念:一般地,一定范围内某些________________对象的全体组成
②③
的是______.（填序号）
①能被2整除的数；②能被6整除的数；③能被−3整除的数；④能被5整除的数.
[解析] 能被2整除的数不一定能被3整除，能被6整除的数一定能被3整除，能被
−3整除的数一定能被3整除，能被5整除的数不一定能被3整除，所以一定是集
合M的元素的是②③.
课中探究
［素养小结］
判断一个元素是不是某个集合中的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集
合的元素的共同特性．
课中探究
拓展
设集合M满足：①2 ∉ M；②若x ∈ M，则
2
2−x
1 4
−2， ， ，3
必含有的元素是_____________.
2 3
2
2−3
[解析] 由3 ∈ M，得
1
2
2
由 ∈ M，得
4
3
2
2− −2
= −2 ∈ M；由−2 ∈ M，得
4
3
2
∈ M；由 ∈ M，得
1 =
2−2
找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的
元素，即组成集合的元素必须是确定的.
（2）互异性的主要作用是提示我们求出结果后要检验.特别是题中含有参数时，
一定要检验求出的参数是否使集合中元素满足互异性.
（3）无序性的主要作用是方便定义集合相等.当两个集合相等时，其元素不一
定依次对应相等.
∈ M.已知3 ∈ M，则M中
4
2−3
1
2
4
3
所以M中必含有的元素是−2， ， ，3.
= 3 中探究
探究点三 集合中元素的特性
例3（1）
[2024·石家庄一中高一月考]由a2 ,2 − a，4组成一个集合A，且A中含
有3个元素，则实数a的取值可以是(
A.1
B.−2
C
)
C.−1
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）平面上到点O的距离等于1的点的全体可以组成一个集合．( √ )
[解析] “平面上到点O的距离等于1的点的全体”是确定的，能够组成集合.
（2）苏教版必修第一册课本上所有的难题能够组成一个集合．( × )
[解析] “苏教版必修第一册课本上所有的难题”不是确定的，不能组成集合.
∈
点的集合，则点 0,0 ____A
[解析] 第二、四象限的角平分线上的点的集合可以用直线y = −x表示，
显然 0,0 ， −3,3 都在直线y = −x上， 1,1 不在直线y = −x上，所以 0,0 ∈ A，
1,1 ∉ A， −3,3 ∈ A.
课中探究
（2）由所有能被3整除的数组成的集合为M，则下列数中一定是集合M的元素