河北省石家庄市正定县弘文中学2013届高三数学上学期期中试题 文(解析版)新人教A版

河北省石家庄市正定县弘文中学2013届高三（上）期中数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）复数的共轭复数是（）
A．B．C．﹣i D．i
考
点：
复数代数形式的混合运算．
专
题：
计算题．
分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．
解
答：
解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．
故选C
点
评：
本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型．
2．（5分）设集合A={1，2，a}，B={1，a2}，若A∪B=A，则实数a的可能取值有（）A．2个B．3个C．4个D．5个
考
点：
并集及其运算．
专
题：
计算题．
分析：根据并集的意义，由A∪B=A得到集合B中的元素都属于集合A，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，经过检验得到满足题意a值的个数．
解答：解：由A∪B=A，得到a2=2或a2=a，解得：a=，a=0或a=1，
而a=1时，不合题意，舍去，
则实数a的可能取值有3个．
故选B
点评：此题考查了并集的意义，以及集合中元素的特点．集合中元素有三个特点，即确定性，互异性，无序性．学生做题时注意利用元素的特点判断得到满足题意的a的值．
3．（5分）命题p：任意的x∈R，使x7+7x＞0，则¬p是（）
A．∃x
0∈R，使≥0B．∃x
0∈R，使≤0
C．∀x∈R，使x7+7x≥0D．∀x∈R，使x7+7x≤0
考
点：
全称命题；命题的否定．
专
题：
计算题．
分
析：
全称命题，其否定为特称命题，写出特称命题即可得到选项．
解答：解：根据题意，命题p：任意的x∈R，使x7+7x＞0，这是全称命题，其否定为特称命题，
即∃x0∈R，使≤0，
故选B．
点评：本题考查了“含有量词的命题的否定”，属于基础题．解决的关键是看准量词的形式，根据公式合理更改，同时注意符号的书写．
4．（5分）若，则当x＞1时，a，b，c的大小关系式（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
考
点：
对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．
专
题：
计算题．
分
析：
通过x＞1，推出a，b，c的取值范围，然后比较大小．
解
答：解：因为x＞1，，所以c＜a＜b．
故选C
点
评：
本题考查指数函数的单调性的应用，对数函数值的范围的判断，考查计算能力．
5．（5分）（2008•福建）函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（）
A．3B．0C．﹣1 D．﹣2
考
点：
函数奇偶性的性质．
分
析：
把α和﹣α分别代入函数式，可得出答案．
解解：∵由f（a）=2
答： ∴f（a ）=a 3+sina+1=2，a 3
+sina=1，
又∵f（﹣a ）=（﹣a ）3+sin （﹣a ）+1=﹣（a 3+sina ）+1=﹣1+1=0．
故选B
点评：
本题主要考查函数奇偶性的运用．属基础题．
6．（5分）（2002•北京）已知f （x ）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，当0＜x ＜3时，f （x ）的图象如图所示，那么不等式f （x ）•cosx＜0的解集为（ ）
A ． （﹣3，﹣
）∪（0，1）∪（，3） B ． （﹣，﹣1）∪（0，1）∪（
，3） C ． （﹣3，﹣1）∪（0，1）∪（1，3） D ． （﹣3，﹣）∪（0，1）∪（1，3）
考点：
函数的图象与图象变化；奇函数．
专题：
计算题；压轴题．
分析： 由已知中f （x ）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，当0＜x ＜3时，f （x ）的图象，我们易得到f （x ）＜0，及f （x ）＞0时x 的取值范围，结合余弦函数在（﹣3，3）上
函数值符号的变化情况，我们即可得到不等式f （x ）•cosx＜0的解集．
解答： 解：：由图象可知：
0＜x ＜1时，f （x ）＜0；
当1＜x ＜3时，f （x ）＞0．
再由f （x ）是奇函数，知：
当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＞0；
当﹣3＜x ＜﹣1时，f （x ）＜0．
又∵余弦函数y=cosx
当﹣3＜x ＜﹣，或＜x ＜3时，cosx ＜0 ﹣＜x ＜时，cosx ＞0
∴当x ∈（﹣
，﹣1）∪（0，1）∪（，3）时，f （x ）•cosx＜0 故选B
点评： 本题主要考查了奇、偶函数的图象性质，以及解简单的不等式，题目有一定的综合度属于中档题．
7．（5分）（2010•内江二模）在△ABC 中，已知
，则的值为（ ）
A．﹣2 B．2C．±4D．±2
考
点：
平面向量数量积的运算．
专
题：
计算题．
分析：先根据三角形的面积公式可求得A的正弦值，从而可求得余弦值，根据向量的数量积运算可得到的值．
解
答：
解：∵=，
∴sinA=；
∴cosA=±
∴==4×1×（±）=±2
故选D．
点评：本题主要考查三角形的面积公式的应用和向量的数量积运算．向量和三角函数的综合题是高考热点问题也是高考的重点，每年必考，平时一定要多积累这方面的知识．
8．（5分）下列命题为真命题的是（）
A．
若锐角α，β满足cosα＞sinβ，则α+β＞
B．
若f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，且在[﹣1，0]上是增函数，，则f（sinθ）＞f（cosθ）
C．
函数的图象是关于点成中心对称图形
D．
函数的图象时关于直线成轴对称图形
考
点：
命题的真假判断与应用．
专
题：
三角函数的图像与性质．
分析：根据正弦函数的单调性，结合诱导公式，可以判断①的真假；根据函数奇偶性与单调性的综合应用，可以判断②的真假；根据余弦型函数的对称性，我们可以判断③的真假，根据正切型函数的对称性，我们可以判断④的真假，进而得到答案．
解
答：
解：若锐角α、β满足cosα＞sinβ，即sin（﹣α）＞sinβ，即﹣α＞β，则α+β＜，故A为假命题；
若f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，且在[﹣1，0]上是增函数，则函数在[0，1]
上为减函数，
若θ∈，则0＜cosθ＜sinθ＜1，则f（sinθ）＜f（cosθ），故B 为假命题；
由函数的解析式，当x=时，函数值y=0，故点成是函数的一个对称中心，故C为真命题；
函数的图象没有对称轴，故D为假命题
故选C
点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数单调性的性质，偶函数，正弦函数的对称性，是对函数性质的综合考查，熟练掌握基本初等函数的性质是解答本题的关键．
9．（5分）曲线在点P（2，6）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．1C．D．
考
点：
利用导数研究曲线上某点切线方程．
专
题：
导数的概念及应用．
分析：先对函数进行求导，求出在x=2处的导数值即为切线的斜率值，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积．
解
答：
解：∵，∴y'=x+2，∴f'（2）=4，
曲线在点P（2，6）处的切线为：y﹣6=4（x﹣2），即4x﹣y﹣2=0，它与坐标轴的交点为：（0，﹣2），（，0）
S=××2=，
故选A．
点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率．属基础题．
10．（5分）（2011•山东）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为（）A．6B．7C．8D．9
考
点：
根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．
专计算题．
题：
分析：当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，由周期性可求得区间[0，6）上解的个数，再考虑x=6时的函数值即可．
解答：解：当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，
因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，
故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，
又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7
故选B
点评：本题考查函数的零点个数问题、函数的周期性的应用，考查利用所学知识解决问题的能力．
二、填空题（5'×7）
11．（5分）化简：= ﹣1 ．
考
点
：
同角三角函数基本关系的运用．
专
题
：
计算题．
分析：先用二倍角和同角三角函数基本关系对分子进行化简，再利用诱导公式对分子进行化简，最后约分求得答案．
解答：解：
==
=﹣1
故答案为﹣1
点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用和利用三角函数公式化简求值．要特别留意对三角函数值正负的判定．
12．（5分）点P在曲线上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是．
考
点：
导数的运算；直线的倾斜角．
专
题：
计算题．
分析：根据导数的几何意义可知切线的斜率即为该点处的导数，再根据导数的取值范围求出斜率的范围，最后再根据斜率与倾斜角之间的关系k=tanα，求出α的范围即可．
解答：解：∵tanα=3x2﹣1，
∴tanα∈[﹣1，+∞）．
当tanα∈[0，+∞）时，α∈[0，）；当tanα∈[﹣1，0）时，α∈[，π）．∴α∈[0，）∪[，π）
故答案为：．
点评：查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用切线的斜率与倾斜角之间的关系k=tanα进行求解．
13．（5分）已知向量，向量，则的最大值为 4 最小值为0 ．
考
点：
两角和与差的正弦函数．
专
题：
三角函数的求值．
分
析：
由已知中向量，坐标，求出向量的坐标，代入向量模的计算公式，结合同角三角函数的基本关系，和差角公式，余弦型函数的图象和性质，可得答案．
解
答：
解：∵向量，向量，
向量=，
=
=
=
当=1时，有最大值4
当=﹣1时，有最小值0
故答案为：4，0
点评：本题以向量模的最值计算为载体，考查了同角三角函数的基本关系，和差角公式，余弦型函数的图象和性质，是三角函数与向量的综合应用，难度中档．
14．（5分）已知△ABC中，，，且＜0，则= 7 ．
考
点：
平面向量数量积的运算．
专
题：
计算题．
分
析：
由三角形的面积公式可得sin∠BAC=，进而可得cos∠BAC=，而
==，代入值化简即得答案．
解
答：
解：由题意可得S△ABC=sin∠BAC=，
代入值解得sin∠BAC=，由＜0可知∠BAC为钝角，
故cos∠BAC=，所以=
=
==7
故答案为：7
点
评：
本题考查向量的基本运算，涉及三角形的面积公式，属中档题．
15．（5分）已知f（x﹣1）=2x+3，f（m）=6，则m= ﹣．
考
点：
函数的值；函数解析式的求解及常用方法．
专
题：
计算题．
分
析：
先用换元法，求得函数f（x）的解析式，再由f（m）=6求解．
解
答：
解：令t=x﹣1，
∴x=2t+1
f（t）=4t+5
又∵f（m）=6
∴4m+5=6
∴m=
故答案为：
点
评：
本题主要考查用换元法求函数解析式已知函数值求参数的值．
16．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2|x|，方程f（x）=a有4个不同的实根，则实数a的取值范围（﹣1，0）．
考
点：
函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断．
分析：把给出的函数分段写出，然后作出函数的图象，方程f（x）=a有4个不同的实根，转化为函数y=f（x）与函数y=a的图象有4个不同的交点，结合图形即可得到答案．
解
答：解：由f（x）=x2﹣2|x|=，要使方程f（x）=a有4个不同的
实根，
即函数y=f（x）与函数y=a的图象有4个不同的交点，如图，
由图可知，使函数y=f（x）与函数y=a的图象有4个不同的交点的a的范围是（﹣1，0）．
故答案为（﹣1，0）．
点评：本题考查了根的存在性与根的个数的判断，考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数学转化思想和数形结合的解题思想，是中档题．
17．（5分）（2009•湖北模拟）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x﹣6）=f（x）+f（3）成立，且f（0）=﹣2，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有
＞0．则给出下列命题：
①f（2010）=﹣2；②函数y=f（x）图象的一条对称轴为x=﹣6；③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；④方程f（x）=0在[﹣9，9]上有4个根．其中正确命题的序号是
①②④．（请将你认为是真命题的序号都填上）
考
点：
抽象函数及其应用．
专
题：
计算题；压轴题．
分析：①对于条件：“x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立”，令x=﹣3，再结合函数为偶函数可得f（﹣3）=f（3）=0，代入已知条件可得函数的周期为6，从而得到f（2010）=﹣2；
②欲证“直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴”，即证f（﹣6+x）=f（﹣6﹣x）；
③当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，都有，说明函数在区间
上是增函数，再用周期性的奇偶性可得结论不正确；
④由①的结论可知在区间[﹣9，9]上f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0，再结合单调函数根的分布可得结论正确．
解答：解：对于①，先令x=3，即有f（﹣3）=f（3）+f（3），
再依据函数y=f（x）是R上的偶函数，有f（﹣3）=f（3），得f（3）=0，
这样f（x﹣6）=f（x）+f（3）=f（x）函数f（x）的周期就是6，
因此f（2010）=f（335×6）=f（0）=﹣2；
对于②，∵f（x﹣6）=f（x）+f（3），
又∵f（﹣x﹣6）=f（﹣x）+f（3），且f（﹣x）=f（x）
∴f（﹣6+x）=f（﹣6﹣x）
∴直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，故②对；
对于③，首先根据：当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，都有，
说明函数在区间[0，3]上是增函数，再结合函数的周期为6，
将区间[0，3]右移6个单位，可得函数在[6，9]上为增函数
又∵函数为偶函数，在关于原点对称的区间上单调性相反
∴函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数，可得③不正确；
对于④，根据①的结论，f（﹣3）=f（3）=0，再结合函数周期为6
得f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0，
再根据在某个区间上的单调函数在这个区间内至多有一个零点，
得函数f（x）在[﹣9，9]上只有以上4个零点，所以④正确．
故答案为①②④．
点评：抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的规律性．结合赋值法和准确把握对应法则及函数的相应的性质，是解决本题的关键．
三、解答题
18．（12分）已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．
考
点：
命题的真假判断与应用．
专
题：
计算题．
分析：由已知中，命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数，我们可以求出命题p与命题q为真或假时，实数a的取值范围，又由“p或q”为真，“p且q”为假，构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围．
解答：解：若p真：则△=a2﹣4×4≥0
∴a≤﹣4或a≥4（4分）
若q真：，
∴a≥﹣12（8分）
由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题得：p、q两命题一真一假（10分）当p真q假时：a＜﹣12；当p假q真时：﹣4＜a＜4（12分）
综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣12）∪（﹣4，4）（14分）
点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中根据已知条件，求出命题p与命题q为真或假时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．
19．（12分）（2011•安徽模拟）已知直线y=2与函数f（x）=2sin2ωx+2sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的图象的两个相邻交点之间的距离为π．
（I）求f（x）的解析式，并求出f（x）的单调递增区间；
（II）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的最大值及g（x）取得最大值时x的取值集合．
考
点：
三角函数的最值；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专
题：
计算题．
分析：（I）化简函数f（x）=2sin2ωx+2sinωxcosωx﹣1为一个角的一个三角函数的形式，利用已知体积求出ω，即可求出f（x）的解析式，利用正弦函数的单调增区间求出f（x）的单调递增区间；
（II）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求出函数g （x）的最大值及g（x）取得最大值时x的取值集合．
解答：解：（I）函数f（x）=2sin2ωx+2sinωxcosωx﹣1=﹣cos2ωx+sin2ωx=2sin
（2ωx﹣）
因为直线y=2与函数f（x）=2sin2ωx+2sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的图象的两个相邻交点之间的距离为π，
所以T=π，ω=1，所以函数的解析式为：y=2sin（2x﹣）
由：2x﹣[2k，2kπ+]，k∈Z，
解得：x，k∈Z
（II）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）=2sin（2x+）的图象，
所以函数g（x）的最大值为：2，此时2x+=2kπ+，即x=kπ+，其中k∈Z．所以当x=kπ+，其中k∈Z．
g（x）取得最大值，x取值集合为：{x|x=kπ+，k∈Z}（12分）
点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，函数的周期的求法，最大值的求法，考查计算能力．常考题型．
20．（13分）（2011•琼海一模）已知向量，
，
定义
（1）求函数f（x）的表达式，并求其单调区间；
（2）在锐角△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC的面积、
考
点：
解三角形；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；正弦函数的单调性．
专
题：
综合题．
分析：（1）根据平面向量的数量积的运算法则化简f（x）后，利用两角和的余弦函数公式及两角差的正弦函数公式化简，再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调区间即可求出f（x）的单调区间；
（2）由f（A）=1，把x=A代入（1）求出的f（x）得到sin（2A﹣）的值，然后由A的范围求出2A﹣的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，利用三角形的面积公式，由b，c和sinA的值即可求出△ABC的面积．
解答：解：（1）由题意得：
f（x）=﹣2cos（+x）sin（﹣x）﹣cos2x =sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），
由，解得：，所以f（x）的递增区间为，
由，解得：，
所以f（x）的递减区间为；
（2）由f（A）=1，得到，即，由，得到，
所以，
故．
点评：此题考查学生灵活运用两角和与差的正弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，掌握正弦函数的单调区间，灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．
21．（14分）已知
（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域
（2）求函数f（x）在[t，t+2]上的最小值．
考
点：
利用导数求闭区间上函数的最值；二次函数在闭区间上的最值．
专
题：
导数的概念及应用．
分析：（1）把a=2代入g（x），对g（x）进行求导，利用导数研究函数g（x）在闭区间[0，3]上的最值，从而求解；
（2）对f（x）进行求导，研究其单调性，再对t进行讨论，求出函数f（x）在[t，t+2]上的最小值．
解
答：
解：（1）∵已知，a=2
∴g（x）=，可得g′（x）=x﹣1，
若x＞1，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
若x＜1，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
f（x）在x=1处取得极小值，也是最小值，f（x）min=f（1）==；
f（0）=2，f（3）=，
∴函数y=g（x）在[0，3]上的值域为[，]；
（2）∵f′（x）=1+lnx（x＞0），令f′（x）=0，可得x=，
若x＞时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
若0＜x时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；t＞0
若0＜t≤时，因为区间长度为2，可以取到极小值点x=，也是最小值点，∴f（x）min=f（）==﹣；
若t＞时，f（x）在[t，t+2]上为增函数，
∴f（x）min=f（t）=tlnt；
∴综上：若0＜t≤，f（x）min=；
若t＞时，f（x）min=tlnt；
点评：此题主要考查利用导数研究函数的最值问题，解题的过程中用到了分类讨论的数学思想，此题是一道中档题；
22．（14分）已知，其中a，b，x∈R．若满足，且f（x）的导函数f'（x）的图象关于直线对称．（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，求实数k的取值范围．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数恒成立问题；数量积的坐标表达式．
专
题：
计算题．
分
析：
（I）由已知中，，我们可以求出函数的解析式，及导函数的解析式（含参数a，b），结合已知中，
，导函数f'（x）的图象关于直线对称，构造关于a，b的方程组，解方程组，即可求出a，b的值．
（II）若关于x的方程f（x）+log2k=0在区间上总有实数解，即f（x）=
﹣log2k有解，求出函数f（x）在区间上的值域B，再根据﹣log2k∈B，构
造关于k的对数方程，解方程即可求出答案．
解
答：
解：（Ⅰ）=
由得，①
∵f'（x）=asin2x+bcos2x，又∵f'（x）的图象关于直线对称，
∴，
∴，即②
由①、②得，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=
∵，，
∴，f（x）∈[0，3]．
又∵f（x）+log2k=0有解，即f（x）=﹣log2k有解，
∴﹣3≤log2k≤0，解得，即．
点评：本题考查的知识点是正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，函数恒成立问题，数量积的坐标表达形式（1）的关键是根据已知条件，构造关于a，b的方程组，（2）
的关键是求出函数f（x）在区间上的值域B．。